高三数学极限、导数学科素质训练

2006－2007学年度上学期高中学生学科素质训练高三数学第一轮复习单元测试（10）—《极限、导数》一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项正确1．（理）若复数z满足方程022z，则3z（）A．22B．22C．i22D．i22(文)曲线y=4x－x3在点(－1,－3)处的切线方程是（）A．y=7x+4B．y=7x+2C．y=x－4D．y=x－22．函数y=x2(－21≤x≤21)图象上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的范围是（）A．［0,4］∪［43,π］B．［0,π］C．［4,43］D．［0,4］∪(2,43)3．（理）若2limx434222xaxx,则a的值为（）A．0B．1C．－1D．21（文）在曲线y=x2+1的图象上取一点（1,2）及邻近一点（1+Δx,2+Δy）,则yx为（）A．Δx+x1+2B．Δx－x1－2C．Δx+2D．2+Δx－x14．曲线y=51x5+3x2+4x在x=－1处的切线的倾斜角是（）A．－4B．4C．43D．455．函数f(x)=x3－ax2－bx+a2在x=1时,有极值10,则a、b的值为（）A．1143,3baba或B．1141,4b-aba或C．51baD．以上皆错6．（理）已知23,12,1xxfxx，下面结论正确的是（）A．fx在1x处连续B．5fxC．1lim2xfxD．1lim5xfx（文）设f（x）=ax3+3x2+2,若f′（－1）=4,则a的值等于A．319B．316C．313D．3107．函数f(x)=x3－3x+1,x∈［－3,0］的最大值、最小值分别是（）A．1,－1B．1,－17C．3,－17D．9,－198．（理）数列{an}中，a1=1,Sn是前n项和.当n≥2时，an=3Sn,则nlim311nnSS的值是（）A．－31B．－2C．1D．－54（文）曲线y=x3－3x2+1在点（1，－1）处的切线方程为（）A．y=3x－4B．y=－3x+2C．y=－4x+3D．y=4x－59．（理）2+23i的平方根是（）A．3+iB．3±iC．±3+iD．±(3+i)（文）已知f（x）=2x3－6x2+m（m为常数）在［－2，2］上有最大值3，那么此函数在［－2，2］上的最小值是（）A．－37B．－29C．－5D．以上都不对10．已知函数)(xfxy的图象如右图所示（其中)(xf是函数)(xf的导函数），下面四个图象中)(xfy的图象大致是11．设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,)()()()(xgxfxgxf＞0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是（）A．（－3,0)∪(3,+∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞,-3)∪(3,+∞)D．(－∞,－3)∪(0,3)12．已知两点O（0,0），Q（a,b）,点P1是线段OQ的中点，点P2是线段QP1的中点，P3是线段P1P2的中点，┅，2nP是线段nP1nP的中点，则点nP的极限位置应是（）A．（2a,2b）B．(3,3ba)C．(32,32ba)D．(43,43ba)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)13．垂直于直线2x－6y+1=0且与曲线y=x3+3x2－1相切的直线方程的一般式是__________.14．(理)（2006年安徽卷）设常数0a，421axx展开式中3x的系数为32，则2lim()nnaaa_____.(文)(2006福建高考)已知直线10xy与抛物线2yax相切，则______.a15．函数f(x)=2x3+3x2－12x－5,则函数f(x)的单调增区间是______.16．（理）用数学归纳法证)(212111211214131211*Nnnnnnn的过程中，当n=k到n=k+1时，左边所增加的项为_______________.（文）若函数f（x）=x3+x2+mx+1是R上的单调递增函数，则m的取值范围是______________．三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（本小题满分12分）（理）设函数)3(4)31(24)10()0(0)(2xxxxxxxxxf（1）画出函数的图象；（2）在x=0，x=3处函数)(xf是否连续；（3）求函数)(xf的连续区间.（文）已知函数axaxxf313)(23.（1）讨论函数)(xf的单调性；（2）若曲线)(xfy上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围.18．（本题满分12分）（理）已知复数z1=cosθ－i，z2=sinθ+i，求|z1·z2|的最大值和最小值.（文）(2006福建高考)已知()fx是二次函数，不等式()0fx的解集是(0,5),且()fx在区间1,4上的最大值是12。（1）求()fx的解析式；（2）是否存在实数,m使得方程37()0fxx在区间(,1)mm内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．19．（本小题满分12分）已知cbxaxxxf23)(有极大值)(f和极小值)(f.（1）求)(f+)(f的值；（2）设曲线)(xfy的极值点为A、B，求证：线段AB的中点在)(xfy上.20．（本小题满分12分）（理）函数bxaxf211)(的定义域为R，且).(0)(limNnnfn（1）求证：;0,0ba（2）若]1,0[)(,54)1(在且xff上的最小值为21，求证：nnfff)()2()1()(21211Nnn.（文）(2006安徽高考)设函数32()fxxbxcxxR，已知()()()gxfxfx是奇函数。（1）求b、c的值．（2）求()gx的单调区间与极值．21．（本小题满分12分）（理）如图，在平面直角坐标系xOy中，射线)0(2)0(xxyxxy和上依次有点列A1，A2…，An，…；B1，B2，…，Bn，….其中2||||),4,2(),2,1(),1,1(1211nnOAOABBA且，).4,3,2(|,|2||11nBBBBnnnn（1）用含有n的式子表示||1nnBB；（2）用含有n的式子表示点An、Bn的坐标；（3）求四边形)4(11nBBAAnnnn面积的最大值.（文）(2006陕西高考)已知函数f(x)=kx3－3x2+1(k≥0).（1）求函数f(x)的单调区间;（2）若函数f(x)的极小值大于0,求k的取值范围.22．（本大题满分14分）自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响.用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N*，且x1＞0.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c.（1）求xn+1与xn的关系式；（2）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）（3）(只理科做)设a＝2，b＝1，为保证对任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论.参考答案（10）1．（理）设zabi(a,bR)，由2z20，得22ab20ab0，得z2i。所以3z22i.答案:D（文）243yx¢=-,所以k切=4－3×(－1)2=1,运用直线的点斜式方程得y=4x－x3在点(－1,－3)处的切线方程是y=x－2,所以应选D.2．y′=2x.∵－21≤x≤21,∴－1≤y′≤1,即－1≤tanα≤1.又∵0≤α＜π,∴0≤α≤4或43≤α＜π.答案:A3．（理）∵2limx)2)(2(22xxaxx存在，而把x=2代入分母时，分母为零，∴分子、分母应有(x－2)这一公因式，化简以后，再求极限.∴分子x2+ax－2可分解成(x－2)(x+1)，即x2+ax－2=(x－2)(x+1)=x2－x－2.∴a=－1.答案:C（文）yx=xx)11(1)1(2=Δx+2.答案:C4．y′=x4+6x+4,∴y′|1x=(－1)4+6(－1)+4=－1.由tanα=－1,0≤α＜π,得α=43π.答案:C5．f′(x)=3x2－2ax－b.∵函数f(x)在x=1处有极值10,∴.101,0232ababa解得.11,43,3baba或答案:A6．（理）当x=1时，2x+3=52,故A、B错误；而1lim(23)xx=5，故选D.（文）f′（x）=3ax2+6x,f′（－1）=3a－6=4,所以a=310.答案:D7．f′(x)=3x2－3=3(x－1)(x+1).令f′(x)=0得x=－1或x=1(舍去).列表如下:x－3(－3,－1)－1(－1,0)0f(x)－17↗3↘1∴f(x)max=3,f(x)min=－17.答案:C8．(理)当n≥2时，an=Sn－Sn－1=3Sn,∴Sn=－21Sn－1.又S1=a1=1，∴{Sn}是以1为首项，－21为公比的等比数列.∴nlim311nnSS=nlim3)21(1)21(1nn=－31.答案:A(文)y′=3x2－6x,∴y′|x=1=－3.∴在（1,－1）处的切线方程为y+1=－3（x－1）.答案:B9．(理)设2+23i的平方根是a+bi(a、b∈R),则(a+bi)2=2+23i,即a2－b2+2abi=2+23i.由复数相等的定义,得.322,222abba解得1,3ba或,1,3ba即2+23i的平方根是±(3+i).答案:D(文)f（x）=6x（x－2），f（x）在（－2，0）上为增函数，在（0，2）上为减函数的，x=0时，f（x）=m最大.∴m=3，f（－2）=－37，f（2）=－5.答案：A10．由函数)(xfxy的图象可知：当1x时，)(xfx0，)(xf0，此时)(xf增,当01x时，)(xfx0，)(xf0，此时)(xf减,当10x时，)(xfx0，)(xf0，此时)(xf减,当1x时，)(xfx0，)(xf0，此时)(xf增.答案:C11．∵当x＜0时,)()()()(xgxfxgxf＞0，即0)]()([/xgxf,∴当x＜0时，f(x)g(x)为增函数，又g(x)是偶函数且g(3)=0，∴g(-3)=0，∴f(-3)g(-3)=0,故当3x时，f(x)g(x)＜0,又f(x)g(x)是奇函数，当x0时，f(x)g(x)为减函数，且f(3)g(3)=0,故当30x时，f(x)g(x)＜0,故选D12.∵点nP的位置应是()16842,16842bbbbaaaa,∴点nP的极限位置应是(32,32ba).答案:C13.∵所求直线与2x－6y+1=0垂直，∴k=－3.又由y=x3+3x2－1,得y′=3x2+6x=－3.∴x=－1,切点为(－1，1).∴直线方程为y－1=－3(x+1),即3x+y+2=0.答案:3x+y+2=014．(理)1482214rrrrrTCaxx，由18232,2,rrxxxr得4431=22rrCa由知a=，所以212lim()1112nnaaa，所以为1.(文)∵直线10