普通高等学校春季招生考试高三数学

普通高等学校春季招生考试高三数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至9页，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．参考公式：三角函数的积化和差公式)]sin()[sin(21cossin)]sin()[sin(21sincos)]cos()[cos(21sincos)]cos()[cos(21cossin一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）若集合M＝{y|y=2－x}，}1|{xyyP，则PM（2）若xxxf1)(，则方程f(4x)=x的根是（A）21（B）21（C）（D）－2正棱台、圆台的侧面积公式tcc)(21sin2＝台侧其中c′，c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长球体的体积公式334Rv＝球其中R表示球的半径（3）设复数z1=－1＋i，iz23212，则21argzz（A）1213（B）127（C）125（D）125（4）函数)1(11)(xxxf的最大值是（A）54（B）45（C）43（D）34（5）在同一坐标系中，方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0（ab0）的曲线大致是（6）若A，B，C是△ABC的三个内角，且ABC（2C），则下列结论中正确的是（A）sinAsinC（B）cosAcosC（C）tanAtanC（D）cotAcotC（7）椭圆sin3cos54yx，（为参数）的焦点坐标为（A）（0，0），（0，－8）（B）（0，0），（－8，0）（C）（0，0），（0，8）（D）(0，0)，（8，0）（8）如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点．将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为（A）90°（B）60°（C）45°（D）0°（9）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（A）42（B）30（C）20（D）12（10）已知直线ax+by+c=0（abc≠0）与圆x2+y2=1相切，则三条边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形（A）是锐角三角形（B）是直角三角形（C）是钝角三角形（D）不存在（11）若不等式|ax+2|6的解集为（－1，2），则实数a等于（A）8（B）2（C）－4（D）－8（12）在直角坐标系xOy中，已知△AOB三边所在直线的方程分别为x＝0，y＝0，2x+3y=30，则△AOB内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（A）95（B）91（C）88（D）75第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．（13）如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则rR____________．（14）在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表，观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（____）内．年龄（岁）3035404550556065收缩压（水银柱毫米）110115120125130135（___）145舒张压（水银柱毫米）707375788083（___）88（15）如图，F1，F2分别为椭圆12222byax的左、右焦点，点P在椭圆上△POF2是面积为3的正三角形，则b2的值是_________________．（16）若存在常数p0，使得函数f(x)满足)2()(ppxfpxf（x∈R），则f(x)的一个正周期为_____________．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）解不等式：1)1(log)2(log21221xxx．（18）（本小题满分12分）已知函数xxxxf2cos4sin5cos6)(24，求f(x)的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域．（19）（本小题满分12分）如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面边长为22，侧棱长为4．E，F分别为棱AB，BC的中点，GBDEF．（Ⅰ）求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1；（Ⅱ）求点D1到平面B1EF的距离d；（Ⅲ）求三棱锥B1－EFD1的体积V．（20）（本小题满分12分）某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护需50元．（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？（21）（本小题满分13分）如图，在边长为l的等边△ABC中，圆O1为△ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB，BC相切，…，圆On+1与圆On外切，且与AB，BC相切，如此无限继续下去．记圆On的面积为an（n∈N）．（Ⅰ）证明｛an｝是等比数列；（Ⅱ）求)(lim21nnaaa的值．（22）（本小题满分13分）已知动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x＝－1相切，点C在l上．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M的方程；（Ⅱ）设过点P，且斜率为3的直线与曲线M相交于A，B两点．（ⅰ）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；（ⅱ）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围．普通高等学校春季招生考试参考解答一、选择题：本题主要考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分．（1）C（2）A（3）C（4）D（5）D（6）A（7）D（8）B（9）A（10）B（11）C（12）B二、填空题：本题主要考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．（13）332（14）年龄（岁）3035404550556065收缩压（水银柱毫米）110115120125130135（140）145舒张压（水银柱毫米）707375788083（85）88（15）32（16）2p注：填2p的正整数倍中的任何一个都正确．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）本小题主要考查不等式的解法、对数函数的性质等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力．满分12分．解：原不等式变形为)22(log)2(log21221xxx．所以，原不等式222010222xxxxxx，，03010)1()2(2xxxxx，，32302xxx，．故原不等式的解集为｛x|2x3｝．（18）本小题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力．满分12分．解：由cos2x≠0得22kx，解得42kx，k∈Z．所以f(x)的定义域为}42|{ZRkkxxx，且．因为f(x)的定义域关于原点对称，且)2cos(4)(sin5)(cos6)(24xxxxf)(2cos4sin5cos624xfxxx，所以f(x)是偶函数．当42kx，k∈Z时，xxxxxxxf2cos)1cos3)(1cos2(2cos4sin5cos6)(2224＝3cos2x－1所以f(x)的值域为}221211|{yyy或．（19）本小题主要考查正四棱柱的基本知识，考查空间想象力、逻辑思维能力和运算能力．满分12分．（Ⅰ）证法一：连结AC．∵正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是正方形，∴AC⊥BD，又AC⊥D1D，故AC⊥平面BDD1B1．∵E，F分别为AB，BC的中点，故EF∥AC，∴EF⊥平面BDD1B1，∴平面B1EF⊥平面BDD1B1．证法二：∵BE＝BF，∠EBD＝∠FBD＝45°，∴EF⊥BD．又EF⊥D1D，∴EF⊥平面BDD1B1，∴平面B1EF⊥平面BDD1B1．（Ⅱ）在对角面BDD1B1中，作D1H⊥B1G，垂足为H．∵平面B1EF⊥平面BDD1B1，且平面B1EF平面BDD1B1＝B1G，∴D1H⊥平面B1EF，且垂足为H，∴点D1到平面B1EF的距离d=D1H．解法一：在Rt△D1HB1中，D1H＝D1B1·sin∠D1B1H．∵422221111BABD，174144sinsin2211111GBBBGBBHBD，∴17171617441HDd．解法二：∵△D1HB1∽△B1BG，∴GBBDBBHD11111，∴1717161442221211GBBBHDd．解法三：连结D1G，则三角形D1GB1的面积等于正方形DBB1D1面积的一半，即21112121BBHDGB，∴1717161211GBBBHDd．（Ⅲ）EFBEFBDEFDBSdVVV111113131617221171631．（20）本小题主要考查二次函数的性质等基本知识，考查分析和解决问题的能力．满分12分．解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为125030003600，所以这时租出了88辆车．（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的收益为50503000)150)(503000100()(xxxxf，整理得2100016250)(2xxxf307050)4050(5012x．所以，当x=4050时，f(x)最大，最大值为f(4050)＝307050，即当每辆车的月租金定为4050时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元．（21）本小题主要考查数列、数列极限、三角函数等基本知识，考查逻辑思维能力．满分13分．（Ⅰ）证明：记rn为圆On的半径，则llr6330tan21，2130sin11nnnnrrrr．所以131nnrr（n≥2），于是122211lra，91)(211nnnnrraa，故｛an｝成等比数列．（Ⅱ）解：因为11)91(aann（n∈N），所以323911)(lim2121laaaann．（22）本小题主要考查直线、圆与抛物线的基本概念及位置关系，考查运用解析几何的方法解决数学问题的能力．满分13分．解：（Ⅰ）依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为y2=4x．（Ⅱ）（ⅰ）由题意得，直线AB的方程为)1(3xy．由xyxy4)1(32，消y得3x2－10x+3＝0，解得311x，x2＝3．所以A点坐标为)33231(，，B点坐标为)323(－，，3162||21xxAB．假设存在点C（－1，y），使△ABC为正三角形，则|BC|＝|AB|且|AC|＝|AB|，即.)316()32()131()316()32()13(222222yy，由①－②得2222)332()34()32(4yy，解得9314y．但9314y不符合①，所以由①，②组成的方程组无解．因此，直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形．①②（ⅱ）解法一：设C（－1，y）使△ABC成钝角三角形，由1)1(3xxy，得32y，即当点C的坐标为)3