互斥事件综合训练

典型例题一例1今有标号为1、2、3、4、5的五封信，另有同样标号的五个信封，现将五封信任意地装入五个信封中，每个信封一封信，试求至少有两封信与信封标号一致的概率．分析：至少有两封信与信封的标号配对，包含了下面两种类型：两封信与信封标号配对；3封信与信封标号配对；4封信与信封标号配对，注意：4封信配对与5封信配对是同一类型．现在我们把上述三种类型依次记为事件321AAA、、，可以看出321AAA、、两两互斥，记“至少有两封信与信封标号配对”为事件A，事件A发生相当于321AAA、、有一个发生，所以用公式)()()()(321APAPAPAP可以计算)(AP.解：设至少有两封信配对为事件A，恰好有两封信配对为事件1A，恰有3封信配对为事件2A，恰有4封信（也就是5封信）配对为事件3A，则事件A等于事件321AAA，且321AAA、、事件为两两互斥事件，所以)()()()(321APAPAPAP．5封信放入5个不同信封的所有放法种数为55A，其中正好有2封信配对的不同结果总数为.225C正好有3封信配对的不同结果总数为.35C正好有4封信（5封信）全配对的不同结果总数为1，而且出现各种结果的可能性相同，.12031)()()()(,1201)(,121)(,61)2()(32135535255251ApAPAPAPAPACAPACAP说明：至少有两封信与信封配对的反面是全不配对和恰好有1封信配对，但是配对越少，计算该结果的所有方法总数越困难，即计算该事件的概率越不方便．现在把问题改为计算“至多两封信与信封标号配对”的概率是多少？我们转化为求其对立事件的概率就简单得多，它的对立事件为“3封信配对或4封信（即5封）配对”，得到其结果的概率为120109)1(1555535AAC，在计算事件的概率时有时采用“正难则反”的逆向思维方法，直接计算事件的概率比较难，而计算其对立事件的概率比较容易时可采用这种方法．典型例题七例7射手张强在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为24.0，28.0，19.0，16.0，13.0．计算这个射手在一次射击中：(1)射中10环或9环的概率；(2)至少射中7环的概率；(3)射中环数不足8环的概率．分析：“射中10环”，“射中9环”，…“射中7环以下”是彼此互斥事件，可运用“事件的和”的概率公式求解．解：设“射中10环”、“射中9环”、“射中8环”、“射中7环”、“射中7环以下”的事件分别为A、B、C、D、E，则(1)52.028.024.0)()()(BPAPBAP，所以射中10环或9环的概率为52.0．(2))(DCBAP)()()()(DPCPBPAP87.016.019.028.024.0，所以至少射中7环的概率为87.0．(3)29.013.016.0)()()(EPDPEDP，所以射中环数不足8环的概率为29.0．说明：公式)()()(BPAPBAP只有在A、B两事件互斥时才使用，如果A、B两事件不互斥，就不能应用这一公式，一定要注意)()()(BPAPBAP这一公式应用的前提是A、B两个事件互斥．典型例题三例3有4个红球，3个黄球，3个白球装在袋中，小球的形状、大小相同，从中任取两个小球，求取出两个同色球的概率是多少？分析：与倒2中取球方式不同的是，从中取出两球是不放回的取出．处理上，例2是分步取球，先取哪个后取哪个是有区别地对待，而本例中，只要搞清是取的什么球，直接用组合数列式．取出两个同色球可以分成下面几个类型：两个红球；两个黄球；两个白球．解：从10个小球中取出两个小球的不同取法数为,210C“从中取出两个红球”的不同取法数为，其概率为,21024CC“从中取出两个黄球”的不同取法数为，其概率为,21023CC“从中取出两个白球”的不同取法数为，其概率为,21023CC所以取出两个同色球的概率为：.154210232102321024CCCCCC说明：本题求取出两个同色球的概率，对结果比较容易分类，如果换上“取出3个球，至少两个同颜色”，这样的问题分类相对就比较复杂，在此我们不一一列出，但考虑其反面，对立事件为“取出3个球，颜色全不相同”，对立事件的概率比较容易算出．取出3个球，颜色全不相同的所有不同取法数为36334（种），对立事件的概率为453636210C，所以“取出3个球，至少两个同颜色”的概率为：.2.045361典型例题九例9小明的袋中放有3个伍分硬币、3个贰分硬币和4个壹分硬币，从中任取3个，求总数超过8分的概率．分析1：视其为互斥事件，进而求概率．解法1：(1)记“总数超过8分”为事件A，它包括下列四种情况：①“取到3个伍分硬币”记为事件1B；②“取到2个伍分硬币和1个贰分硬币”为事件2B；③“取到2个伍分硬币和1个壹分硬币”为事件3B；④“取到１个伍分硬币和2个贰分硬币”为事件4B．1201)(310331CCBP，1209)(31013232CCCBP，12012)(31014233CCCBP，1209)(31023134CCCBP．根据题意，1B、2B、3B、4B彼此互斥，故所求概率)()(4321BBBBPAP)()()()(4321BPBPBPBP12031．分析2：视其为等可能事件，进而求概率．解法2：从10个硬币中取3个，共有310C种不同方法．“总数超过8分”的共有以下四种情况：①取3个伍分硬币，共有33C种方法；②取2个伍分硬币和1个贰分硬币，共有1323CC种方法；③取2个伍分硬币和1个壹分硬币，共有1423CC种方法；④取１个伍分硬币和2个贰分硬币，共有2313CC种不同方法，所以“总数超过8分”共有3123131423132333CCCCCCC种方法．∴总数超过8分的概率为12031．说明：复杂的等可能事件的概率可化为彼此互斥的简单事件来求，要注意分类的不重、不漏．典型例题二例2袋中装有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：（1）3只全是红球的概率，（2）3只颜色全相同的概率，（3）3只颜色不全相同的概率，（4）3只颜色全不相同的概率．分析：有放回地抽3次的所有不同结果总数为33，3只全是红球是其中的1种结果，同样3只颜色全相同是其中3种结果，全红、全黄、全白，用求等可能事件的概率方式可以求它们的概率．“3种颜色不全相同”包含的类型较多，而其对立事件为“三种颜色全相同”却比较简单，所以用对立事件的概率方式求解．3只颜色全不相同，由于是一只一只地按步取出，相当于三种颜色的一个全排列，其所有不同结果的总数为33A，用等可能事件的概率公式求解．解：有放回地抽取3次，所有不同的抽取结果总数为：3只全是红球的概率为,2713只颜色全相同的概率为.91273“3只颜色不全相同”的对立事件为“三只颜色全相同”．故“3只颜色不全相同”的概率为,98911“3只颜色全不相同”的概率为.2763333A说明：如果3种小球的数目不是各1个，而是红球3个，黄球和白球各两个，其结果又分别如何？首先抽3次的所有不同结果总数为37，全是红球的结果总数为33，所以全是红球的概率为343277333，同样全是黄球的概率为3438，全是白球的概率也是3438，所以3只球颜色全相同的概率为上述三个事件的概率之和，243432438243824327，“三种颜色不全相同”为“三种颜色全相同”的对立事件，其概率为.243200243431“3只小球颜色全不相同”可以理解为三种颜色的小球各取一只，然后再将它们排成一列，得到抽取的一种结果，其所有不同结果总数为7222333A（种），所以“3只小球颜色全不相同”的概率为.24372典型例题五例5判断下列各对事件是否是互斥事件，并说明道理．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中(1)恰有1名男生和恰有2名男生；(2)至少有一名男生和至少有一名女生；(3)至少有一名男生和全是男生；(4)至少有1名男生和全是女生．分析：判断两个事物是否为互斥事件，就是考察它们能否同时发生，如果不能同时发生，则是五斥事件，不然就不是互斥事件．解：(1)是互斥事件道理是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出的是“一名男生和一名女生”，它与“恰有两名男生”，不可能同时发生，所以是一对互斥事件．(2)不可能是互斥事件道理是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果．“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男性”和“两名都是女生”两种结果，它们可同时发生．(3)不可能是互斥事件道理是：“至少有一名男生”包括“一名男生、一名女生”和“两名都是男性”，这与“全是男生”，可同时发生．(4)是互斥事件道理是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果，它和“全是女生”不可能同时发生．小结：互斥事件是概率知识中重要概念，必须正确理解．(1)互斥事件是对两个事件而言的．若有A、B两个事件，当事件A发生时，事件B就不发生；当事件B发生时，事件A就不发生（即事件A、B不可能同时发生），我们就把这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件．否则就不是互斥事件．(2)对互斥事件的理解，也可以从集合的角度去加以认识．如果A、B是两个互斥事件，反映在集合上，是表示A、B这两个事件所含结果组成的集合彼此互不相交．如果事件nAAA,,,21中的任何两个都是互斥事件，那么称事件nAAA,,,21彼此互斥，反映在集合上，表现为由各个事件所含的结果组成的集合彼此互不相交．典型例题八例8玻璃球盒中装有各色球12只，其中5红、4黑、2白、1绿，求从中取1球：(1)红或黑的概率；(2)红或黑或白的概率．分析1：视其为等可能事件，进而求概率．解法1：(1)从12只球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得红球或黑球共有945种不同取法，任取一球有12种取法，∴任取1球得红球或黑球的概率得431291P．(2)从12只球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种方法，得白球有2种取法，从而得红或黑或白球的概率为1211122452P．分析2：视其为互斥事件，进而求概率．解法2：记事件1A：从12只球中任取1球得红球；2A：从中任取1球得黑球；3A：从中任取1球得白球；4A：从中任取1球得绿球，则125)(1AP，124)(2AP，122)(3AP，121)(4AP．根据题意，1A、2A、3A、4A彼此互斥，由互斥事件概率得．(1)取出红球或黑球的概率为43124125)()()(2121APAPAAP；(2)取出红或黑或白球的概率为1211122124125)()()()(321321APAPAPAAAP．分析3：应用对立事件求概率．解法3：(1)由思路2，取出红球或黑球的对立事件为取出白球或绿球，即21AA的对立事件为43AA，∴取出红球或黑球的概率为)()(1)(1)(434321APAPAAPAAP431291211221．(2)321AAA的对立事件为4A．12111211)(1)(4321APAAAP即为所求．说明：(1)“互斥”和“对立”事件容易搞混．互斥事件是指指事件不能同时发生，对立事件是指互斥的两事件中必有一个发生．(2)求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先去求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率．典型例题六例6判断下列给出的每对事件，(1)是否为互斥事件，(2)是否为对立事件，并说明道理．从扑克40张(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1—10各10张)中，任取一张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数