高三数学第二学期高级中学第一次月考

高三数学第二学期高级中学第一次月考数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．31)(ii的虚部为（）A．i8B．i8C．8D．82．设p：1x，q：022xx，则下列命题为真的是（）A．若q则pB．若q则pC．若p则pD．若p则q3．已知)12(xf的最大值为2，)14(xf的最大值为a，则a的取值范围是（）A．2aB．2aC．2aD．以上三种均有可能4．下列极限中，其值等于2的是（）A．4326lim32nnnB．4326lim22nnnC．)11174(lim31xxxxD．nnnnnnnCCCC2421lim2105．欲对某商场作一简要审计，通过检查发票及销售记录的2%来快速估计每月的销售总额.现采用如下方法：从某本50张的发票存根中随机抽一张，如15号，然后按序往后将65号，115号，165号，…发票上的销售额组成一个调查样本.这种抽取样本的方法是（）A．简单随机抽样B．系统抽样C．分层抽样D．其它方式的抽样6．若函数xysin2的图象按向量)2,6(平移后，它的一条对称轴是4x，则的一个可能的值是（）A．125B．3C．6D．127．数列{}na满足122,1,aa并且1111(2)nnnnnnnnaaaanaaaa.则数列的第100项为（）A．10012B．5012C．1100D．1508．在长方体1111DCBAABCD中，M、N分别是棱1BB、11CB的中点，若90CMN，则异面直线1AD与DM所成的角为（）A．30B．45C．60D．909．设1F、2F为曲线1C：12622yx的焦点，P是曲线2C：1322yx与1C的一个交点，则2121·PFPFPFPF的值为（）A．41B．31C．32D．3110．如图是函数dcxbxxxf23)(的大致图象，则2221xx等于（）A．32B．34C．38D．31211．某人制定了一项旅游计划，从7个旅游城市中选择5个进行游览.如果A、B为必选城市，并且在游览过程中必须按先A后B的次序经过A、B两城市（A、B两城市可以不相邻），则有不同的游览线路（）A．120种B．240种C．480种D．600种12．期中考试以后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M，如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N，那么M:N为（）A.4041B.1C.4140D.2二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第_____行中从左至右第14个数与第15个数的比为3:2.14．正三棱锥的顶点都在同一个半径为R的球面上，球心到该棱锥底面的距离是球半径的一半，则该棱锥的体积是____________________.15．过点)2,1(M的直线l将圆：9)2(22yx分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线l的方程为__________.2x201yx1x第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051………………16．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示.某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示.（至少打开一个水口）给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水.则一定能确定正确的论断序号是_______________.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）如图，用DCBA,,,表示四类不同的元件连接成系统M.当元件BA,至少有一个正常工作且元件DC,至少有一个正常工作时，系统M正常工作.已知元件DCBA,,,正常工作的概率依次为0.5，0.6，0.7，0.8，求元件连接成的系统M正常工作的概率)(MP.18．（本小题满分12分）在ABC中，cba,,分别是ABC，，的对边长，已知cba,,成等比数列，且acacbc22，求A的大小及bBcsin的值.19．（本小题满分12分）如图，四棱锥SABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB3.（1）求证：BCSC；（2）求平面ASD与平面BSC所成二面角的大小；（3）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小.20．（本小题满分12分）对于任意实数x，符号][x表示xCDBAMDCBAS的整数部分，即][x是不超过x的最大整数.在实数轴（箭头向右）上][x是在点x左侧的第一个整数点，当x是整数时][x就是x.这个函数][x叫做“取整函数”也叫高斯（Gauss）函数.从][x的定义可得下列性质：]1[][1xxxx.与][x有关的另一个函数是}{x，它的定义是][}{xxx，}{x称为x的“小数部分”.（1）根据上文可知，}{x的取值范围是____________，]2.5[=_____________；（2）求]1024[log]4[log]3[log]2[log]1[log22222的和.21．（本小题满分12分）某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元.（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？（2）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数Pfx()的表达式；（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本）22．（本小题满分14分）已知Ryx,，i、j为直角坐标平面内x、y轴正方向上的单位向量，若向量a=xi+(y+2)j,b=xi+(y－2)j,且8ab.（1）求点),(yxM的轨迹C的方程；（2）过点)3,0(作直线l与曲线C交于A、B两点，设OPOAOB，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB是矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题：123456789101112DACBBADDBCDB二、填空题：13．3414．33239R或33233R15．032yx16．①三、解答题：17．解：由A，B构成系统F，由C，D构成系统G，那么系统F正常工作的概率)](1[)(BAPFP，系统G正常工作的概率为)](1[)(DCPGP，由已知，得752.0)()()(GPFPMP，故系统M正常工作的概率为0.752.18．解：（1）abc，，成等比数列bac2又acacbc22bcabc222，在ABC中，由余弦定理得cosAbcabcbcbc2222212A60（2）在ABC中，由正弦定理得sinsinBbAabacA260，bBcbcasinsinsin260603219．（1）证明：底面ABCD是正方形BCDCSD底面ABCDDC是SC在平面ABCD上的射影由三垂线定理得BCSC（2）解：SD底面ABCD，且ABCD为正方形可以把四棱锥SABCD补形为长方体ABCSABCD111，如图2面ASD与面BSC所成的二面角就是面ADSA1与面BCSA1所成的二面角，SCBCBCASSCAS，//11又SDAS1CSD为所求二面角的平面角在RtSCB中，由勾股定理得SC2在RtSDC中，由勾股定理得SD1CSD45即面ASD与面BSC所成的二面角为45（3）解：SDADSDA190，SDA是等腰直角三角形又M是斜边SA的中点DMSABAADBASDADSDD，，BA面ASD，SA是SB在面ASD上的射影由三垂线定理得DMSB异面直线DM与SB所成的角为9020．（1）}{x的取值范围是6]2.5[),1,0[；（2）1010932222,10,22,9,22,2,22,1,21,0][logNNNNNN所以，原式=820410)22(9)22(2)22(10910232.21．解：（1）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则x01006051002550.因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元.（2）当0100x时，P60当100550x时，Pxx600021006250.()当x550时，P51，所以PfxxxxxNx()()600100625010055051550（3）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则LPxxxxxxxN()()4020010022501005002当x500时，L6000；当x1000时，L11000因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元.22．解：（1）由题设得2222228yyXX由椭圆定义知，轨迹方程为2211216yX4分（2）∵直线l过点（0，3）若直线l的斜率不存在，则A、B为椭圆的顶点∵OPOAOB=0，∴O、P重合与OAPB是矩形矛盾.6分∴直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+3代入2211216yX，得（4+3k2）x2+18kx－21=0,则有△=（18k）2－4（4+3k2）（－21）＞0且1212221821,4343kkkXXXX（*）9分∵OPOAOB，∴四边形OAPB是平行四边形.假设存在直线l使得四边形OAPB是矩形，则有OAOB，11分即有12120OAOByyXX（1+k2）x1x2+3k(x1+x2)+9=0将（*）代入，解得k=54均适合△=＞013分∴存在直线l:534yX，使得四边形OAPB是矩形.14分