高三数学基本知识点数列

二、高三数学基本知识点：数列1奎屯新疆王新敞数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想奎屯新疆王新敞2奎屯新疆王新敞等差、等比数列中，a1、na、n、d(q)、nS“知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法奎屯新疆王新敞3奎屯新疆王新敞求等比数列的前n项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想奎屯新疆王新敞4奎屯新疆王新敞数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等奎屯新疆王新敞等差数列相关公式：（1）),1(1为常数dndaann；（2）通项公式：dnaan)1(1；（3）前n项和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(11；（4）通项公式推广：dmnaamn)(奎屯新疆王新敞等差数列}{na的一些性质：（1）对于任意正整数n，都有121aaaann；（2）}{na的通项公式)2()(2112aanaaan；（3）对于任意的整数srqp,,,，如果srqp，那么srqpaaaa；（4）对于任意的正整数rqp,,，如果qrp2，则qrpaaa2；（5）对于任意的正整数n1，有112nnnaaa；（6）对于任意的非零实数b，数列}{nba是等差数列，则}{na是等差数列（7）已知}{nb是等差数列，则}{nnba也是等差数列（8）}{},{},{},{},{23133122nnnnnaaaaa等都是等差数列；（9）nS是等差数列na的前n项和，则kkkkkSSSSS232,,仍成等差数列，即)(323mmmSSS；（10）若)(nmSSnm，则0nnS（11）若pSqSqp,，则)(qpSqp（12）bnanSn2，反之也成立奎屯新疆王新敞等比数列相关公式：（1）定义：)0,1(1qnqaann；（2）通项公式：11nnqaa奎屯新疆王新敞（3）前n项和公式：1q1)1(1q11qqanaSnn；（4）通项公式推广：mnmnqaa奎屯新疆王新敞一、等比数列等差数列表示方法图像与函数的关系前n项和通项定义数列正整数集上函数及性质数列知识结构等比数列}{na的一些性质：（1）对于任意的正整数n，均有121aaaann；（2）对于任意的正整数srqp,,,,如果srqp，则srqpaaaa；（3）对于任意的正整数rqp,,，如果rpq2，则2qrpaaa（4）对于任意的正整数n1,有112nnnaaa；（5）对于任意的非零实数b，}{nba也是等比数列；（6）已知}{nb是等比数列，则}{nnba也是等比数列；（7）如果0na，则}{lognaa是等差数列；（8）数列}{lognaa是等差数列，则}{na是等比数列；（9）}{},{},{},{},{23133122nnnnnaaaaa等都是等比数列；(10)nS是等比数列na的前n项和，①当q=－1且k为偶数时，kkkkkSSSSS232,,不是等比数列.②当q≠－1或k为奇数时，kkkkkSSSSS232,,仍成等比数列奎屯新疆王新敞数列前n项和公式：2)1(321nnn；6)12)(1(3212222nnnn；2333)]1(21[21nnn；等差数列中，mndSSSnmnm；等比数列中，nmmmnnnmSqSSqSS；裂项求和：111)1(1nnnn；（!)!1(!nnnn）奎屯新疆王新敞三、巩固练习（2004年高考试题）浙江文理(3)已知等差数列na的公差为2,若431,,aaa成等比数列,则2a=(A)–4(B)–6(C)–8(D)–10全国卷四文理6．等差数列}{na中，78,24201918321aaaaaa，则此数列前20项和等于A．160B．180C．200D．220奎屯新疆王新敞天津卷理8.已知数列}{na，那么“对任意的*Nn，点),(nnanP都在直线12xy上”是“}{na为等差数列”的A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件奎屯新疆王新敞全国卷四文18．已知数列{na}为等比数列，.162,652aa（Ⅰ）求数列{na}的通项公式；（Ⅱ）设nS是数列{na}的前n项和，证明.1212nnnSSS奎屯新疆王新敞解：（I）设等比数列{an}的公比为q，则a2=a1q,a5=a1q4.依题意，得方程组a1q=6,a1q4=162.解此方程组，得a1=2,q=3.故数列{an}的通项公式为an=2·3n－1奎屯新疆王新敞（II）.1331)31(2nnnS113231332313231)33(3122222122222212nnnnnnnnnnnnnSSS奎屯新疆王新敞全国三文（4）等比数列na中29,a5243a，则na的前4项和为A.81B.120C.D.192奎屯新疆王新敞全国三文⒆设公差不为零的等差数列{an}，Sn是数列{an}的前n项和，且2329SS,424SS，求数列{an}的通项公式.解：设数列{an}的公差为d(d≠0),首项为a1，由已知得：21111(33)9(2)464(2)adadadad.解之得：941a，98d或01da（舍）1484(1)(1)(21)999naandnn奎屯新疆王新敞全国卷三理⑶设数列na是等差数列，26,a86a，Sn是数列na的前n项和，则（）A.S4＜S5B.S4＝S5C.S6＜S5D.S6＝S5奎屯新疆王新敞全国卷三理(22)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=2an+(-1)n,n≥1.⑴写出求数列{an}的前3项a1,a2,a3；⑵求数列{an}的通项公式；⑶证明：对任意的整数m4，有4511178maaa奎屯新疆王新敞解：⑴当n=1时,有：S1=a1=2a1+(-1)a1=1；当n=2时,有：S2=a1+a2=2a2+(-1)2a2=0；当n=3时,有：S3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3a3=2；综上可知a1=1,a2=0,a3=2；⑵由已知得：1112(1)2(1)nnnnnnnaSSaa，化简得：1122(1)nnnaa上式可化为：1122(1)2[(1)]33nnnnaa，故数列{2(1)3nna}是以112(1)3a为首项,公比为2的等比数列.故121(1)233nnna∴121222(1)[2(1)]333nnnnna奎屯新疆王新敞数列{na}的通项公式为：22[2(1)]3nnna奎屯新疆王新敞⑶由已知得：232451113111[]221212(1)mmmaaa23111111[]2391533632(1)mm11111[1]235112111111[1]2351020511(1)1452[]12312m514221[]23552m奎屯新疆王新敞51311131041057()1552151201208m.故4511178maaa，(m4)奎屯新疆王新敞天津卷文20.设na是一个公差为)0(dd的等差数列，它的前10项和11010S且1a，2a，4a成等比数列。（1）证明da1；（2）求公差d的值和数列na的通项公式奎屯新疆王新敞证明：因1a，2a，4a成等比数列，故4122aaa，而na是等差数列，有daa12，daa314于是21)(da)3(11daa，即daaddaa121212132，化简得da1奎屯新疆王新敞（2）解：由条件11010S和daS291010110，得到11045101da，由（1），da1，代入上式得11055d，故2d，ndnaan2)1(1，,3,2,1n奎屯新疆王新敞浙江卷文（17）已知数列na的前n项和为).)(1(31,NnaSSnnn（Ⅰ）求21,aa；（Ⅱ）求证数列na是等比数列奎屯新疆王新敞解:(Ⅰ)由)1(3111aS,得)1(3111aa，∴1a21，又)1(3122aS,即)1(31221aaa,得412a.(Ⅱ)当n1时,),1(31)1(3111nnnnnaaSSa得,211nnaa所以na是首项21,公比为21的等比数列奎屯新疆王新敞广东卷17.已知，，成公比为2的等比数列(02，），且sin，sin，sin也成等比数列.求，，的值奎屯新疆王新敞解：∵α,β,γ成公比为2的等比数列，∴β=2α，γ=4α，∵sinα,sinβ,sinγ成等比数列2sinsinsin2sin4cos2cos1sinsinsinsin2奎屯新疆王新敞22coscos10即1cos1,cos2解得或当cosα=1时，sinα=0,与等比数列的首项不为零，故cosα=1应舍去，124cos,[0,2],,233当时或2484816,,,,333333所以或奎屯新疆王新敞北京文理（14）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列{}an是等和数列，且a12，公和为5，那么a18的值为___，且（文：这个数列的前21项和S21的值为_____）（理：这个数列的前n项和Sn的计算公式为__（3；（文：52）理：当n为偶数时，Snn52；当n为奇数时，Snn5212）湖北卷理8文9．已知数列{na}的前n项和),,2,1]()21)(1(2[])21(2[11nnbaSnnn其中a、b是非零常数，则存在数列{nx}、{ny}使得（）A．}{,nnnnxyxa其中为等差数列，{ny}为等比数列B．}{,nnnnxyxa其中和{ny}都为等差数列C．}{,nnnnxyxa其中为等差数列，{ny}都为等比数列D．}{,nnnnxyxa其中和{ny}都为等比数列奎屯新疆王新敞湖南文20．已知数列{an}是首项为a且公比q不等于1的等比数列，Sn是其前n项的和，a1,2a7,3a4成等差数列.（I）证明12S3,S6,S12-S6成等比数列；（II）求和Tn=a1+2a4+3a7+…+na3n奎屯新疆王新敞（Ⅰ）证明由4713,2,aaa成等差数列，得41734aaa，即.3436aqaaq变形得,0)1)(14(33qq所以14133qq或（舍去）.由.1611211)1(121)1(123316136qqqaqqaSS.1611111)1(1)1(166611216126612qqqqaqqaSSSSS得.12661236SSSSS所以12S3，S6，S12－S6成等比数列奎屯新疆王新敞（Ⅱ）解：.3232)1(36323741nnnnaqaqaqanaaaaT即.)41()41(3)41(212anaaaTnn①①×)41(得：ananaaaTnnn)41()41()41(3)41(24141132.)41()54(54)41()41(1])41(1[ana