数学奥林匹克高中训练题(22)及答案

数学奥林匹克高中训练题（22）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题27)方程1lgsincosxx的实根个数是(A)．(A)0(B)1(C)2(D)大于22．(训练题27)22221xyab的切线交x轴于A、交y轴于B，则AB的最小值为(B)．(A)222ab(B)ab(C)ab2(D)4ab3．(训练题27)在ABC中，lgtanlgtan2lgtanACB．则B的范围是(B)．(A)03B(B)32B(C)06B(D)62B4．(训练题27)设{1,0,1},{2,1,0,1,2}XY，且对X的所有元素x，有()xfx均为偶数．则从X到Y的映射f的个数是(C)．(A)7(B)10(C)12(D)155．(训练题27)复数1234,,,zzzz满足12341zzzz，且12340zzzz．则以四个复数对应的点为顶点的四边形一定是(D)．(A)梯形(B)正方形(C)平行四边形(D)矩形6．(训练题27)一只猴子在一架共有n级的梯子上爬上爬下，它每次或者上升16级，或者下降9级．如果它能从地面爬到最顶上一级，然后又回到地面则n的最小值是(C)．(A)22(B)23(C)24(D)大于24二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．(训练题27)33333332233lim1111()124469(1)(1)nnnnnn1．2．(训练题27)设,mnN，且mn，集合{1,2,3,,},{1,2,3,,}AmBn，又CA．则满足BC的C的个数是2(21)mnn．3．(训练题27)如图，ABCD是正方形，E是AB的中点，如将DAE和CBE分别沿虚线DE和CE折起，使AE和BE重合，记A与B重合后的点为P，则面PCD与面ABCDEABCDEPECD所成的二面角为30o．4．(训练题27)设M为所有满足12xaa的整数x的集合，N为所有满足2()xaaN的整数的总和等于(21)aa．5．(训练题27)在不透明的正方体的每一个面上都写着一个自然数，如果正方体的几个(一个、两个或三个)面可以同时看见，则求出这几个面上的数之和．用这种方法最多能够的到26个不同的数．6．(训练题27)设正整数列1234,,,aaaa是等比数列，其公比r不是整数而且1r．这样的数列中4a可取到最小值是27．三、(训练题27)(本题满分20分)三棱锥SABC的底面是正ABC，这个三角形的边长为4．又已知19ASBS，而3CS．求这个三棱锥的外接球的表面积．26811四、(训练题27)(本题满分20分)函数()(1,2,3,)nfxn定义如下：21()4()(01)fxxxx，11()(())(1,2,3,)nnfxffxn．设在[0,1]上使()nfx取最大值的x的个数为na，取最小值的x的个数为nb．试把na和nb用n表示，并用数学归纳法证明．五、(训练题27)(本题满分20分)设22{|,}mnSmnNmn．求证：如果,xyS，且xy，那么一定存在zS，使得xzy．第二试一、(训练题27)(本题满分50分)设ABCD是圆内接四边形，,AB的角平分线交于E，过E作平行于CD的直线，与AD交于L，与BC交于M．求证：ALBMLM．二、(训练题27)(本题满分50分)已知两条对称轴互相平行的抛物线1L和2L，它们相交于两点0A和0B，在1L上任取2n个点122,,,nAAA，在2L上取这样2n个点122,,,nBBB，使01011212//,//,AABBAABB212212,//nnnnAABB．求证：2020//nnABBA．三、(训练题27)(本题满分50分)证明：对任意的,2nNn，都存在n个互不相等的自然数组成的集合M，使得对任意的aM和bM，ab都可以整除ab．