高三全国统一标准测试·数学(理科A卷)

全国统一标准测试数学（理科A卷）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷(选择题共60分)参考公式：sinαcosβ=21［sin(α+β)+sin(α－β)］cosαsinβ=21［sin(α+β)－sin(α－β)］cosαcosβ=21［cos(α+β)+cos(α－β)］sinαsinβ=－21［cos(α+β)－cos(α－β)］sinα+sinβ=2sincos2sinα－sinβ=2cossincosα+cosβ=2coscoscosα－cosβ=－2sinsinS台侧=21（c′+c)l(c、c′分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长）V台体=31（S′+SS'+S）h(S′、S分别表示上、下底面积，h表示高）如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中恰好发生kPn(k)=knkknpp)1(C一、选择题（本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知二次函数f(x)=(x－a)(x－b)－2(a＜b)，并且α、β（α＜β）是方程f(x)=0的两根，则a、b、α、β的大小关系是A.α＜a＜b＜βB.a＜α＜β＜bC.a＜α＜b＜βD.α＜a＜β＜b2.已知θ∈［0,π］，f(θ)=sin(cosθ)的最大值为a，最小值为b,g(θ)=cos(sinθ)的最大值为c，最小值为d，则a、b、c、d从小到大的顺序为A.b＜d＜a＜cB.d＜b＜c＜aC.b＜d＜c＜aD.d＜b＜a＜c3.设复数z1=2－i，已知|z2|=|z1|,且arg21zz，则复数z2的值为A.1+2iB.1－2iC.－1+2iD.－1－2i4.某地区高中分三类，A类校共有学生4000人，B类校共有学生2000人，C类校共有学生3000人.现欲抽样分析某次考试的情况，若抽取900份试卷进行分析，则从A类校抽取的试卷份数应为A.450B.400C.300D.2005.给定两个向量a=（3，4），b=（2，1），若（a+xb）⊥(a－b)，则x的值等于A.－3B.23C.3D.－236.已知F1、F2为双曲线2222byax=1(a＞0,b＞0）的焦点，过F2作垂直于x轴的直线，它与双曲线的一个交点为P，且∠PF1F2=30°，则双曲线的渐近线方程为A.y=±22xB.y=±3xC.y=±33xD.y=±2x7.点P在曲线y=x3－x+7上移动，过P点的切线的倾斜角取值范围是A.［0，π)B.(0,)∪［3,π)C.［0,)∪(,3]D.［0,)∪［3,π)8.若某等差数列{an}中，a2+a6+a16为一个确定的常数，其前n项和为Sn，则以下也为确定的常数的是A.S17B.S15C.S8D.S79.将一张画了直角坐标系且两轴的长度单位相同的纸折叠一次，使点（2，0）与点（－2，4）重合，若点（7，3）与点（m,n）重合，则m+n的值为A.4B.－4C.10D.－1010.设方程2－x=|lgx|的两根为x1、x2，则A.x1x2＜0B.x1x2=1C.x1x2＞1D.0＜x1x2＜111.如上图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB、CC1的中点，则异面直线A1C与EF所成角的余弦值为A.33B.32C.31D.6112.设数集M={x|m≤x≤m+43}，N={x|n－31≤x≤n}，且M、N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是A.31B.32C.121D.125第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题（本大题共4小题；每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上）13.不等式x2－(a+1)|x|+a＞0的解集为{x|x＜－1或x＞1，x∈R}，则a的取值范围为.14.已知f(x)=2x3－6x2+m(m为常数)在［－2，2］上有最大值3，那么此函数在［－2，2］上的最小值为.15.某地一种出租车的车费的计算规定如下：基本车费为7元，行程不足3公里时，只收取基本车费；行程不足5公里时，大于等于3公里的那部分，每增加0.5公里，加收车费0.7元，不足0.5公里按0.5公里计算（如：行程为x公里，在4≤x＜4.5时，车费为7+0.7×3=9.1元)；行程大于等于5公里时，大于等于5公里的那部分，每增加0.2公里，加收车费0.4元.如果某人从A地到B地，共付车费11元，那么从A地到B地的行程x的范围是.16.如图所示，在A、B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通.今发现A、B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有种.三、解答题(本大题共6小题；共74分.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.（本小题满分12分）已知函数f(x)=a+bsin2x+ccos2x的图象经过点A（0，1），B（，1）,且当x∈［0,］时，f(x)取得最大值22－1.（Ⅰ）求f(x)的解析式；（Ⅱ）是否存在向量m，使得将f(x)的图象按向量m平移后可以得到一个奇函数的图象？若存在，求出满足条件的一个m;若不存在，说明理由.18.（本小题满分12分）在袋里装30个小球，其中彩球有：n个红色、5个蓝色、10个黄色，其余为白球.求：(Ⅰ)如果已经从中取定了5个黄球和3个蓝球，并将它们编上了不同的号码后排成一排，那么使蓝色小球互不相邻的排法有多少种？(Ⅱ)如果从袋里取出3个都是相同颜色彩球（无白色）的概率是40613，且n≥2，计算红球有几个？(Ⅲ)根据(Ⅱ)的结论，计算从袋中任取3个小球至少有一个是红球的概率.19.（本小题满分12分）设数列{an}满足下列关系式：a1=2a(a≠0，a是常数)，an=2a－12naa；数列{bn}满足关系式bn=aan1.(Ⅰ）用数学归纳法证明：an≠a;(Ⅱ)证明数列{bn}是等差数列；（Ⅲ）求nliman.20.（本小题满分12分）如图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=21AB，点E、M分别为A1B、C1C的中点，过点A1、B、M三点的平面A1BMN交C1D1于点N.（Ⅰ）求证：EM∥平面A1B1C1D1；（Ⅱ）求二面角B—A1N—B1的正切值.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ln(2－x)+ax在（0，1）上是增函数.（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）若数列{an}满足a1=c∈(0,1)且an+1=ln(2－an)+an(n∈N*)，证明0＜an＜an+1＜1;(Ⅲ)已知nliman存在，求其值.22.（本小题满分14分）已知抛物线y2=2(x+21)的焦点为F，准线为l，试判断：是否存在同时满足以下两个条件的双曲线C：（1）双曲线C的一个焦点是F，相应F的准线为l；（2）直线m垂直于x－y=0，双曲线C截直线m所得的线段的长为22，并且截得线段的中点恰好在直线x－y=0上.若存在，求出这条双曲线的方程；若不存在，说明理由.参考答案一、选择题1.A(根据二次函数的图象即得)2.A(由正余弦函数的值域和单调性得)3.D(根据复数乘除法的几何意义)4.B5.A6.D(由a2+b2=c2及直角三角形PF1F2中的边角关系求得2ab)7.D(过P点的切线的倾斜角正切值的范围即是y=3x2－1的值域［－1，+∞），由此得答案)8.B(a2+a6+a16=3a1+21d=3a8是一个确定的常数，因此S15=15a8是常数)9.C(提示：点（7,3)与点（m,n)关于点（2，0）与点（－2，4）的中垂线对称)10.D(设两根为x1＜x2，结合图象知.1,10,lg2,lg2211212xxxxxx前两个式子相减整理得lg(x1x2)=1222xx＜0，由此易得答案＝11.B(设异面直线A1C与EF所成角为θ，正方体棱长为1，CFBCEBEFBCABAACA,11得cos2631EFCA=1，所以选B)12.C(集合M的长度为43、集合N的长度为31，因M、N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，而{x|0≤x≤1}的长度为1，由此得集合M∩N的“长度”的最小值是（1211)3143)二、填空题13.a≤014.－3715.5.4≤x＜5.616.13三、解答题17.解：（Ⅰ）由题意知,1,1baca∴b=c=1－a,∴f(x)=a+2(1－a)sin(2x+).3分∵x∈［0,］,∴2x+∈［,3］.当1－a＞0时，由a+2(1－a)=22－1,解得a=－1;当1－a＜0时，a+2(1－a)·22=22－1,无解;当1－a=0时，a=22－1，相矛盾.综上可知a=－1.∴f(x)=－1+22sin(2x+).8分(Ⅱ)∵g(x)=22sin2x是奇函数，将g(x)的图象向左平移个单位，再向下平移一个单位就可以得到f(x)的图象.10分因此，将f(x)的图象向右平移个单位，再向上平移一个单位就可以得到奇函数g(x)=22sin2x的图象.故m=(，1)是满足条件的一个向量.12分.18.解：(Ⅰ)将5个黄球排成一排只有55A种排法，将3个蓝球放在5个黄球所形成的6个空上，有36A种放法,∴所求的排法为3655AA=5×4×3×2×6×5×4=14400（种）.4分(Ⅱ)取3个球的种数为330C=4060,设“3个球全红色”为事件A，“3个球全蓝色”为事件B，“3个球全黄色”为事件C.P（B）=40601204060C)(,406010CC31033035CP，∵A、B、C为互斥事件，∴P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）,即4060120406010)(40613AP0)(AP取3个球红球的个数n≤2.又∵n≥2，故n=2.8分(Ⅲ)记“3个球中至少有一个是红球”为事件D，则D为“3个球中没有红球”,P（D）=1－P（D）=1－14528CC330328或P（D）=14528CCCCC330128222281212分19.（Ⅰ）证明：当n=1时，由a1=2a得a1－a=2a－a=a≠0，∴a1≠a.即n=1时，结论成立.1分设n=k时结论成立，即ak≠a，则当n=k+1时,ak+1－a=(2a－kaa2)－a=a－kaa2=kkaaaa)(≠0.∴ak+1≠a.即n=k+1时，结论成立.3分因此，对所有自然数n，都有an≠a.4分(Ⅱ)证明：∵an－a=(2a－12naa)－a=11)(nnaaaa，∴bn=.)()(11111aaaaaaaaaaaannnnn即bn=11111nnbaaaa.∴bn－bn－1=a1是一个常数，即数列{bn}是等差数列.8分(Ⅲ)解：∵{bn}是等差数列，其通项为：bn=b1+(n－1)·a1=aa11+(n－1)·a1=a1+（n－1）·a1=an,又an－a=nb1=na,∴an=a+na,∴nliman=a.12分20.(法一)（Ⅰ）证明：取A1B1的中点F，连EF、C1F.∵E为A1B中点，∴EF21BB1.2分又∵M为CC1中点，∴EFC1M,∴四边形EFC1M为平行四边形，∴EM∥FC1.4分而EM平面A1B1C1D1，FC1平面A1B1C1D1.∴EM∥平面A1B1C1D1.6分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）EM∥平面A1B1C1D1，EM平面A1BMN，平面A1BMN∩平面A1B1C1D1=A1N，∴A1N∥EM∥FC1，∴N为C1D1中点.过B1作B1H⊥A1N于H，连BH，根据三垂线定理BH⊥A1N，∠BHB1即为二面角B—A1N—B1的平面角.8分设AA1=a，则AB=2a.∵A1B1C1D