高考数学总复习第十讲抽象函数问题的题型综述

高考数学总复习第十讲：抽象函数问题的题型综述抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是中学数学中的一个难点，因为抽象，学生解题时思维常常受阻，思路难以展开，教师对教材也难以处理，而高考中又出现过这一题型，有鉴于此，本文对这一问题进行了初步整理、归类，大概有以下几种题型：一.求某些特殊值这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化。例1定义在R上的函数fx()满足：fxfx()()4且fxfx()()220，求f()2000的值。解：由fxfx()()220，以tx2代入，有ftft()()，fx()为奇函数且有f()00又由fxfx()[()]44fxfxfxfxfx()()()()()84故fx()是周期为8的周期函数，ff()()200000例2已知函数fx()对任意实数xy，都有fxyfxfy()()()，且当x0时，fxf()()012，，求fx()在[]21，上的值域。解：设xx12且xxR12，，则xx210，由条件当x0时，fx()0fxx()210又fxfxxx()[()]2211fxxfxfx()()()2111fx()为增函数，令yx，则ffxfx()()()0又令xy0得f()00fxfx()()，故fx()为奇函数，ff()()112，ff()()2214fx()[]在，21上的值域为[]42，二.求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。例3已知fx()是定义在（11，）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足fafa()()2402，试确定a的取值范围。解：fx()是偶函数，且在（0，1）上是增函数，fx()在()10，上是减函数，由1211412aa得35a。（1）当a2时，fafaf()()()2402，不等式不成立。（2）当32a时，fafafaaaaaa()()()24412014024322222解之得，（3）当25a时，fafa()()242faaaaaa()22240210412425解之得，综上所述，所求a的取值范围是()()3225，，。例4已知fx()是定义在(]，1上的减函数，若fmxfmx(sin)(cos)221对xR恒成立，求实数m的取值范围。解：mxmxmxmx22223131sincossincos对xR恒成立mxmxmx22231sinsincos对xR恒成立mxmmxxx2222311254sinsincos(sin)对xR恒成立，mmmm223115421102为所求。三.解不等式这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“f”，转化为代数不等式求解。例5已知函数fx()对任意xyR，有fxfyfxy()()()2，当x0时，fx()2，f()35，求不等式faa()2223的解集。解：设xxR12、且xx12则xx210fxx()212，即fxx()2120，fxfxxxfxxfxfxfxfx()[()]()()()()()22112111212故fx()为增函数，又fffff()()()()()3212123145ffaafaaa()()()1322312211322，即因此不等式faa()2223的解集为aa|13。四.证明某些问题例6设fx()定义在R上且对任意的x有fxfxfx()()()12，求证：fx()是周期函数，并找出它的一个周期。分析：这同样是没有给出函数表达式的抽象函数，其一般解法是根据所给关系式进行递推，若能得出fxTfx()()（T为非零常数）则fx()为周期函数，且周期为T。证明：fxfxfx()()()()121fxfxfx()()()()1232()()12得fxfx()()()33由（3）得fxfx()()()364由（3）和（4）得fxfx()()6。上式对任意xR都成立，因此fx()是周期函数，且周期为6。例7已知fx()对一切xy，，满足ffxyfxfy()()()()00，，且当x0时，fx()1，求证：（1）x0时，01fx()；（2）fx()在R上为减函数。证明：对一切xyR，有fxyfxfy()()()。且f()00，令xy0，得f()01，现设x0，则x0，fx()1，而ffxfx()()()01fxfx()()1101fx()，设xxR12，且xx12，则0121fxx()，fxfxxx()[()]2211fxxfxfx()()()2111fxfx()()12，即fx()为减函数。五.综合问题求解抽象函数的综合问题一般难度较大，常涉及到多个知识点，抽象思维程度要求较高，解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“f”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“f”。例8设函数yfx()定义在R上，当x0时，fx()1，且对任意mn，，有fmnfmfn()()()，当mn时fmfn()()。（1）证明f()01；（2）证明：fx()在R上是增函数；（3）设Axyfxfyf()|()()()，221，BxyfaxbycabcRa{()|()}，，，，，10，若AB，求abc，，满足的条件。解：（1）令mn0得fff()()()000，f()00或f()01。若f()00，当m0时，有fmfmf()()()00，这与当mn时，fmfn()()矛盾，f()01。（2）设xx12，则xx210，由已知得fxx()211，因为x10，fx()11，若x10时，xfx1101，()，由ffxfx()()()011fxfxfxfxxfxfxfxR()()()()()()()112211110在上为增函数。（3）由fxfyf()()()221得xy2211()由faxbyc()1得axbyc0（2）从（1）、（2）中消去y得()abxacxcb2222220，因为AB()()()24022222acabcb，即abc222例9定义在（11，）上的函数fx()满足（1），对任意xy，，()11都有fxfyfxyxy()()()1，（2）当x()10，时，有fx()0，（1）试判断fx()的奇偶性；（2）判断fx()的单调性；（3）求证fffnnf()()()()15111131122…。分析：这是一道以抽象函数为载体，研究函数的单调性与奇偶性，再以这些性质为基础去研究数列求和的综合题。解：（1）对条件中的xy，，令xy0，再令yx可得ffffxfxffxfx()()()()()()()()000000，所以fx()是奇函数。（2）设1012xx，则fxfxfxfxfxxxx()()()()()121212121xxxx1212001，，xxxx121210，由条件（2）知fxxxx()121210，从而有fxfx()()120，即fxfx()()12，故fx()()在，10上单调递减，由奇函数性质可知，fx()在（0，1）上仍是单调减函数。（3）fnn()1312fnnfnnnn(()())()()()1121111211112fnfnfnfnfffnnfffffnfnffnnfn()()()()()()()()()()()()()()()()1112111215111131121313141112121201211202，……，ffnffffnnf()()()()()()()12121215111131122…。抽象函数问题分类解析我们将没有明确给出解析式的函数称为抽象函数。近年来抽象函数问题频频出现于各类考试题中，由于这类问题抽象性强，灵活性大，多数同学感到困惑，求解无从下手。本文试图通过实例作分类解析，供学习参考。1.求定义域这类问题只要紧紧抓住：将函数fgx[()]中的gx()看作一个整体，相当于fx()中的x这一特性，问题就会迎刃而解。例1.函数yfx()的定义域为(]，1，则函数yfx[log()]222的定义域是___。分析：因为log()22x相当于fx()中的x，所以log()2221x，解得22x或22x。例2.已知fx()的定义域为(0)，1，则yfxafxaa()()(||)12的定义域是______。分析：因为xa及xa均相当于fx()中的x，所以010111xaxaaxaaxa(1)当120a时，则xaa()，1(2)当012a时，则xaa()，12.判断奇偶性根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求fx()与fx()的关系。例3.已知fx()的定义域为R，且对任意实数x，y满足fxyfxfy()()()，求证：fx()是偶函数。分析：在fxyfxfy()()()中，令xy1，得ffff()()()()11110令xy1，得ffff()()()()11110于是fxfxffxfx()()()()()11故fx()是偶函数。例4.若函数yfxfx()(())0与yfx()的图象关于原点对称，求证：函数yfx()是偶函数。证明：设yfx()图象上任意一点为P（xy00，）yfx()与yfx()的图象关于原点对称，Pxy()00，关于原点的对称点()xy00，在yfx()的图象上，yfxyfx0000()()又yfx00()fxfx()()00即对于函数定义域上的任意x都有fxfx()()，所以yfx()是偶函数。3.判断单调性根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。例5.如果奇函数fx()在区间[]37，上是增函数且有最小值为5，那么fx()在区间[]73，上是A.增函数且最小值为5B.增函数且最大值为5C.减函数且最小值为5D.减函数且最大值为5分析：画出满足题意的示意图1，易知选B。图1例6.已知偶函数fx()在(0)，上是减函数，问fx()在()，0上是增函数还是减函数，并证明你的结论。分析：如图2所示，易知fx()在()，0上是增函数，证明如下：任取xxxx121200因为fx()在(0)，上是减函数，所以fxfx()()12。又fx()是偶函数，所以fxfxfxfx()()()()