数列问题的题型与方法[上学期]江苏教育版

数列问题的题型与方法一、考试内容数列；等差数列及其通项公式，等差数列前n项和公式；等比数列及其通项公式，等比数列前n项和公式。二、考试要求1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。2．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题。3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题。三、复习目标1．能灵活地运用等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式解题；2．能熟练地求一些特殊数列的通项和前n项的和；3．使学生系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；4．通过解决探索性问题，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力．5．在解综合题的实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力．6．培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．四、双基透视1．可以列表复习等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质.2．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证11(/)nnnnaaaa为同一常数。(2)通项公式法：①若=+（n-1）d=+（n-k）d，则na为等差数列；②若，则na为等比数列。(3)中项公式法：验证都成立。3.在等差数列na中,有关Sn的最值问题——常用邻项变号法求解：(1)当0,d0时，满足的项数m使得取最大值.(2)当0,d0时，满足的项数m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。4.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。五、注意事项1．证明数列na是等差或等比数列常用定义，即通过证明11nnnnaaaa或11nnnnaaaa而得。2．在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便。3．对于一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。4．注意一些特殊数列的求和方法。5．注意ns与na之间关系的转化。如：na=,,11nnsss21nn，na=nkkkaaa211)(．6．数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极限的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路．7．解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略．8．通过解题后的反思，找准自己的问题，总结成功的经验，吸取失败的教训，增强解综合题的信心和勇气，提高分析问题和解决问题的能力．数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位。高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决。六、范例分析例1．已知数列{an}是公差d≠0的等差数列，其前n项和为Sn．(2)过点Q1(1，a1)，Q2(2，a2)作直线12，设l1与l2的夹角为θ，证明：(1)因为等差数列{an}的公差d≠0，所以Kp1pk是常数(k=2，3，…，n)．(2)直线l2的方程为y-a1=d(x-1)，直线l2的斜率为d．例2．已知数列na中，nS是其前n项和，并且1142(1,2,),1nnSana，⑴设数列),2,1(21naabnnn，求证：数列nb是等比数列；⑵设数列),2,1(,2nacnnn，求证：数列nc是等差数列；⑶求数列na的通项公式及前n项和。分析：由于{bn}和{cn}中的项都和{an}中的项有关，{an}中又有S1n=4an+2，可由S2n-S1n作切入点探索解题的途径．解：(1)由S1n=4a2n，S2n=4a1n+2，两式相减，得S2n-S1n=4(a1n-an)，即a2n=4a1n-4an．(根据bn的构造，如何把该式表示成b1n与bn的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)a2n-2a1n=2(a1n-2an)，又bn=a1n-2an，所以b1n=2bn①已知S2=4a1+2，a1=1，a1+a2=4a1+2，解得a2=5，b1=a2-2a1=3②由①和②得，数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列，故bn=3·21n．当n≥2时，Sn=4a1n+2=21n(3n-4)+2；当n=1时，S1=a1=1也适合上式．综上可知，所求的求和公式为Sn=21n(3n-4)+2．说明：1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前n项和。解决本题的关键在于由条件241nnaS得出递推公式。2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．例3．已知数列{an}是首项a1＞0，q＞-1且q≠0的等比数列，设数列{bn}的通项bn=a1n-ka2n(n∈N)，数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn，Tn．如果Tn＞kSn对一切自然数n都成立，求实数k的取值范围．分析：由探寻Tn和Sn的关系入手谋求解题思路。解：因为{an}是首项a1＞0，公比q＞-1且q≠0的等比数列，故a1n=an·q，a2n=an·q2．所以bn=a1n-ka2n=an(q-k·q2)．Tn=b1+b2+…+bn=(a1+a2+…+an)(q-k·q2)=Sn(q-kq2)．依题意，由Tn＞kSn，得Sn(q-kq2)＞kSn，①对一切自然数n都成立．当q＞0时，由a1＞0，知an＞0，所以Sn＞0；当-1＜q＜0时，因为a1＞0，1-q＞0，1-qn＞0，所以Sn=综合上面两种情况，当q＞-1且q≠0时，Sn＞0总成立．由①式可得q-kq2＞k②，例4．(2001年全国理)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15.本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14。(Ⅰ)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元.写出an，bn的表达式(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?解析：第1年投入800万元，第2年投入800×（1-）万元……，第n年投入800×（1－）n－1万元所以总投入an＝800＋800（1－）＋……＋800×（1－）n－1＝4000［1－（）n］同理：第1年收入400万元，第2年收入400×（1＋）万元，……，第n年收入400×（1＋）n－1万元bn＝400＋400×（1＋）＋……＋400×（1＋）n－1＝1600×［（）n－1］(2)∴bn－an＞0，1600［（）n－1］－4000×［1－（）n］＞0化简得，5×（）n＋2×（）n－7＞0设x＝（）n，5x2－7x＋2＞0∴x＜，x＞1（舍)即（）n＜，n≥5.说明：本题主要考查建立函数关系式，数列求和，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识解决实际问题的能力。解数学问题应用题重点在过好三关：（1）事理关：阅读理解，知道命题所表达的内容；（2）文理关：将“问题情景”中的文字语言转化为符号语言，用数学关系式表述事件；（3）数理关：由题意建立相关的数学模型，将实际问题数学化，并解答这一数学模型，得出符合实际意义的解答。例5．设实数0a，数列na是首项为a，公比为a的等比数列，记),(||1*NnagabnnnnnbbbS21，求证：当1a时，对任意自然数n都有nS=2)1(lgaaannanan)1()1(11解：nnnnnaaaqaa1111)1()(。||lg)1(|)1(|lg)1(||lg111anaaaaabnnnnnnnnn||lg)1(||lg)1()1(||lg3||lg2||lg11232anaaanaaaaaaSnnnnn||lg])1()1()1(32[11232anaanaaannnn记nnnnnaanaaaS11232)1()1()1(32①1121332)1()1()1()2()1(2nnnnnnnaananaaas②①+②得1121232)1()1()1()1(nnnnnnnaaaaaasa③1111(1)1,(1)(1)1(1)nnnnaaaaSnaa])1()1(1[)1(||lg)1(])1)(1(1[)1()1()1()1()1()1()1(122121121111nnnnnnnnnnnananaaaSaananaaananaSaanaaaS说明：本例主要复习利用错位相减解决差比数列的求和问题。关键是先研究通项，确定}{,nnnnabaC是等差数列，}{nb等比数列。解法一：设等差数列{an}的首项a1=a，公差为d，则其通项为根据等比数列的定义知S5≠0，由此可得一步加工，有下面的解法)解法二：依题意，得例7．设二次方程nax2-na+1x+1=0(n∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．(1)试用na表示a1n；例8．在直角坐标平面上有一点列),(,),(),,(222111nnnyxPyxPyxP，对一切正整数n，点nP位于函数4133xy的图象上，且nP的横坐标构成以25为首项，1为公差的等差数列nx。⑴求点nP的坐标；⑵设抛物线列,,,,,321ncccc中的每一条的对称轴都垂直于x轴，第n条抛物线nc的顶点为nP，且过点)1,0(2nDn，记与抛物线nc相切于nD的直线的斜率为nk，求：nnkkkkkk13221111。⑶设1,4|,1,,2|nyyyTnNnxxxSnn，等差数列na的任一项TSan，其中1a是TS中的最大数，12526510a，求na的通项公式。解：（1）23)1()1(25nnxn1353533,(,3)4424nnnyxnPnn（2）nc的对称轴垂直于x轴，且顶点为nP.设nc的方程为：,4512)232(2nnxay把)1,0(2nDn代入上式，得1a，nc的方程为：1)32(22nxnxy。32|0'nykxn，)321121(21)32)(12(111nnnnkknnnnkkkkkk13221111)]321121()9171()7151[(21