立体几何中的向量方法

立体几何中的向量方法备课：余乃灵在立体几何的学习中，求各种“空间角”、和空间“距离”的难点在于作出相应的“角”及作出表示“距离”的线段，并给出相应的证明。引入向量的工具，避开了“作”、“证”这个难点，提供了解决求空间角、距离及证明“垂直”、“平行”的通法。进一步强化了“坐标法”、“数形结合”和“转化”等数学思想方法.复习过程与方法：1.立足课本，掌握好向量的相关知识：概念、基本运算、建系方法、坐标求法（不定点的坐标）、平行与垂直、法向量求法2.掌握向量作为工具解决立几问题的方法3.向量解题后建议多思考传统的方法，不仅可以锻炼思维能力，还可以深刻认识空间几何的本质相关知识与能力：一.空间距离的计算1.空间两点间的距离：设A、B是空间两点，则A、B两点间的距离d=|AB|2.两条异面直线间的距离：设a、b是两条异面直线，n是a、b的公共法向量（即bnan且），点Aa,Bb则异面直线a、b间的距离nnABd即nAB在方向上的射影长为异面直线a、b间的距离。3.点（或线）到平面的距离：1）设,.,外一点是平面点的法向量是平面oPnP是平面α内任一点，则PO到平面α的距离nnPPdo2)直线与平面（或平面与平面）的距离转化为点到平面的距离。二.空间角度的计算1.两条异面直线所成的角：设l1与l2两条异面直线，n∥l1，m∥l2，则l1与l2所成的角α=n，m或α=л-n，m（0α≤2）cosn，m=mnmn或cosα=mnmn（0α≤2）2.斜线P0P与平面α所成的角θ)20(3.二面角：设相交平面α与β的法向量分别为mn,，则α与β所成的角的大小为mn,或mn,（如何确定？）基础演练：1.(1).二面角α-l-β的大小是120o,A、Cl,Bα,且AB⊥l,CD⊥l,AB=CD=a,AC=2a。求BD的长。(2)二面角α-l-β,A、Cl,Bα,且AB⊥l,CD⊥l,AB=CD=a,AC=2a,BD=a7,求二面角α-l-β的大小.2.正方体1111ABCDABCD中，E、F分别为AB、AD的中点，(1)11AC与1BC所成角(2)11AC与EF所成角(3)1AC与1AD所成角(4)1AD与EF所成角(5)1BD与CE所成角；(6)1BC与平面ABCD所成角(7)1BD与平面1!DCCD所成角;(8)二面角1ABCD的大小;(9)二面角111BACB的大小;(10)二面角1CEFC的大小;(11)BD1的长度；（12）C到ABD1的距离;(13)四面体EFBC1的体积;(14)异面直线EC,AD1的距离;3.如图正三棱柱，棱都相等，D是BC的中点.AB=2。1）求证A1B∥平面ADC1。2）求A1B与截面ADC1的距离巩固提高1.如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上，点N在BF上，若32BNCM求MN与BE所成角的余弦值。2.直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝2，AB＝AC＝1，∠BAC＝900，已知点M是BC的中点，点N在侧棱CC1上.(Ⅰ).当线段CN的长度为多少时，MN⊥AB1；(Ⅱ).若MN⊥AB1，求B1N与平面AB1M所成角的余弦值3.在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，∠ACB=900,将它沿对角线AC折起，使AB与CD成600角，求B、D间距离。4.已知四棱锥P—ABCD的底面为正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分别为AB、PD的中点，PA=a，二面角P—CD—B为45°。（1）求证：AF∥平面PCE；（2）求证：平面PCE⊥平面PCD；（3）求点D到平面PCE的距离.abnABd所示图）见第一3..(cossin0nppnPPoPαnP0dOθβαBCDβA1A1BDACBE1DF1CABCDA1B1C1CDMBENAFMBCA1B1C1ANPABCDEFABCD第3题基础演练：1.（1）a7；（2）12002.（1）60（2）90（3）90（4）60（5）15arccos15（6）45（7）22arctg（8）45（9）2arctg（10）223arctg3解：1)建立空间直角坐标系A-xyz则：A（0，0，0），B（3，1，0）C（0，2，0），C1（0，2，2），A1（0，0，2）∴D)0,23,23(∴)2,1,3(),0,23,23(),2,2,0(11BAADAC设平面ADC1的法向量为ADnACnzyxn且则1),,,(从而有：yxzyyxzy302323022取)3,3,3(n∵0)3,3,3()2,1,3(,1nBA又A1B平面ADC1∴A1B∥平面ADC12)由1）知，A1B∥平面ADC1，所以A1B与截面ADC1的距离等于A1点到截面ADC1的距离∵)0,2,0(11CA∴3211nCA∴552153211nnCAd故A1B与截面ADC1的距离等于552巩固提高：1.解1：由条件知：BA、BC、BE三线两两垂直成以可建直角坐标系如图所示∵CM=1∴21MACM)0,0,1(),1,0,0(AC∴)32,0,31(M同理：)0,31,31(BN∴)32,31,0(MN35)32()31(022MN又)0,1,0(BE1BE310310BEMN∴553531,cosMNBEMNBEMNBE故MN与BE所成角的余弦值为55注：求点M的坐标用到了空间定比分点坐标公式：1,1,1212121zzzyyyxxx2.（Ⅰ）CN＝41时，MN⊥AB1；（Ⅱ）2233.22或4.（1）∵底面是正方形，∴AD⊥CD又PA⊥底面AC，∴PD⊥CD（三垂线定理）∴∠PDA=45°∴AD=PA=a建立直角坐标系（如图所示）则易得：A（0，0，0）B（a，0，0）C（a，a，0）D(0，a，0)P（0，0，a）又E、F分别是AB、PD的中点∴)2,2,0(),,0,2(),,,(aaAFaaPEaaaPC设平面PCE的法向量为),,(zyxn则由)1,1,2(2,nzyzxPEnPCn取得∴02)2(0aanAF又AF平面PCE，故AF∥平面PCD（2）易得),,(),,.0(aaaPCaaPD又得法向量为)1,1,0(m，又由（1）知：)1,1,2(n∴,0mn从而平面PCE⊥平面PCD。（3）∵)0,1,2()1(),0,0,(nPCEaDC的法向量为知平面又由∴求点D到平面PCE的距离55252aannDCdCDMBENAFCPABCDEF