数学奥林匹克高中训练题(1)

数学奥林匹克高中训练题（1）第一试一、选择题（本题满分30分，每小题5分）1．(训练题1)函数4153yxx的值域是（）（A）[1，2]（B）（0，2]（C）（0，3]（D）以上都不对2．(训练题1)已知边长为a的菱形ABCD，3A，将菱形ABCD沿对角线折成二面角θ，已知2[,]33.则两对角线距离的最大值是（）（A）32a（B）34a（C）32a（D）34a3．(训练题1)方程sin1993xx的实根的个数为（）（A）0（B）1（C）2（D）大于24．(训练题1)已知复数列{an}的通项为(1)(1)(1)(1)23ntttatn。则1nnaa()(A)22(B)2(C)1(D)25．(训练题1)以凸n边形的各边为直径作圆，凸n边形必能被这n个圆所覆盖,则n的最大值是（）（A）3（B）4（C）5（D）大于56．(训练题1)已知一个整系数多项式,某同学求得的结果(2)56,(1)2,(3)53,(6)528ffff。则他计算错误的是（）（A）(2)f（B）(1)f（C）(3)f（D）(6)f二、填空题（本题满分30分，每小题5分）1．(训练题1)不等式2221011xxxx的解集是。2．(训练题1)已知空间三个平面////，在与之间，与的距离为4，与的距离为2a，又边长为9a的正三角形ABC，A在平面内，B在平面内，C在平面内，AC交平面于D，则ABC所在平面与这三个平面所成的锐角是。3．(训练题1)将一枚硬币掷出，若出现正面，点P就在数轴上移动+1，若出现反面就不动，掷币次数不超过12次，而且点P到达了坐标+10就不再掷了，则点P到达坐标点+10的所有不同情况共有种4．(训练题1)已知直线l经过抛物线C：xy42的焦点，且斜率2k，l与抛物线C交于,AB两点，AB的中点M到直线mL：043myx（3m）的距离为51,则m的取值范围是。5．(训练题1)设0≤x≤8,则函数2(8)(8)()1xxxfxx的值域是。6．(训练题1)已知22()(sin4sin4)(cos5cos)fxxx的最小值为)(g，则)(g的最大值是。三．(训练题1)（本题满分20分）已知01,0,0，且aax，22aay，试在平面直角坐标系中画出点(,)xy的区域四．(训练题1)（本题满分20分）已知圆C：222()()xydrdr.在x轴上取两点,MN，使得以MN为直径的圆与圆C外切，求点A的坐标，使得对所有满足条件的,MN，MAN为定角。五．(训练题1)（本题满分20分）已知奇函数()fx在(,0)(0,)上有定义，且在(0,)上是增函数，(1)0f，又知函数2()sincos2,[0,]2gmm，,MN满足{|()0}Mmg，{|[()]0}Nmfg.求NM第二试一．(训练题1)（本题满分35分）已知ABC的外接圆为圆,,,OPQR依次是弧BC,弧AC弧,AB的中点，弦PR交AB于D，弦PQ交AC于E。求证：//DEBC。二．(训练题1)（本题满分35分）求证：当且仅当a=4m4(m1)时，对所有的自然数n,n4+a为合数三．(训练题1)（本题满分35分）有10名男孩，每个男孩的年龄都不超过20岁，有20名女孩，每个女孩的年龄都不超过10岁。证明一定有若干个女孩的年龄之和等于若干个男孩的年龄之和。其中的年龄均取正整数。