高三数学三月统考题

宜昌市2007届高三年级三月调研考试数学(理科)试题命题：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.注意事项：1．第Ⅰ卷的答案用2B铅笔涂在答题卡上，第Ⅱ卷的答案或解答过程均写在答题纸内的指定处，写在试题卷上的无效．2．答题前，考生务必将自己的“班级”、“学号”、“姓名”写在答题卡和答题纸上．3．考试结束后，只交答题卡和答题纸．第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．集合},0|{2xxxM}2{xxN，则（）A．NMB．MNMC．MNMD．NMR2．在复平面内，复数2)1(21iiz对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．)1211(lim21xxx=（）A.41B.21C.21D.14．如果321(3)nxx的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x的系数是（）A．7B．7C．21D．215．设x，y满足不等式组,6,2,2yxyxxy则z=3x－2y的最大值是A．0B．2C．8D．166．不等式21143xx的解集为（）A．（0,3)[1,3]4B.(-∞,0)∪（0，34]C．(-∞,34)∪[1,3]D.(-∞,0)∪(0,34)∪[1,3]宜昌市一中杨天文宜都市一中吴家强枝江市一中王圣忠7．设函数)()0(1)6sin()(xfxxf的导数的最大值为3，则f(x)的图象的一条对称轴的方程是（）A．9xB．6xC．3xD．2x8．对于直线a、b和平面、，a∥b的一个充分不必要条件是（）A.a∥，b∥B.a∥，b∥，∥C.a⊥，b⊥，∥D.⊥，a⊥，b∥9．从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块矩形，其面积的最大值在223,4bb内，则这一椭圆离心率e的取值范围是（）A．]23,35[B．]22,33[C．]22,35[D．]23,33[10．一次研究性课堂上，老师给出函数Rxxxxf1，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题：甲：函数xf的值域为1,1；乙：若21xx，则一定有21xfxf；丙：若规定xffxfxfxfnn11,，则xnxxfn1对任意Nn恒成立.你认为上述三个命题中正确的个数有（）A.0个B.1个C.2个D.3个第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11某展览会一周（七天）内要接待三所学校学生参观，每天至多安排一所学校，其中一所人数较多的学校要连续参观2天，其余学校均只参观1天，则在这一周内不同的安排方法数是（用数字作答）。12．为了解某中学高一新生的体重情况，抽查了该中学1000名高一新生的体重（kg），得到频率分布直方图（如右图），根据右图可得这1000名学生中体重不小于60（kg）的学生人数是.13．过点（1，2）总可作两条直线与圆2222150xykxyk相切，则实数k的取值范围是频率组距706560555045体重（kg）0.080.060.040.0214．在凸四边形ABCD中，AB=4，BC=3，25CD，且90ABCADC，则ADBC等于15．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A—BD—C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD所成的角为60°④AB与CD所成的角为60°其中正确结论的序号是.（写出所有你认为正确的结论的序号）三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．(本小题满分12分)已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、，b、c，若a、b、c成等差数列，且05cos82cos2BB，求角B的大小，并判断△ABC的形状。17．（本小题满分12分）已知数列na满足递推关系式.64),2(2241anaannn其中（Ⅰ）求;,,321aaa（Ⅱ）求数列na的通项公式；（Ⅲ）求数列na的前n项和Sn.18．(本小题满分12分)如图，在四棱锥ABCDP中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=2，aADPAAB31，52arccosADC．（Ⅰ）求点D到平面PBC的距离；（Ⅱ）求二面角APDC的大小．2007012919．（本小题满分12分）一种玩掷骰子放球游戏的规则是：若掷出1点，则在甲盒中放一球；若掷出2点或3点，则在乙盒中放一球；若掷出4点、5点或6点，则在丙盒中放一球。设掷三次后，甲、乙、丙盒内的球数分别是x，y，z。（I）求随机变量y的分布列及数学期望；（II）证明：Ex，Ey，Ez成等差数列。20．（本小题满分13分）如图，F是抛物线xy42的焦点，Q是准线与x轴的交点，直线经过点Q。（1）直线与抛物线有唯一公共点，求的方程；（2）直线与抛物线交于A，B两点，（Ⅰ）记FBFA,的斜率分别为21,kk，求21kk的值；（Ⅱ）若点R在线段AB上，且满足||||||||QBAQRBAR，求点R的轨迹方程。21．（本小题满分14分）已知函数22()ln(0),fxxaxxx(1)若()fx在[1,)上单调递增，求a的取值范围；(2)若定义在区间D上的函数)(xfy对于区间D上的任意两个值21xx、总有以下不等式12121[()()]()22xxfxfxf成立，则称函数)(xfy为区间D上的“凹函数”.试证判断当0a时，()fx是否为“凹函数”，并对你的判断加以证明.RyxOQFBA宜昌市2007届高三年级三月调研考试数学(理)试题参考答案一．选择题BCCCCDACAD二．填空题11．12012．30013．338,23,33814．4273315．（1）（2）（4）三．解答题16．解：05cos82cos2BB，205cos8)1cos2(22BB分0)3cos2)(1cos2(BB，21cosB或23cosB（舍）………………4分3,30BB……………6分，又cba,,成等差数列，bca2，……7分212)2(cos222accacaB……9分，化简得ca，………11分ABC是正三角形…………………………12分另，边化角也可，略。17．解：（1）由642241aaannn及知,22434aa解得：,243a同理得.2,812aa……………………3分（2）,221nnnaa,12211nnnnaa,12211nnnnaa即nna2构成以21a为首项，以1为公差的等差数列，……………………6分)2(;1)1(2211anaann，.2nann.2nnna…………………………8分（此问也可先猜，后用数学归纳法证明）（3）;22)1(232221132nnnnnS;22)1(2322212143nnnnnS1432222222nnnnS.22)1(221)21(211nnnnn.22)1(1nnnS………12分18．解：（Ⅰ）如图，在四棱锥ABCDP中，∵BC∥AD，从而点D到平面PBC间的距离等于点A到平面PBC的距离.∵∠ABC=2，∴AB⊥BC，又PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB，………………2分∴平面PAB⊥平面PBC，交线为PB，过A作AE⊥PB，垂足为E，则AE⊥平面PBC，∴AE的长等于点D到平面PBC的距离．而aPAAB，∴aAE22．………5分即点D到平面PBC的距离为a22．………………6分（Ⅱ）∵PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥底面ABCD，引CM⊥AD于M，MN⊥PD于N，则CM⊥平面PAD，∴MN是CN在平面PAD上的射影，由三垂线定理可知CN⊥PD，∴∠CNM是二面角APDC的平面角．…………9分依题意52arccosADC，aADPAAB31，∴213tanBCaaBCADABADC，∴aBC，可知ADDM32，∴aaaaaPAADPAADMN529332322222，21052tanaaMNCMCMN，∴二面角APDC的大小为210arctan……12分解法二：如图,A为原点，分别以AD、AB、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.（Ⅰ）依题意52arccosADC，aADPAAB31，∴213tanBCaaBCADABADC，∴aBC.则)0,,(aaC，)0,,0(aB，),0,0(aP，)0,0,3(aD，∴),,0(aaPB，)0,0,(aBC，)0,,2(aaDC.设平面PBC的一个法向量为),,(zyxn，则.0,0axazayx令1z，得)1,1,0(n，则点D到平面PBC的距离等于2anDCna22．……………6分（Ⅱ）∵AB⊥PA，AB⊥AD，∴AB⊥底面PDA，∴平面PDA的一个法向量为)0,1,0(1n.设平面PDC的一个法向量为),,(2zyxn，∵)0,,2(aaDC，),0,3(aaPD，∴.03,02azaxayax令1x，得)3,2,1(2n，∴7141412,cos21nn.∵二面角APDC是锐二面角，∴二面角APDC的大小为714arccos．……12分19．（Ⅰ）y可能的值是0,1,2,3…1分3223012333331131338(0)66666627PyCCCC…2分22131333212132312(1)666666627PyCAC…3分22223321236(2)666627PyCC…4分321(3)627Py…5分随机变量y的分布列y0123P8271227627127所以812610123127272727Ey…8分（Ⅱ）由题意知3xyz，所以()3ExyzE…10分即3ExEyEz得322ExEzEyEy故,,ExEyEz成等差数列。…12分20．解：依题意0,1Q，直线斜率存在，设其斜率为k，则的方程为)1(xky，代入抛物线方程有：0)42(2222kxkxk……………2分（1）若0k，令0得，1k，此时，的方程为1,1xyxy。…………………4分若0k，方程有唯一解。此时方程为0y………5分（2）显然0k，记),(),,(2211yxByxA，则1,24212221xxkkxx，kyy421，4)1(2121221xxxxkyy………7分（Ⅰ）0)1)(1()1(2112121221121xxxxkxyxykk………………………9分RyxOQFBA（Ⅱ）设点R的坐标为),(yx，∵||||||||QBAQRBAR，∴002121yyyyyy，∴21212yyyyy…………………11分∴,248kky11211ykx，………12分由0得，11k，又0k，∴)2,0()0,2(y。综上，点R的轨迹方程为,1x)2,0()0,2(y。…………………………13分21．解：（Ⅰ）由22lnfxx