广东省河源市连平县忠信中学1月份考试高三数学试卷

广东省河源市连平县忠信中学高三年级数学检测题(寒假)考试时间：120分钟满分150分本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷（选择题，共50分）一.选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设集合{Ixx＜3，x∈Z}，{1A，2}，{2B，1，2}，则A∪()BIð等于（）A、{1}B、{1,2}C、{2}D、{0,1,2}2、函数2yaxbxc的图象经过四个象限的充要条件是（）A、a＜0且()2bfa＜0B、0a且0bC、a＜0且c＞0D、a＞0且24bac＞03、函数()sin()sin()44fxxx是（）A、周期为的奇函数B、周期为的偶函数C、周期为2的奇函数D、周期为2的偶函数4、已知数列{}na是等差数列，且12312aaa，45618aaa，则789aaa等于（）A、12B、6C、0D、245、如图，正方体1111ABCDABCD的棱长为1，O是底面1111ABCD的中心，则O到平面11ABCD的距离为（）A、12B、24C、22D、326、6名同学排成两排，每排3人，其中甲排在前排的概率为（）A、12B、112C、16D、137、在)3()1(5xx的展开式中，3x的系数是（）A、40B、20C、20D、408、P是△ABC所在平面上一点，若PAPBPBPCPCPA，则点P是△ABC的（）A、外心B、内心C、重心D、垂心9、若无穷等比数列{}na满足1213213lim2nnnaaaaaa，则数列的公比q为（）A、14B、12C、23D、1310、已知函数)(xfy满足：①是偶函数)1(xfy；②在,1上为增函数。若0,021xx,且221xx,则)(1xf与)(2xf的大小关系是（）A、)()(21xfxfB、)()(21xfxfC、)()(21xfxfD、无法确定ABCD1A1B1C1DO班级：姓名：座号：试室号:……………………………………密………………………..….封…………….………….….…线……………………………………第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.）11、某校有教职工200人，男学生1000人，女学生1200人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本，已知从教职工中抽取的人数为10，则n=。12、将时间拔慢5分钟，则分针转了度，时针转了度。13、已知1,11,1)(xxxf，则不等式3)1()1(xxfx的解集是。14、已知m、n是直线，、、是平面，给出下列命题：①若⊥，∩＝m，n⊥m，则n⊥或n⊥；②若∥，∩＝m，∩＝n，则n∥m；③若m不垂直于，则m不可能垂直于内的无数条直线；④若∩＝m，n∥m，且n，n，则n∥且n∥。其中正确的命题的序号是。（注：把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15、（本小题满分13分）已知△ABC中，角A、B、C对应的边为a、b、c，A=2B，6cos3B，求sinC的值．16、（本小题满分13分）如图，三棱锥PABC中，60APBAPC，3PA，2PB，△PBC为正三角形，（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面ABC；（Ⅱ）求棱PA与侧面PBC所成的角；（Ⅲ）求点B到侧面PAC的距离。PABC17、（本小题满分13分）已知111ABCABC为正三棱柱，D是AC的中点.(1)证明：1AB∥平面1DBC(2)若1AB⊥1BC，2BC①求二面角D—BC1—C的大小；②若E为AB1的中点，求三棱锥E—BDC1的体积。18、（本小题满分13分）某次有奖竞猜活动中，主持人准备了A、B两个相互独立的问题，并且宣布：观众答对问题A可获奖金a元，答对问题B可获奖金2a元；先答哪个题由观众自由选择；只有第1个问题答对，才能再答第2个问题，否则中止答题。若你被选为幸运观众，且假设你答对问题A、B的概率分别为21、31。你觉得应先回答哪个问题才能使你获得奖金的期望较大？说明理由。19、（本小题满分14分）已知211()1,(),01,0nnfxaxafaaa（1）求证：过曲线(),yfxkka上任一点的切线斜率都有/(2):()[,],[,],()()()(),fxababfbfafba定理若在上可导则存在使据此证明：1121nnnaaaaa20．（本小题满分14分）已知定义域为[0，1]的函数f(x)同时满足三个条件：（1）对于任意[0,1],()0xfx总有；（2）f(1)=1;（3）若x1≥0,x2≥0,x1＋x2≤1，则有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)(I)试求f(0)的值；(Ⅱ)试求函数f(x)的最大值；(Ⅲ)试证明：当*111(,]()2.22nnxnNfx时,(x)…………………………………密………………………..….封…………….………….….…线…………………………………班级：姓名：座号：试室号:广东省河源市连平县忠信中学高三年级数学检测(寒假)答案一.选择题答题栏：(本大题共10小题；每小题5分，共50分)题号12345678910答案DCBDBACDBA二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11.120；12.30、2.513.{xx≤1}；14.②④三、解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15、解：∵A=2B，0＜A＜∴0＜B＜2.………………………1分由6cos3B，得3sin3B…………………………………………3分∴sinA=sin2B=2sinBcosB=223,cosA=cos2B=212cos13B…………9分∴sinＣ=sin[-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=539………………12分解：∵A=2B，0＜A＜∴0＜B＜2.………………………1分由6cos3B，得3sin3B…………………………………………3分∴sinA=sin2B=2sinBcosB=223,cosA=cos2B=212cos13B…………9分∴sinＣ=sin[-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=539………………12分16、（Ⅰ）证明:取BC中点D,连结PD和AD,PBC为正三角形PDBC,且PD=3又60APBAPC，3PA，2PB由余弦定理可知AB=AC=7D为BC中点ADBC61)7(2222BDABAD又PA=3PD=3222PAPDADADPD,DADPDPD平面ABC,而PD平面PBC,平面ABC⊥平面PBC（Ⅱ）解:由（Ⅰ）易知AD⊥平面PBC,故APD即为所求角PD=3,3PA,ADPD33cosPAPDAPD,33arccosAPD,即PA与平面PBC所成的角为33arccos（Ⅲ）解:ABCPPACBVV,点B到侧面PAC的距离的PACABCSSPDd而PD=3,ABCS=3432AB,23360sin210PCPASPACPABC332d17、(1)证明：连结CB1交BC1于O，连结OD.∴OD∥AB1，OD在面DBC1内.∴AB1∥平面DBC1.4分(2)解：①OD⊥BC1，又O为BC1中点，∴DO=DC1.∴CC1=2.过O作OM⊥BC1交BC于H，则OH=23，∠HOD为所求.BH=23,23DH,∴cosθ=22.∴θ45°.8分②66233121V21V21VV1111111DCABBDCADECABDCE.12分18．（本小题满分13分）解：设甲先答A、B所获奖金分别为、元，则有------------------------2分.613121)3(,31)311(21)(,21211)0(aPaPP-----5分.612131)3(,61)211(31)2(,32311)0(aPaPP---8分65613612320;6561331210aaaEaaaE-----------10分由于两种答序获奖金的期望相等，故先答哪个都一样。-----------------------------12分19．解：（1）22'()11axaxaxfxkaxxx………………………………5分(2)由(1)知：0,0,'()0axfx故()fx在(0,)是增函数…………………………7分又110,()nnaafa对于一切1,nnnNaa恒成立.…………………………………9分由定理知:存在111[,],()()'()()nnnnnnaafafafaa使得;由(1)知:'()fa;11111()()'()nnnnnnnnnnfafafaaaaaaaaaa故……………………12分由n的一般性知：21111221nnnnnnnaaaaaaaaaaa………14分20．解：（Ⅰ）.令021xx，依条件（3）可得f(0+0)≥f(0)+f(0),即f(0)≤0又由条件（1）得f(0)≥0，则f(0)=0;（Ⅱ）任取0≤21xx＜≤1，可知1,012xx，则])[()(1122xxxfxf)()(112xfxxf，即2121()()()fxfxfxx≥0，故21()(),fxfx于是当0≤x≤1时，有f(x)≤f(1)=1,因此，当x=1时，f(x)有最大值1（Ⅲ）证明：当nnx21,211时，f(2x)≥f(x)+f(x)=2f(x)，∴)2(21)(xfxf，显然，当21,212x时，11()()(222fxff·11)22·1(1)2f成立假设当kkx21,211时，有kxf21)(成立，其中k=1,2,…那么当1221,21kkx时，111()()22kfxf·(2f·111)22k·11()22kf·11122kk可知对于nnx21,211，总有nxf21)(，其中n∈N*此时xxfn221)(＜，故nnx21,211时，有f(x)＜2x(n∈N*)