高三数学第四次月考试卷

高三数学第四次月考试卷第I卷一、选择题(每小题5分,共60分)1.在直角坐标系中，面积为8的ΔABC在映射)2,3(),(:yxyxf的作用下的象集为Δ111CBA，则Δ111CBA的面积等于()（A）9（B）28（C）63（D）82.已知A(－1,0),B(1,0)，动点P满足|PA|+|PB|=2，则点P的轨迹方程是()（A）x2+y2=1（B）y=0（C）y=0,x∈[－1,1]（D）22143xy3.函数xxaxfcossin)(图象的一条对称轴方程是4x，则直线01yax的倾斜角为(Ａ)4（B）43（C）3（D）32()4.设D点在曲线cos1sinxy（为参数）上，D点到直线4x-3y-2=0的距离为d，则d的范围为（A）[0，1]（B）[1，2]（C）[0，2]（D）[1，3]（）5.抛物线y2=2px与直线ax+y－4=0交于两点A、B，其中点A的坐标是（1，2）.设抛物线的焦点为F，则|FA|+|FB|等于（）A．7B．53C．6D．56.若双曲线的一个顶点到两条准线的距离和等于4，一个焦点到两条渐近线的距离和等于8，则双曲线的离心率是（）（A）2（B）3（C）5（D）227.设椭圆ax2+by2=1的焦点在y轴上,且a,b∈{1,2,3,4,5,6},则这样的椭圆共有()A.26AB.26A-6C.26CD.1155CC8.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(5,0),直线y=x-1与其相交于A,B两点,AB中点的横坐标为-2,则此双曲线的方程是()A.2214yxB.2214xyC.22123xyD.22132xy9.过正方形ABCD的顶点A，引PA⊥平面ABCD，若PA=AB，则面ABP和面CDP所成的二面角的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°10.已知直二面角l，直线a，直线b，且a与l不垂直，b与l不垂直，那么（）A．a与b可能垂直，但不可能平行B．a与b可能垂直，也可能平行C．a与b不可能垂直，不可能平行D．a与b不可能垂直，但可能平行11.已知相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内，若p：l、m中至少有一条与β相交；q：α与β相交；则p是q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．不充分也不必要条件12.正方体的直观图如右图所示，则其展开图是（）二、填空题(每小题4分,共16分)13.若直线)1(xky与抛物线342xxy的两个交点都在第二象限,则k的取值范围是．14.如果正△ABC中,D∈AB,E∈AC,向量12DEBC,那么以B,C为焦点且过点D,E的双曲线的离心率是.15.将抛物线x2=2y按向量a=(-3,2)平移后恰与直线2x-y+6=0相切,则切点坐标为__________.16.如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6cm2、4cm2和3cm2，那么它的外接球表面积是。三、解答题17.(本小题满分12分)已知过点P的直线l绕点P按逆时针方向旋转角﹝0＜＜2＝，得直线为x－y－2=0，若继续按逆时针方向旋转2－角，得直线2x＋y－1=0，求直线l的方程。18.(本小题12分)某厂准备生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3千元，2千元.甲、乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B上加工一件甲产品所需工时分别为1时、2时，加工一件乙产品所需工时分别为2时、1时，A，B两种设备每月有效使用台时数分别为400和500.如何安排生产可使收入最大？yOx19.(本小题12分)坐标平面内有三点A（-1，0），B（1，0），P(x,y),若满足AP=a，BP=b，且a·b=2.求(I)点P的轨迹方程;(II)求AP与BP的夹角θ的最大值.20.(本小题12分)在底面为等腰直角三角形的直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=A1A.(I)求AB1与BC1所成的角；(II)若点E为AB的中点，求CE与BC1所成的角；(III)求二面角A1－AB1－C1的大小.21.(本小题12分)坐标平面内,O为原点,A(4,-3)为⊿OAB的直角顶点.已知2ABOA,且点B的纵坐标大于零.(1)求向量AB的坐标;(2)求圆x2-6x+y2+2y=0关于直线OB对称的圆的方程;(3)若抛物线y=ax2-1上总有关于直线OB对称的两个点,求a的取值范围.22.(本小题14分)已知常数a0,向量(,0),(0,1)caj.以cj为方向向量且过原点O的直线记作l1,以2jc为方向向量且过定点A(a,0)的直线记作l2,R,l1与l2相交于点P,试问:是否存在两个位于x轴上的定点E,F,使得PEPF为定值?若存在,求出E,F的坐标;若不存在,说明理由.高三数学第四次月考试卷参考答案与评分意见一、选择题123456789101112DCACACCCBDCD二、填空题13.(-3,0)14.3+115.(-1,4)16.29π三、解答题17.解：如图，直线l与直线2x+y-1=0垂直，且P点就是已知两直线的交点……4分由20210xyxy得11xy∴P（1，-1）……8分∴直线l的方程为y+1=12(x-1),即x-2y-3=0.……12分18.解：设甲、乙两种产品的产量分别为x，y件，约束条件是240025000,0,xyxyxy目标函数是32fxy，要求出适当的x，y，使32fxy取得最大值。……6分作出可行域，如图200设32,xyaa是参数，将它变形为322ayx，这是斜率为32，随a变化的一族直线。当直线与可行域相交且截距2a最大时，目标函数f取得最大值。………8分由24002500xyxy得200100xy，……………………10分因此，甲、乙两种产品的每月产品分别为200，100件时，可得最大收入800千元.…12分19.解(I)由条件a=PA=(-1-x,-y),b=PB=(1-x,-y)，……2分∵a·b=2,∴(-1-x)(1-x)+(-y)2=2……4分整理得x2+y2=3即为所求的轨迹方程.………6分(II)在⊿ABP中，∠APB=θ，由余弦定理得AB2=|a|2+|b|2-2|a||b|cosθ=|a|2+|b|2-2a·b∴|a|2+|b|2=8（定值）………8分222221cos2abababab………10分∵0≤θ≤π∴0≤θ≤π3即θ的最大值为π3……12分20.解:（1）方法一：连结B1C交BC1于O，取AC中点D，连结OD可得∠BOD=90°，AB1与BC1成90°角.方法二：AB1在面BB1C1C上的射影是B1C，与BC1垂直，由三垂线定理得证.方法三：补体成正方体亦可获证.……4分（2）取A1B1中点F，连结C1F、BF，可得∠BC1F=60°，CE与BC1所成角60°.……8分（3）在平面A1B中作FH⊥AB1于H，连结C、H，可证∠C1HF为二面角的平面角，∠C1HF=60°.……12分解：（1）设AB=（u，v），则由20ABOAABOA得22100430uvuv21.解之得6688uuvv或………………2分(4,3)OBOAABuv，且点B的纵坐标3v0,∴8v（200，100）yxO500250400因此AB=(6,8).…………4分（2）由（1）知OB=（10，5），∴直线OB的方程为y=12x.……………………5分已知圆的标准方程为(x-3)2+(y+1)2=10,圆心(3,-1)关于直线OB的对称点为(a,b),则由312022123xyyx解得13xy故所求圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=10……………7分(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2)为抛物线y=ax2-1上关于直线OB对称的两点,则1212121220222xxyyyyxx即12122212122022()2xxyyaxxxx……………8分得1222121212211()2()2xxayyaxxxxa所以121222522xxaaxxa……10分x1,x2是方程x2+2ax+2522aa=0的两个相异实根,于是Δ=22452402aaa解得a32.……………12分22.解：∵(,0),(0,1)caj∴cj=（a，λ），2jc=（-2λa，1）……2分因此直线l1的方程是ay=λx，l2的方程是-2λay=1·（x-a）.……4分消去参数λ,得点P(x,y)满足方程x2+2ay2-ax=0,……6分整理得222()211()28axya①……8分∵a0,所以有(ⅰ)当22a时,方程①表示圆的方程,故不存在合乎题意的定点E,F;(ⅱ)当a22时,方程①表示椭圆,E(211222aa,0),F(211222aa,0)为两个焦点,故E,F是合乎题意的两个定点;(ⅲ)当0a22时,方程①也表示椭圆,但焦点在直线x=2a上,不合乎题意.……14分（以上三种情况各2分）