数学奥林匹克高中训练题(11)及答案

数学奥林匹克高中训练题（11）第一试一、选择题（每小题6分，共36分）1．(训练题16)一元二次复系数方程02baxx恰有两个纯虚根，则（C）．（A）a是零，b是负实数（B）a是零，b是纯虚数（C）a是纯虚数，b是实数（D）a是纯虚数，b是纯虚数2．(训练题16)n是一个正整数，nyxyx22的整数组解的数目是（B）．（A）4的倍数（B）6的倍数（C）2的倍数（D）8的倍数3．(训练题16)满足211xxxxxx的所有实数x在（D）．（A）（3,31）内（B）（3，+∞）内（C）（－∞，31）内（D）（－∞，31）∪（3，+∞）内4．(训练题16)dcxbxaxxxf234)(，这里dcba,,,是实数．已知,15)3(,10)2(,5)1(fff则)4()8(ff是（C）．（A）2500（B）不确定的（C）2540（D）8605．(训练题16)平面内，设函数)(xf的图象与xy2的图象关于直线32xy对称，则)(xf的解析表达式是（A）．（A）2)1234(52643xyxy（B）2)1234(10643xyxy（C）2)34(5243xyxy（D）2)1234(52643xyxy6．(训练题16),3n方程nxxxxxxxxxxxxxnnnnnn1321121121的有序整数组解一共有（B）．（A）n组（B）12n组（C）n2组（D）12n组二、填充题（每小题9分，共54分）1．(训练题16)任意整数,,,zyx满足等式zyxbzaycxazcybxczbyax的所有实数cba,,是(1,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,0,1)共6组．2．(训练题16)使得zyxzyx111,和xyz都是整数的全部正有理数组（),,zyx（)zyx是(1,1,1),(1,2,2),(2,3,6),(2,4,4),(3,3,3)共5组．3．(训练题16)圆台上的上底半径r与下底半径R（R.r）之和是母线l的6倍,而上底面积、侧面积、下底面积成等比数列，此圆台的高为2023r，此圆台体积的最大值是500(23)9．4．(训练题16)设xxxkxxxf(11)(2424∈R），对任意三个实数a,b,c,已知存在一个三角形，三边长分别为),(),(),(cfbfaf则满足上述条件的所有实数k的范围是1(,4)2．5．(训练题16)设),6sin6(cos3)(izzf这里z是复数，用A表示点),31(ifB表示点),0(fC表示点)4(if，则∠ABC=6．6．(训练题16)ba,是正实数，),1(21,,1110nnnxxxbxax这里x∈N。如果这序列是周期序列，则a,b必须满足条件1ab．第二试一、(训练题16)（满分25分）已知,2)1(f对于正整数n，.1)())(()1(2nfnfnf求证：当正整数2n时，有.211)(1)2(1)1(121121nnnfff二、(训练题16)（满分25分）给定一个△ABC，A*是点A关于直线BC的对称点，B*是B关于直线CA的对称点，C*是C关于直线AB的对称点。求△ABC的充分必要条件，使得△A*B*C*是一个等边三角形。三、(训练题16)（满分35分）是否存在正整数n1,使得1，2，3，…，n2能放在一个n×n方格表内，使得每行的乘积是相同的？证明你的结论．四、(训练题16)（满分35分）naaa,,,21是一个数列，对每个k，1≤k≤n，ka∈｛1，0｝。如果1,kkaa两数不同，写1kb；如果1,kkaa两数相同，写0kb。于是得到一个新数列,,,,121nbbb其中kb∈｛1，0｝（1≤k≤n1）。重复上述方法，得到一个由0及1两个数字组成的三角形数表，最后一行仅一个数字，求这张数字表中1的和的最大值．