数学奥林匹克高中训练题(24)及答案

数学奥林匹克高中训练题（24）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题29)221sin19971cos1997等于(D)．(A)cos1997sin1997(B)cos1997sin1997(C)cos1997sin1997(D)cos1997sin19972．(训练题29)复数z满足1zRz且22z，则这样的复数有(D)．(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个3．(训练题29)已知,ab都是正实数．则xyab且xyab是xa且yb的(B)．(A)充分不必要条件(B)必要不充分件(C)充要件(D)既不充分也不必要条件4．(训练题29),ab是两个正整数，最小公倍数为465696．则这样的有序正整数对(,)ab共有(D)个．(A)144(B)724(C)1008(D)11555．(训练题29)方程220xpxq的根是sin和cos．则在poq坐标平面上，点(,)pq的图形是(B)．6．(训练题29)对一个棱长为1的正方体木块1111ABCDABCD，在过顶点1A的三条棱上分别取点,,PQR，使111APAQAR．削掉四面体1APQR后，以截面PQR为底面，在立方体中打一个三棱柱形的洞，使棱柱侧面都平行于体对角线1AC．当洞打穿后，顶点C处被削掉，出口是一个空间多边形．则这个空间多边形共有(B)条边．(A)3(B)6(C)8(D)9二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．(训练题29)1999111111n个，2000()90201997fnnn．则()fn被3除的余数是1．2．(训练题29)函数(),()fxgx是R上定义的函数，且()0fx的解集为{|12},()0xxgx的解集是空集，则不等式()()0fxgx的解集是{|12}xxx或．3．(训练题29)棱锥SABC的底面是正三角形ABC，侧面SAC垂直于底面，另两个侧面同底面所poq．．．．．．121-2-1poq．．．．．．121-2-122poq．．．．12-2-1poq．．．．12-2-12.5-2.5(A)(B)(C)(D)成的二面角都是45o，则二面角ASCB的值是arctan7(用反三角函数表示)．4．(训练题29)若21xy，则函数2224uyyxx的最小值等于95．5．(训练题29)六个正方形,,,,,ABCDEF放置如图所示，若,,ABC三个正方形面积之和为1,,,SDEF三个正方形面积之和为2S，则12SS3．6．(训练题29)已知,,abc是一个直角三角形三边之长，且对大于２的自然数n，成立2222()2()nnnnnnabcabc．则n4．三、(训练题29)(本题满分20分)棱锥SABC中，4,7,9,5,6,8SASBSCABBCAC．试求棱锥SABC体积的最大值．四、(训练题29)(本题满分20分)数列{}na,适合条件1234561,2,3,4,5,119aaaaaa，当5n时，1121nnaaaa，证明22212701270aaaaaa．五、(训练题29)(本题满分20分)已知(),()fxgx和()hx都是关于x的二次三项式，证明：方程((()))0fghx不能有根１，２，３，４，５，６，７，８．第二试一、(训练题29)(本题满分50分)有限数集S的全部元素的乘积，称为数集S的“积数”．今给出数集11111{,,,,,}23499100M，试确定M的所有偶数个（2个，4个，…，98个）元素子集的“积数”之和的值．24.255二、(训练题29)(本题满分50分)凸四边形ABCD的对角线交点为O．证明：ABCD是圆外切四边形的充分必要条件是AOB、BOC、COD、DOA的内切圆半径1234,,,rrrr满足关系式42311111rrrr．三、(训练题29)(本题满分50分)1211,,,aaa；1211,,,bbb是1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11ABCDFE的两种不同的排列．证明：11221111,,,ababab中至少有两个被11除所得的余数相同．