高考数学总复习第五讲应用问题

高考数学总复习第五讲：应用问题一、专题简介著名数学家华罗庚曾说过：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学．可见数学在现实生活中的应用之广泛．从93年开始，为考察考生的分析问题与决问题的能力，在高考数学试题中引入了一定数量的联系生产和生活实际以及相关学科的应用问题．高考中的应用性问题是指具有实际背景或具有实际意义的数学问题，以考察学生的数学知识、方法与能力为主，着重考察学生应用数学的意识．高考中出现的应用性问题，大体可分为三类：第一类是教科书或其它书籍中已经出现过的，从实际生活中概括出来的应用性问题．第二类是与横向学科，如化学、物理、生物等有联系的问题．第三类是有实际生活背景，题意新颖的应用问题．解数学应用问题从一般步骤是：一要阅读理解，认真审题，分析题意，认清已知条件及要求的结论．二要理清各种量（已知与已知、已知与未知）之间的关系，紧紧抓住各种变量之间的关系，分析各种制约条件，将实际问题转化为数学问题．三构造模型、通过对各种关系的分析，形成数学框架，转化为函数、方程、不等式、数列等数学问题，再设法去解决．二、例题分析1.代数应用题例1．在测量某物理量的过程中，因仪器和观测的误差，使得n次测量分别得到a1,a2,…an共n个数据，我们规定所测量的物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小，依此规定，从a1,a2,…an推出的a=______________．分析：本题是与其它学科相关的数学应用问题，要正确理解题意，并能把文字语言转化为符号语言．解：依题意，本题即是求使的最小值时，a的取值．∵，故当时，f(a)最小．例2.《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳锐，超过500元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进计算：全月应纳税所得额税率不超过500元的部分5%超过500元至2000元的部分10%超过2000元至5000元的部分15%某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于（A）800～900元（B）900元～1200元（C）1200～1500元（D）1500～2000元分析：注意分类讨论思想的应用．思路一：若收入1300元应纳税：500×5%=25元26.78元∴此人收入超过1300元，淘汰A、B．若收入1500元应纳税：500×5%+200×10%=45元26.78元∴此人收入低于1500元，排除D，故选C．思路2：设全月应纳税所得额为x元．当x500时，由题意知x·5%=26.78∴故与题意不符合．当500x2000元时，则500×5%+(x–500)×10%=26.78∴x=517.8∴当月工资、薪金所得额为800+517.8=1317.8元．故选C．例3．设计某高速公路时，要求最低车速50千米/小时，最小车距为l千米（l是定值），并且车速v与车距d之间必须满足关系,求：（Ⅰ）常数k的值：（Ⅱ）这条高速公路的一条车道上每小时的最高车流量．（单位时间车流量=车速/车距）解：（Ⅰ）由题意，将v=50，d=l代入解析式中可求得（Ⅱ）．设每小时车流量为Q，则（由实际问题，皆为正值）当且仅当，即时等号成立．而所以当车速为千米/小时，此高速公路一条车道上每小时的最大车流量为辆．例4.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线表示．图一图二（Ⅰ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(x)；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)（Ⅱ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，向何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天）分析：要根据函数图象正确建立函数关系式，然后求最值．解：由图一可得市场售价与时间的函数关系为由图二可得种植成本与时间的函数关系为，Ⅱ）设t时刻的纯收益h(t),则由题意得．当0≤t≤200时，配方整理得，∴t=50时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值100；当时，配方整理得，∴当t=300时，h(t)取得区间(200,300]上的最大值87.5综上，由10087.5可知，h(t)在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．例5某企业年初有资金1000万元，如果该企业经过生产经营每年资金增长率均为50%，但每年年底都要扣除消费基金x万元，余下资金投入再生产，为实现经过5年资金达到2000万元（扣除消费资金后），那么每年扣除消费基金x应是多少万元（精确到万元）？解：依题意，第一年年底扣除消费资金后，投入再生产资金为1000+1000×50%–x=1000×第二年投入再生产资金为……第五年投入再生产资金为化简得：故x≈424（万元）答：每年扣除消费资金为424元．说明：本题关键是寻求每年投入再生产资金的规律，构造数列模型来解题．例６在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南)102(cos方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？解：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向.在时刻：t（h）台风中心),(yxP的坐标为.22201027300,2220102300tytx此时台风侵袭的区域是222)]([)()(tryyxx，其中10)(trt+60，若在t时，该城市O受到台风的侵袭，则有,)6010()0()0(222tyx即,)6010()22201027300()2220102300(222ttt即0288362tt，解得2412t.答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭例７、有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=a，BC=2b.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，（建立坐标系如图）（Ⅰ）若希望点P到三镇距离的平方和为最小，点P应位于何处？（Ⅱ）若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应位于何处？本小题主要考查函数，不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.（Ⅰ）解：由题设可知，,0ba记,22bah设P的坐标为（0，y），则P至三镇距离的平方和为.232)3(3)()(2)(222222bhhyyhybyf所以，当3hy时，函数)(yf取得最小值.答:点P的坐标是).31,0(22ba（Ⅱ）解法一：P至三镇的最远距离为.|||,||,|,)(222222yhybyhyhybybxg当当由||22yhyb解得,222hbhy记,222*hbhy于是.|,|,,)(**22yyyhyyybyg当当当,0222hbhyn即bh时，22yb在[),*y上是增函数，而]y,(-||*在yh上是减函数.由此可知,当nyy时,函数)(yg取得最小值.当,0222*hbhy即bh时,函数22yb在[),*y上,当0y时,取得最小值b,而]y,(-||*在yh上为减函数,且b.||yh可见,当0y时,函数)(yg取得最小值.答当bh时,点P的坐标为);22,0(2222baba当bh时,点P的坐标为(0,0),其中,22bah解法二:P至三镇的最远距离为.|||,||,|,)(222222yhybyhyhybybyg当当由||22yhyb解得,222hbhy记,222*hbhy于是.|,|,,)(**22yyyhyyybyg当当当g(y)z,bh,0*时即y的图象如图(a)，因此，当*yy时，函数)(yg取得最小值.当,*yy即g(y)z,时bh的图象如图(b)，因此，当0y时，函数)(yg取得最小值.答：当bh时，点P的坐标为);22,0(2222baba当bh，点P的坐标为（0，0），其中.22bah解法三：因为在△ABC中，AB=AC=,a所以△ABC的外心M在射线AO上，其坐标为)22,0(2222baba，且AM=BM=CM.当P在射线MA上，记P为P1；当P在射线MA的反向延长线上，记P为P2，若bbah22（如图1），则点M在线段AO上，这时P到A、B、C三点的最远距离为P1C和P2A，且P1C≥MC，P2A≥MA，所以点P与外心M重合时，P到三镇的最远距离最小.若bbah22(如图2),则点M在线段AO外,这时P到A、B、C三点的最远距离为P1C或P2A，且P1C≥OC，P2A≥OC，所以点P与BC边中点O重合时，P到三镇的最远距离最小为b.答：当bbah22时，点P的位置在△ABC的外心)22,0(2222baba；当bbah22时，点P的位置在原点O.例８、某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的%6，并且每年新增汽车数量相同。为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万量，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？解：设2002年末汽车保有量为1b万辆，以后各年末汽车保有量依次为2b万辆，3b万辆……，每年新增汽车x万辆，则301b，xbb94.012对于1n，有xbbnn94.01xbn)94.01(94.021………………∴)94.094.01(94.0111nnnxbbxbnn94.0194.0194.01nxx94.0)06.030(06.0当006.030x，即8.1x时，3011bbbnn当006.030x，即8.1x时，并且数列nb逐项增加，可以任意靠近06.0xnnblim]94.0)06.030(06.0[lim1nnxx06.0x因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即60nb),3,2,1(n则6006.0x，即6.3x（万辆）综上，每年新增汽车不应超过6.3万辆。例９、某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元。该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元。根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件。（I）设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数Pfx()的表达式；（II）当销售商一次订购了450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？（服装厂售出一件服装的利润＝实际出厂单价－成本）本小题主要考查函数的基本知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力。解：（I）当0100x时，P60当100500x时，Pxx600021006250.()所以PfxxxxxN()()6001006250100500（II）设销售商的一次订购量为x件时，工厂获得的利润为L元，则LPxxxxxxxN()()4020010022501005002当x450时，L5850因此，当销售商一次订购了450件服装时，该厂获利的利润是5850元。例１０、本题共有2个小题，第一小题满分6分，第2小题满分8分.某市2003年共有1万辆燃油型公交车。有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：(1)该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过