高三数学第一学期期末复习练习卷(1)

高三数学第一学期期末复习练习卷（1）班级姓名座号一、选择题（共10小题，每题5分）1.已知复数12zi，21zi，则在12zzz复平面上对应的点位于（）(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限2.有3张奖券，其中2张可中奖，现3个人按顺序依次从中抽一张，小明最后抽，则他抽到中奖券的概率是（）(A)13(B)16(C)23(D)123.已知命题tan1pxRx：，使，命题2320qxx：的解集是{|12}xx，下列结论：①命题“pq”是真命题；②命题“pq”是假命题；③命题“pq”是真命题；④命题“pq”是假命题其中正确的是（）(A)②③(B)①②④(C)①③④(D)①②③④4.已知2tan，则)sin()2sin()cos()2sin(（）(A)2(B)－2(C)0(D)325.01lgxx有解的区域是（）(A)(0,1](B)(1,10](C)(10,100](D)(100,)6.已知向量(12)a，，(4)bx，，若向量ab∥，则x（）(A)21(B)21(C)2(D)27.已知两点(2,0),(0,2)AB，点C是圆0222xyx上任意一点，则ABC面积的最小值是（）(A)23(B)23(C)223(D)2238.甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表：甲乙丙丁r0.820.780.690.85m115106124103则哪位同学的试验结果体现A、B两变量更强的线性相关性？（）()A甲()B乙()C丙(D)丁9.如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（）(A)1(B)12(C)13(D)1610.已知抛物线xy82，过点(2,0)A)作倾斜角为3的直线l，若l与抛物线交于B、C两点，弦BC的中垂线交x轴于点P，则线段AP的长为（）(A)163(B)83(C)1633(D)83二、填空题（共4小题，每小题5分）11.已知圆C的方程是sin2a，它关于极轴对称的圆的方程为；它关于直线43对称的圆的方程为.cos2,sin2aa12.在约束条件012210yxyx下，目标函数2Sxy的最大值为______2______.13.在ABC中，若,,ABACACbBCa，则ABC的外接圆半径222abr，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体SABC中，若SASBSC、、两两垂直，,,SAaSBbSCc，则四面体SABC的外接球半径R_____2222abc_______．14.在如下程序框图中，输入0()cosfxx，则输出的是_sinx_________.左视图主视图俯视图否是开始输入f0(x):0i1():()iifxfx结束:1iii=2007输出fi(x)三、解答题15、已知3)2(cos32)2cos()2sin(2)(2xxxxf。（1）化简)(xf的解析式；（2）若0，求使函数)(xf为偶函数。（3）在（2）成立的条件下，求满足)(xf=1，x[,]的x的集合。解：（1）32)2cos(132)2sin()(xxxf=)32sin(2)]2cos(23)2sin(21[2)2cos(3)2sin(xxxxx(2)0当6时,)22sin(2)(xxf=x2cos2此时,)(xf为偶函数.(3)由(2)可知)(xf=x2cos2当)(xf=1,即x2cos2=1得212cosx,则)(322322Zkkxkx或)(66Zkkxkx或∵],[x∴6656,65xxxx或或或∴x的集合为65,6,6,65xxx16、如图，三棱锥P-ABC中，ACB=90，PA面ABC，ADPC，AEPB.D、E为垂足.（1）证明：PB平面ADE；（2）若PA=AB=2，求三棱锥P-ADE体积的最大值。（1）证明：∵AC⊥BC，PA⊥BC∴BC⊥面PAC∴BC⊥AD又∵AD⊥PC∴AD⊥面PCB∴AD⊥PB又∵AE⊥PB∴PB⊥面ADE。（2）解：∵PA=AB=2，AE⊥PB，PA⊥面ABC∴PE=AE=2∴VP-ADE=31S⊿ADE·PE=3121AD·DE·2=62·AD·DE122（AD2·DE2）=122AE2=62∴VP-ADE的最大值为62此时AD=DE=22AE=1，AC=3322DEPCBA17、已知)(xf=nnxaxaxaxa33221，且1a，2a，3a，……，na组成等差数列，又2)1(nf，nf)1(。（1）求数列na的通项公式。（2）试比较)21(f与3的大小，并说明理由。解：（1）∵221)1(naaafn∴212)(naann，即naan21∴ndna2)1(21……①又∵naaaaaafnn14321)1(∴ndn2，即2d代入①式得11a∴12)1(1ndnaan（2）∵nnf21)12(21521321)21(32∴1221)12(2152131)21(2nnf两式相减得nnnf21)12()212121(21)21(12=321)12(21212nnn18、椭圆141622yx上有两点P、Q，O是原点，若OP、OQ斜率之积为41，（1）求证：22OQOP为定值；（2）求PQ的中点M的轨迹方程。（1）证明：设P、Q的两点坐标分别为P（11,yx）、Q（22,yx）∵4114161416221122222121xyxyyxyx2121222221214164164xxyyxyxy由①②得)(1616162221221xxyy+2121xx…④由③代入④得162221xx由①+②得4)(41821212221xxyy∴202222212122yxyxOQOP（定值）（2）设P、Q的中点为M（yx,），则有yyyxxx2,22121由①+②+③2得)2(32)2(4212221212221xxxxyyyy221221)(32)(4xxyy∴3216422yx即12822yx故PQ的中点M的轨迹方程为12822yx19、为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架.三角形支架形状如图，要求060ACB，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米.为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC长度为多少米？解：如图，设BC的长度为x米，AC的长度为y米，则AB的长度为（y－0.5）米.在△ABC中，依余弦定理得：ACBBCACBCACABcos2222即212)5.0(222yxxyy化简，得41)1(2xxy∵1x，∴01x因此1412xxy方法一：232)1(43)1(1412xxxxy.当且仅当)1(431xx时，取“=”号，即231x时，y有最小值32.方法二：2222/)1(412)1()41()1(2xxxxxxxyx解041212xxx，得231x∵当2311x时，0/xy；当231x时，0/xy.∴当231x时，y有最小值32.20、已知12)(log2xaaxxf（0,xka）（1）求函数)(xfy的解析式，当)(xfy是奇函数时，确定常数a的值；（2）当)(xfy是奇函数时，其单调性如何？试用单调性的定义对称的结论加以证明。（3）设)(1)(Nnnnng，当)(xfy是奇函数时，猜想)(nf和)(ng的大小。（理科用数学归纳法加以证明）解：（1）设),0(log2Rtxxt则1222)(ttaatf∴)(xfy的解析式为1222)(xxaaxf（Rx）CAB∵1222)(xxaaxf=12xaa1222)(xxaxf∴)1(212)12(22)()(aaxfxfxx∴当)(xf为奇函数时，1a，且)(xf=1221x（2）设21xx∵122122)()(2121xxxfxf=)12)(12()22(22121xxxx由21xx022222121xxxx且012,01221xx0)()(21xfxf，即)()(21xfxf故)(xfy是奇函数时，它在R上是增函数。（3）∵)12)(1(1221)1221()()(nnnnnnnngnf∴设)(n=)12(2nn当1n时，0)1(，故)1()1(gf当2n时，0)2(故)2()2(gf当3n时，0)3(故)3()3(gf猜想：当3n时，)()(ngnf以下用数学归纳法证明，①当3n时，猜想成立。②假设kn时，)()(ngkf)3(k成立，则当1kn时)32(22)32(2)1(1kkkkk∵0)12(2)(kkk∴0)12(222kk，即2422kk因此，欲证3222kk只需证3224kk即可∵0123224kkk∴3224kk从而0]1)1(2[21kk成立。这就是说当1kn时)1()1(kgkf成立。综合①②可知，当3n时，当Nnn,3时，)()(ngnf于是当1n或2n时，)()(ngnf；当Nnn,3时，)()(ngnf