空间向量高考题

空间向量高考题1.如下图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB=4,AD=3,AA1=2.E、F分别是线段AB、BC上的点,且EB=FB=1.（Ⅰ）求二面角C—DE—C1的正切值;（Ⅱ）求直线EC1与FD1所成角的余弦值.2、.如图,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形,AB=8,AD=4,侧面PAD为等边三角形,并且与底面所成二面角为60°.（Ⅰ）求四棱锥P—ABCD的体积;（Ⅱ）证明PA⊥BD.4、如图，α⊥β，α∩β＝l，A∈α，B∈β，点A在直线l上的射影为A1，点B在直线l上的射影为B1，已知AB＝2，AA1=1，BB1＝，求：（Ⅰ）直线AB分别与平面α，β所成的角的大小；（Ⅱ）二面角A1－AB－B1的大小.证∵α⊥β，α∩β=l，AA1⊥l，BB1⊥l，∴AA1⊥β，BB1⊥α，则∠BAB1，∠ABA1分别是AB与α和β所成的角.Rt△BB1A中，BB1=，AB=2，∴sin∠BAB1=，∴∠BAB1=45°.Rt△AA1B中，AA1=1，AB=2，∴sin∠ABA1=，∴∠ABA1=30°.故AB与平面α，β所成的角分别是45°，30°.(Ⅱ)如图，建立坐标系，则A1（0，0，0），A（0，0，1），B1（0，1，0），B（，1，0）.在AB上取一点F（x，y，z），则存在t∈R，使得=t，即（x，y，z－1）=t()，∴点F的坐标为(t，t，1－t).要使，须=0，即（，t，1－t）·（，1，－1）=0，2t+t－(1－t)=0，解得t=，∴点F的坐标为()∴().设E为AB1的中点，则点E的坐标为（0，）.∴又∴，∴∠A1FE为所求二面角的平面角.又cos∠A1FE=∴二面角A1－AB－B1的大小为arccos.5、如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点。（I）证明：ED为异面直线与的公垂线；（II）设求二面角的大小（Ⅰ）如图，建立直角坐标系其中原点为的中点。设则又=(-2a,0,2c),∴ED⊥AC1所以是异面直线与的公垂线。（Ⅱ）不妨设则，，即，又，面又，，，即，又，面，即得和的夹角为，所以二面角为6、已知四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点。（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角；（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。证：因为PA⊥AD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点，AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,).(I)证明：因=(0,0,1),=(0,1,0),故·=0,所以AP⊥DC.又由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD。又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD.（II）解：因=(1,1,0),=(0,2,-1),故||=，||=，·=2，所以cos·==由此得AC与PB所成的角为arccos（III）解：在MC上取一点N(x,y,z),则存在λ∈R，使=λ，=(1-x,1-y,-z),=(1,0,-),∴x=1-λ,y=1,z=λ.要使AN⊥MC只需·=0,即x-z=0,解得λ=.可知当λ=时,N点坐标为(,1,),能使·=0.此时,=(,1,),=(,-1,),有·=0.由·=0,·=0得AN⊥MC,BN⊥MC.所以∠ANB为所求二面角的平面角.∵||=,||=,·=-∴cos,=故所求的二面角为arccos(-).7、如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E、F分别为CD、PB的中点。（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAB；（Ⅱ）设AB=BC，求AC与平面AEF所成的角的大小。证：以D为坐标原点，DA的长为单位，建立如图所示的直角坐标系.（Ⅰ）证明：设E（a，0，0）其中a0，则C（2a，0，0），A（0，1，0）B（2a，1，0），P（0，0，1），F（a，，）.=（0，，），=（2a，1，-1），=（2a，0，0）。·=0，∴EF⊥PB.·=0，∴EF⊥AB又PB平面PAB，AB平面PAB，PB∩AB=B.∴EF⊥平面PAB.（Ⅱ）解：由AB=BC，得a=.可得=（，-1，0），=（，1，-1）cos·==,异面直线AC、PB所成的角为arccos.=（，-，）.∴·=0,PB⊥AF.又PB⊥EF，EF、AF为平面AEF内两条相交直线,即AC与平面AEF所成的角为arcsin.8.如图，已知四棱锥P—ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.（Ⅰ）求点P到平面ABCD的距离；（Ⅱ）求面APB与面CPB所成二面角的大小.（Ⅰ）解：如图，作PO⊥平面ABCD，垂足为点O.连结OB、OA、OD，OB与AD交于点E，连结PE.∵AD⊥PD，∴AD⊥OB，∵PA＝PD，∴OA＝OD，于是OB平分AD，点E为AD的中点，所以PE⊥AD.由此知∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角，∴∠PEB＝120，∠PEO＝60.由已知可求得PE＝，∴PO＝PE·sin60=×=,即点P到平面ABCD的距离为.（Ⅱ）：如图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA.P(0,0,)，B（0,,0），PB中点G的坐标为（0,,），连结AG.又知A（1，，0），C（－2，，0）.由此得到：=(1,－,－),=(0,,－),=(－2,0,0).于是有·＝0,·＝0，所以⊥,⊥.,的夹角等于所求二面角的平面角,于是cos==－,所以所求二面角的大小为π－arccos.