全国高中数学竞赛不等式试题

2000-2005全国高中数学竞赛不等式试题2004年全国高中数学联赛试卷(第一试)3、不等式2log211log3212xx0的解集是()A．[2，3]B。（2，3）C。[2，4]D。（2，4）[答案]3、解：原不等式等价于222331log1log0222log10xxx设22310log1,220ttxtt则有解得01t。即20log11,24xx。故选C。2003年全国高中数学联赛(第一试)7．不等式322430xxx的解集是______________9.已知2430,,AxxxxR1220,2750,.xBxaxaxxR若AB，则实数a的取值范围是_____________.13．设35,2x证明不等式2123153219.xxx[答案]7.3,215215,3.提示：原不等式可以化为:01||3||2xxx9.14a提示：3,1A,令axfx12,5722xaxxg,则只需xgxf,在（1，3）上的图象均在x轴的下方，其充要条件是03010301ggff,由此推出14a;13．证明：由bdacdacdbcabdcbadcba2)(22222可得,22222dcbadcba当且仅当a=b=c=d时取等号……5分则xxxxxxx315321123153212192142x……………………………………………………15分因为xxx315,32,1不能同时相等，所以1923153212xxx……………………………………20分2001年全国高中数学联赛试卷4．如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k的△ABC恰有一个，那么k的取值范围是（）（A）k=38（B）0k≤12（C）k≥12（D）0k≤12或k=386．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是（）（A）2枝玫瑰价格高（B）3枝康乃馨价格高（C）价格相同（D）不确定．10.不等式232log121x的解集为．11．函数232xxxy的值域为[答案]．4．D6．A10．,42,11,07211．,223,12000年全国高中数学联赛(第一试)10．已知)(xf是定义在R上的函数，1)1(f且对任意Rx都有5)()5(xfxf1)()1(xfxf若xxfxg1)()(，则)2002(g．11．若1)2(log)2(log44yxyx，则||||yx的最小值是．12．使不等式xaxaxcos1cossin22对一切Rx恒成立的负数a的取值范围是．[答案]10.解：由xxfxg1)()(，得1)()(xxgxf，所以5)1()(1)5()5(xxgxxg1)1()(1)1()1(xxgxxg即)()5(xgxg，)()1(xgxg∴)()1()2()4()5()(xgxgxgxgxgxg∴)()1(xgxg即)(xg是周期为1的周期函数，又1)1(g，故1)2002(g11.解：4)2)(2(0202yxyxyxyx440||222yxyx由对称性只考虑0y，因为0x，所以只须求yx的最小值．令uyx公代入4422yx，有0)4(2322uuyy．这是一个关于y的二次方程显然有实根，故0)3(162u，∴3u当334x，33y时，3u．故||||yx的最小值为312.解：原不等式可化为4)1()21(cos222aaax∵1cos1x，0a，021a∴当1cosx时，函数2)21(cosaxy有最大值2)211(a，从而有4)1()211(222aaa，整理得022aa∴1a或2a，又0a，∴2a1999年全国高中数学联合竞赛三、(满分20分)已知当x[0,1]时，不等式0sin)1()1(cos22xxxx恒成立，试求的取值范围．[答案]13.若对一切x［0，1］，恒有f(x)=0sin)1()1(cos22xxxx，则cosθ=f(1)0,sinθ=f(0)0.(1)取x(0，1)，由于xxxxxf1cossin12，所以，0xf恒成立，当且仅当01cossin2(2)先在［0,2π］中解(1)与(2)：由cosθ0,sinθ0，可得0θ2.又由（2）得sin2θ21注意到02θπ，故有62θ65,所以，12θ125.因此，原题中θ的取值范围是2kπ+12θ2kπ+125,kZ.或解：若对一切x∈［0，1］，恒有f(x)=x2cosθ-x(1-x)+(1-x)2sinθ0，则cosθ=f(1)0,sinθ=f(0)0.(1)取x0=∈(0，1)，则．由于+2x(1-x)，所以，0f(x0)=2x0(1-x0)．故-+0(2)反之，当(1)，(2)成立时，f(0)=sinθ0，f(1)=cosθ0，且x∈(0，1)时，f(x)≥2x(1-x)0．先在［0,2π］中解(1)与(2)：由cosθ0,sinθ0，可得0θ.又-+0,,sin2θ,sin2θ,注意到02θπ，故有2θ,所以，θ.因此，原题中θ的取值范围是2kπ+θ2kπ+,k∈Z首届中国东南地区数学奥林匹克（2004年7月11日8：00—12：00温州）五、已知不等式62(23)cos()2sin2364sincosaa对于0,2恒成立，求a的取值范围。[答案]五、解：设sincosx，则22cos(),sin21,1,242xxx从而原不等式可化为：26(23)2(1)36axxax即2622223340,2()3()0xaxxaxxaxaxxx，2(23)01,2(1)xxaxx原不等式等价于不等式（1）1,2,230xx（1）不等式恒成立等价于201,2xaxx恒成立。从而只要max2()(1,2)axxx。又容易知道2()fxxx在1,2上递减，max2()3(1,2)xxx。所以3a。2004四年全国高中数学联合竞赛（天津初赛）2．若ba0，且1ba，则下列各式中最大的是（C）（A）1（B）1loglog22ba（C）b2log（D）)(log32232babbaa2004年全国高中数学联赛四川省初赛1．已知不等式m2＋(cos2θ－5)m＋4sin2θ≥0恒成立，则实数m的取值范围是AA.0≤m≤4B.1≤m≤4C.m≥4或x≤0D.m≥1或m≤08．不等式|x2－2|≤2x＋1的解集为__________________.8、{x|2－1≤x≤3}10．若0＜a、b、c＜1满足条件ab＋bc＋ca＝1，则11－a＋11－b＋11－c的最小值是____.3(3＋3)22005年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛10．设命题P:cc2和命题Q:对任何Rx，0142cxx有且仅有一个成立，则实数c的取值范围是。【解】：命题P成立可得10c；命题Q成立可得2121c。因此，要使命题P和命题Q有且仅有一个成立，实数c的取值范围是1,210,212005年全国高中数学联赛江苏赛区初赛3.设0ab,那么21()abab的最小值是A.2B.3C.4D.53,C由0ab,可知22210()()424aababba所以，222144()aababa.故选C．