换元法

二、换元法（课时10）一、知识提要解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法.换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等.二、例题讲解例1．（1）已知：xxflg)12(，求)(xf.（2）设实数x、y满足0122xyx，则yx的取值范围是_________.（3）方程2)22(log)12(log122xx的解集是______________.解：（1）)1)(1lg(2lg)(xxxf；（2）设kyx，则1044,01222kkkxx或1k；（3）令)12(log2x=t，可得原方程的解集为}0{.例2．（1）函数223)1(xxxy的值域是_____________.(2)已知：数列}{na的11a，前n项和为nS，241nnaS.求}{na的通项公式.解：（1）令tanx，)2,2(，则sin)tan1(cos)tan1(tantan23223y4sin412coscossin)sin(cossincos22，∴]41,41[y.（2）由241nnaS，知)2(241naSnn，∴)2)((411naaSSnnnn，即)2)((411naaannn∴)2)(2(2211naaaannnn，令nnnaab21，则)2(21nbbnn∵11a，52a，∴31b，123nnb，即nnnaa22311.两边除以12n得：432211nnnnaa，令nnnac2，则有431nncc，∴)13(41ncn，代入nnnac2得：22)13(nnna.例3．实数x、y满足4x2－5xy＋4y2＝5（①式），设S＝x2＋y2，求max1s＋min1s的值.（93年全国高中数学联赛题）方法1：设sincossysx代入①式得：4S－5S·sincos＝5解得S＝2sin5810；∵-1≤sin2α≤1∴3≤8－5sin2α≤13∴1013≤1085sin≤103∴max1s＋min1s＝310＋1310＝1610＝85方法2：由S＝x2＋y2，设x2＝2s＋t，y2＝2s－t，t∈[－S2，S2]，则224tsxy－代入①式得：4S±5224ts－=5，移项平方整理得100t2+39S2－160S＋100＝0.∴39S2－160S＋100≤0解得：1013≤S≤103∴max1s＋min1s＝310＋1310＝1610＝85方法3：（和差换元法）设x＝a＋b，y＝a－b，代入①式整理得3a2＋13b2＝5，求得a2∈[0,53]，所以S＝(a－b)2＋(a＋b)2＝2(a2＋b2)＝1013＋2013a2∈[1013,103]，再求max1s＋min1s的值.三、同步练习1．xxxxycossincossin的最大值是__12＋2___.2．已知数列}{na中，nnnnaaaaa111,1a1＝－1，则数列通项na＝_____n1____.3．已知x2＋4y2＝4x，则x＋y的范围是_____]25,25[______.4．设等差数列}{na的公差21d，且145100s，则99531aaaa的值为（C）A.85B.72.5C.60D.52.55．已知0,0ba，1ba，则a12＋b12的范围是__]2,226[__.6．函数12xxy的值域是_____),2[_____.7．已知正四棱锥ABCDS的侧面与底面所成的角为，相邻两侧面所成的角为求2coscos的值.解答：08．如图，已知椭圆1925:22yxC，圆PyxO,4:22椭圆C而PA、PB是圆O任意切线，A、B为切点.（1）求AB中点M的轨迹方程；（2）设AB所在直线交x轴于C，交y轴与D，求CODS的最小值.解：（1）)(225)169(162222yxyx；（2）1516)(minCODS.yDAPMCOxB