青岛15中2005-2006学年度第一学期期末高三数学文史类

青岛15中2005-2006学年度第一学期期末高三数学文史类本试卷分第Ⅰ卷(选择题共60分)和第Ⅱ卷(非选择题共90分)，考试时间为120分钟，满分为150分.第Ⅰ卷(选择题共60分)参考公式：如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A在试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=Cknpk(1－p)n-k正棱锥、圆锥的侧面积公式S锥侧=21cl，其中c表示底面周长，l表示斜高或母线长球的表面积公式S=4πR2，其中R表示球的半径球的体积公式V=34πR3，其中R表示球的半径一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知A={x|x+1≥0}，B={y|y2－20}，全集I=R，则A∩IB为A.{x|x≥2或x≤－2}B.{x|x≥－1或x≤2}C.{x|－1≤x≤2}D.{x|－2≤x≤－1}2.不等式log31(x－1)－1的解集为A.{x|x4}B.{x|x4}C.{x|1x4}D.{x|1x32}3.下列函数中，图象与函数y=4x的图象关于y轴对称的是A.y=－4xB.y=4-xC.y=－4-xD.y=4x+4-x4.在以下关于向量的命题中，不正确的是A.若向量a=(x，y)，向量b=(－y，x)(x、y≠0)，则a⊥bB.四边形ABCD是菱形的充要条件是AB=DC，且|AB|=|AD|C.点G是△ABC的重心，则GA+GB+CG=0D.△ABC中，AB和CA的夹角等于180°－A5.已知函数y=x3－3x，则它的单调增区间是A.(－∞，0)B.(0，+∞)C.(－1，1)D.(－∞，－1)及(1，+∞)6.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，公比q≠1，那么A.a32+a72a42+a62B.a32+a72a42+a62C.a32+a72=a42+a62D.大小不确定7.曲线y=x3+x－2的一条切线平行于直线y=4x－1，则切点P0的坐标为A.(0，－2)或(1，0)B.(1，0)或(－1，－4)C.(－1，－4)或(0，－2)D.(1，0)或(2，8)8.函数y=f(x+1)与y=f(1－x)的图象关于A.y轴对称B.原点对称C.直线x=1对称D.关于y轴对称且关于直线x=1对称9.已知xlim(1122xx－ax+b)=2，则b的值为A.0B.4C.－4D.不确定10.设f(x)、g(x)在［a，b］上可导，且f′(x)＞g′(x)，则当a＜x＜b时，有A.f(x)＞g(x)B.f(x)＜g(x)C.f(x)+g(a)＞g(x)+f(a)D.f(x)+g(b)＞g(x)+f(b)11.如图，圆C：(x－1)2+(y－1)2=1在直线l:y=x+t下方的弓形(阴影部分)的面积为S，当直线l由下而上移动时，面积S关于t的函数图象大致为12.函数f(x)=)1|(|||)1|(|12xxxx，如果方程f(x)=a有且只有一个实根，那么a满足A.a0B.0≤a1C.a=1D.a1第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)13.北京市某中学要把9台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望学校，每所小学至少得到2台，不同送法的种数共有__________种.14.已知f(x)=|log3x|，当0a2时，有f(a)f(2)，则a的取值范围是__________.15.已知无穷等比数列首项为2，公比为负数，各项和为S，则S的取值范围为__________.16.设有四个条件：①平面γ与平面α、β所成的锐二面角相等；②直线a∥b，a⊥平面α，b⊥平面β；③a、b是异面直线，aα，bβ，且a∥β，b∥α；④平面α内距离为d的两条直线在平面β内的射影仍为两条距离为d的平行线.其中能推出α∥β的条件有__________.(填写所有正确条件的代号)三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边.已知tanA+tanB+3=tanA·tanB·3，(1)求∠C的大小；(2)若c=27，△ABC的面积S△ABC=233，求a+b的值.18.(本小题满分12分)已知a，b都是非零向量，且a+3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角.19.(本小题满分12分)已知曲线C：x2－y2=1及直线L：y=kx－1.(1)若L与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若L与C交于A、B两点，O是坐标原点，且△OAB的面积为2，求实数k的值.20.(本小题满分12分)如图，已知三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，PA=3，AC=4，PB=PC=BC.(1)求三棱锥P—ABC的体积V；(2)作出点A到平面PBC的垂线段AE，并求AE的长；(3)求二面角A—PC—B的大小.21.(本小题满分12分)某水库水位已超过警戒水位(设超过的水量为P)，由于上游仍在降暴雨，每小时将流入水库相同的水量Q，为了保护大坝的安全，要求水库迅速下降到警戒水位以下，需打开若干孔泄洪闸(每孔泄洪闸泄洪量都相同).要使水位下降到警戒水位，经测算，打开两孔泄洪闸，需40小时；打开4孔泄洪闸，需16小时.现要求在8小时内使水位下降到警戒水位以下，问：至少需打开几孔泄洪闸？22.(本小题满分14分)函数f(x)=loga(x－3a)(a0且a≠1)，当点P(x，y)是函数y=f(x)图象上的点时，Q(x－2a，－y)是函数y=g(x)图象上的点.(1)写出函数y=g(x)的解析式；(2)当x∈［a+2，a+3］时，恒有|f(x)－g(x)|≤1，试确定a的取值范围.参考答案仿真试题(一)一、选择题(每小题5分，共60分)1.解析：由已知得A={x|x≥－1}，B={y|y＞2或y＜－2}，IB={y|－2≤y≤2}，则A∩IB={x|－1≤x≤2}，选C.答案：C2.解析：由已知得.31,01xx得1＜x＜4，选C.答案：C3.解析：关于y轴对称的规律是以－x代x，y代y，得所求函数为y=4-x，选B.答案：B4.解析：若点G是△ABC的重心，则有GA+GB+GC=0，而C的结论是GA+GB+CG=0，显然是不成立的，选C.答案：C5.解析：由y=x3－3x，得y′=3x2－3.令y′=0，得x=±1.列表:y(－∞，－1)(－1，1)(1，+∞)y′＞0＜0＞0所以函数y=x3－3x的单调增区间为(－∞，－1)及(1，+∞)，选D.答案：D6.解析：取特殊数列验证：根据题意取数列1，2，4，8，16，32，64(q＞1)，易证a32+a72a42+a62；取数列64，32，16，8，4，2，1(0＜q＜1)，易证a32+a72a42+a62，故选A.答案：A7.解析：由y=x3+x－2，得y′=3x2+1，由已知得3x2+1=4，解之得x=±1.当x=1时，y=0;当x=－1时，y=－4.∴切点P0的坐标为(1，0)或(－1，－4)，选B.答案：B8.解析：根据对称关系验证D正确，选D.答案：D9.解析：1122xx－ax+b=11222xbbxaxaxx=11)()2(2xbxabxa.∵xlim(1122xx－ax+b)=2，得.2,02aba得.4,2ba选B.答案：B10.解析：令F(x)=f(x)－g(x)，x∈［a，b］，则F′(x)=f′(x)－g′(x)＞0.∴F(x)在［a，b］上是增函数.又a＜x＜b，得F(a)＜F(x)＜F(b)，即f(a)－g(a)＜f(x)－g(x)＜f(b)－g(b).得f(x)+g(a)＞g(x)+f(a)，选C.答案：C11.解析：当t=－2时，S=0;当t≥2时，S=π;当t=0时，S=2.对照图象知B符合题意，故选B.答案：B12.解析：由图知a=1时，图象只有一个交点，故选C.答案：C二、填空题(每小题4分，共16分)13.解析：分为三种情况：①每所学校得3台电脑；②有两所学校各得2台电脑，一所学校得5台电脑；③有一所学校得2台电脑，一所学校得3台电脑，一所学校得4台电脑.答案：1014.解析：由f(a)＞f(2)，得|log3a|＞log32.log3a＞log32或log3a＜－log32=log321，得a＞2或0＜a＜21，又0＜a＜2，∴0＜a＜21.答案：0＜a＜2115.解析：由已知S=q12，得q=SS2.又－1＜q＜0得－1＜SS2＜0.解之得1＜S＜2.答案：1＜S＜216.解析：①不正确②正确③正确④不正确故②③正确.答案：②③三、解答题(17、18、19、20、21题每题12分，22题14分，共74分)17.解：(1)tanC=－tan(A+B)=－BABAtantan1tantan=－BABAtantan1)1tan(tan3=3.∵0°＜C＜180°，∴C=60°.6分(2)由c=27及余弦定理，得a2+b2－2abcos60°=(27)2.又由S△ABC=21absin60°=233，整理得.6,44922ababba∴(a+b)2=4121，即a+b=211.12分18.解：∵a+3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，∴(a+3b)·(7a－5b)=0，(a－4b)·(7a－2b)=0.4分即.0||830||7,0||1516||72222bbaabbaa两式相减：a·b=21|b|2，代入①得|a|2=|b|2.8分∴cosα=||||baba=21.∴α=60°，即a与b的夹角为60°.12分19.解：(1)曲线C与直线L有两个不同交点，则方程组1122kxyyx有两个不同的解.代入整理得：(1－k2)x2+2kx－2=0.2分此方程必有两个不等的实根x1，x2，∴.0)1(84,01222kkk解得－2＜k＜2且k≠±1时，曲线C与直线L有两个不同的交点.6分(2)设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线L与y轴交于点D(0，－1)，∴.12,12221221kxxkkxx∵S△OAB=S△OAD+S△OBD①②=21|x1|+21|x2|=21(|x1|+|x2|)(∵x1·x2＜0)8分=21|x1－x2|=2，∴(x1－x2)2=(22)2，即(212kk)2+218k=8.解得k=0或k=±26.∵－2＜k＜2，∴k=0或k=±26时，△OAB面积为2.12分20.解：(1)∵PA⊥平面ABC，PB=PC，由射影定理得，AB=AC=4.∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AC.在Rt△PAC中，可求出PC=5，则PB=BC=5.取BC中点D，连AD.在等腰△ABC中，求出底边上的高AD=239.∴V=31·21·5·239·3=4395.4分(2)连PD，则PD⊥BC，又AD⊥BC，∴BC⊥平面PAD.又BC平面PBC，∴平面PAD⊥平面PBC.作AE⊥PD于E，则AE⊥平面PBC，AE为点A到平面PBC的垂线段.在Rt△PAD中，由PA·AD=AE·PD，即3·239=AE·235，求出AE=5133.8分(3)作AF⊥PC于F，连EF，由三垂线逆定理，得EF⊥PC.∠AFE为二面角A—PC—B的平面角.在Rt△PAC中，由PA·AC=PC·AF，即3·4=5·AF，求出AF=512，∴sinAFE=AFAE=5133·125=413.12分即二面角A—PC—B为arcsin413.21.解：设应打开n孔泄洪闸，每孔泄洪闸每小时的泄洪量为R，则有