数列单元试题1

新课标数学必修5第二章数列单元试题说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答．共100分，考试时间90分钟．第Ⅰ卷（选择题共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．在正整数100至500之间能被11整除的个数为（）A．34B．35C．36D．372．在数列{an}中，a1=1，an+1=an2－1（n≥1），则a1+a2+a3+a4+a5等于（）A．－1B．1C．0D．23．{an}是等差数列，且a1+a4+a7=45，a2+a5+a8=39，则a3+a6+a9的值是（）A．24B．27C．30D．334．设函数f（x）满足f（n+1）=2)(2nnf（n∈N*）且f（1）=2，则f（20）为（）A．95B．97C．105D．1925．等差数列{an}中，已知a1=－6，an=0，公差d∈N*，则n（n≥3）的最大值为（）A．5B．6C．7D．86．设an=－n2+10n+11，则数列{an}从首项到第几项的和最大（）A．第10项B．第11项C．第10项或11项D．第12项7．已知等差数列{an}的公差为正数，且a3·a7=－12，a4+a6=－4，则S20为（）A．180B．－180C．90D．－908．现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余钢管的根数为（）A．9B．10C．19D．299．由公差为d的等差数列a1、a2、a3…重新组成的数列a1+a4，a2+a5，a3+a6…是（）A．公差为d的等差数列B．公差为2d的等差数列C．公差为3d的等差数列D．非等差数列10．在等差数列{an}中，若S9=18，Sn=240，an－4=30，则n的值为（）A．14B．15C．16D．17第Ⅱ卷（非选择题共70分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．在数列{an}中，a1=1，an+1=22nnaa（n∈N*），则72是这个数列的第_________项．12．在等差数列{an}中，已知S100=10，S10=100，则S110=_________．13．在－9和3之间插入n个数，使这n+2个数组成和为－21的等差数列，则n=_______．14．等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若nnTS=132nn，则1111ba=_________．三、解答题（本大题共5小题，共54分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分8分）若等差数列5，8，11，…与3，7，11，…均有100项，问它们有多少相同的项？16．（本小题满分10分）在等差数列{an}中，若a1=25且S9=S17，求数列前多少项和最大．17．（本小题满分12分）数列通项公式为an=n2－5n+4，问（1）数列中有多少项是负数？（2）n为何值时，an有最小值？并求出最小值．18．（本小题满分12分）甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动，甲第一分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m．（1）甲、乙开始运动后，几分钟相遇．（2）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续每分钟走5m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？19．（本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn·Sn－1=0（n≥2），a1=21．（1）求证：{nS1}是等差数列；（2）求an表达式；（3）若bn=2（1－n）an（n≥2），求证：b22+b32+…+bn21．参考答案：1.考查等差数列的应用．【解析】观察出100至500之间能被11整除的数为110、121、132、…它们构成一个等差数列，公差为11，数an=110+（n－1）·11=11n+99，由an≤500，解得n≤36．4，n∈N*，∴n≤36．【答案】C2.考查数学建模和探索问题的能力．【解析】1+2+3+…+n200，即2)1(nn200．显然n=20时，剩余钢管最少，此时用去22019=190根．【答案】B3.考查等差数列的运用．【解析】由等差数列性质，a4+a6=a3+a7=－4与a3·a7=－12联立，即a3，a7是方程x2+4x－12=0的两根，又公差d0，∴a7a3a7=2，a3=－6，从而得a1=－10，d=2，S20=180．【答案】A4.考查等差数列的通项．【解析】an=a1+（n－1）d，即－6+（n－1）d=0n=d6+1∵d∈N*，当d=1时，n取最大值n=7．【答案】C5.考查数列通项的理解及递推关系．【解析】由已知：an+1=an2－1=（an+1）（an－1），∴a2=0，a3=－1，a4=0，a5=－1．【答案】A6.考查等差数列的性质及运用．【解析】a1+a4+a7，a2+a5+a8，a3+a6+a9成等差数列，故a3+a6+a9=2×39－45=33．【答案】D7.考查递推公式的应用．【解析】f（n+1）－f（n）=2n1921)19()20(221)2()3(121)1()2(ffffff相加得f（20）－f（1）=21（1+2+…+19）f（20）=95+f（1）=97．【答案】B8.考查数列求和的最值及问题转化的能力．【解析】由an=－n2+10n+11=－（n+1）（n－11），得a11=0，而a100，a120，S10=S11．【答案】C9.考查等差数列的性质．【解析】（a2+a5）－（a1+a4）=（a2－a1）+（a5－a4）=2d．（a3+a6）－（a2+a5）=（a3－a2）+（a6－a5）=2d．依次类推．【答案】B10.考查等差数列的求和及运用．【解析】S9=2)(991aa=18a1+a9=42（a1+4d）=4．∴a1+4d=2，又an=an－4+4d．∴Sn=2)(1naan=16n=240．∴n=15．【答案】B11.考查数列概念的理解及观察变形能力．【解析】由已知得11na=na1+21，∴{na1}是以11a=1为首项，公差d=21的等差数列．∴na1=1+（n－1）21，∴an=12n=72，∴n=6．【答案】612.考查等差数列性质及和的理解．【解析】S100－S10=a11+a12+…+a100=45（a11+a100）=45（a1+a110）=－90a1+a110=－2．S110=21（a1+a110）×110=－110．【答案】－11013.考查等差数列的前n项和公式及等差数列的概念．【解析】－21=2)39)(2(n，∴n=5．【答案】514.考查等差数列求和公式及等差中项的灵活运用．【解】1111ba=2)(212)(212)(2)(211211211211bbaabbaa=322112132122121TS．【答案】322115.考查等差数列通项及灵活应用．【解】设这两个数列分别为{an}、{bn}，则an=3n+2，bn=4n－1，令ak=bm，则3k+2=4m－1．∴3k=3（m－1）+m，∴m被3整除．设m=3p（p∈N*），则k=4p－1．∵k、m∈［1，100］．则1≤3p≤100且1≤p≤25．∴它们共有25个相同的项．16.考查等差数列的前n项和公式的应用．【解】∵S9=S17，a1=25，∴9×25+2)19(9d=17×25+2)117(17d解得d=－2，∴Sn=25n+2)1(nn（－2）=－（n－13）2+169．由二次函数性质，故前13项和最大．注：本题还有多种解法．这里仅再列一种．由d=－2，数列an为递减数列．an=25+（n－1）（－2）≥0，即n≤13．5．∴数列前13项和最大．17.【解】（1）由an为负数，得n2－5n+40，解得1n4．∵n∈N*，故n=2或3，即数列有2项为负数，分别是第2项和第3项．（2）∵an=n2－5n+4=（n－25）2－49，∴对称轴为n=25=2．5又∵n∈N*，故当n=2或n=3时，an有最小值，最小值为22－5×2+4=－2．18.考查等差数列求和及分析解决问题的能力．【解】（1）设n分钟后第1次相遇，依题意得2n+2)1(nn+5n=70整理得：n2+13n－140=0，解得：n=7，n=－20（舍去）∴第1次相遇在开始运动后7分钟．（2）设n分钟后第2次相遇，依题意有：2n+2)1(nn+5n=3×70整理得：n2+13n－6×70=0，解得：n=15或n=－28（舍去）第2次相遇在开始运动后15分钟．19.考查数列求和及分析解决问题的能力．【解】（1）∵－an=2SnSn－1，∴－Sn+Sn－1=2SnSn－1（n≥2）Sn≠0，∴nS1－11nS=2，又11S=11a=2，∴{nS1}是以2为首项，公差为2的等差数列．（2）由（1）nS1=2+（n－1）2=2n，∴Sn=n21当n≥2时，an=Sn－Sn－1=－)1(21nnn=1时，a1=S1=21，∴an=)2(1)-(21-)1(21nnnn（3）由（2）知bn=2（1－n）an=n1∴b22+b32+…+bn2=221+231+…+21n211+321+…+nn)1(1=（1－21）+（21－31）+…+（11n－n1）=1－n11．