高考数学普通高等学校招生全国统一考试数学91

高考数学普通高等学校招生全国统一考试数学91第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数1sin32yx的最小正周期是（）Ａ．π2Ｂ．πＣ．2πＤ．4π2．设集合12A，，则满足123AB，，的集合B的个数是（）Ａ．1Ｂ．3Ｃ．4Ｄ．83．设()fx是R上的任意函数，下列叙述正确的是（）Ａ．()()fxfx是奇函数Ｂ．()()fxfx是奇函数Ｃ．()()fxfx是偶函数Ｄ．()()fxfx是偶函数4．1234566666CCCCC的值为（）Ａ．61Ｂ．62Ｃ．63Ｄ．645．方程22520xx的两个根可分别作为（）Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率Ｂ．两抛物线的离心率Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率Ｄ．两椭圆的离心率6．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②垂直于同一平面的两个平面互相平行；③若直线12ll，与同一平面所成的角相等，则12ll，互相平行；④若直线12ll，是异面直线，则与12ll，都相交的两条直线是异面直线，其中假命题的个数是（）Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．47．双曲线224xy的两条渐近线与直线3x围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（）Ａ．0003xyxyx，，≥≥≤≤Ｂ．0003xyxyx，，≥≤≤≤Ｃ．0003xyxyx，，≤≤≤≤Ｄ．0003xyxyx，，≤≥≤≤8．设是R上的一个运算，A是V的非空子集，若对任意abA，，有abA，则称A对运算封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是（）Ａ．自然数集Ｂ．整数集Ｃ．有理数集Ｄ．无理数集9．ABC△的三内角ABC，，所对边的长分别为abc，，．设向量p()，acb，q()，baca．若pq∥，则角C的大小为（）Ａ．π6Ｂ．π3Ｃ．π2Ｄ．2π310．已知等腰ABC△的腰为底的2倍，则顶角A的正切值是（）Ａ．32Ｂ．3Ｃ．158Ｄ．15711．与方程221(0)xxyeex≥的曲线关于直线yx对称的曲线的方程为（）Ａ．ln(1)yxＢ．ln(1)yxＣ．ln(1)yxＤ．ln(1)yx12．曲线221(6)106xymmm与曲线221(59)59xynnn的（）ABCPDEFABCDEFABCDEFＡ．离心率相等Ｂ．焦距相等Ｃ．焦点相同Ｄ．准线相同第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．方程22log(1)2log(1)xx的解为．14．设0()ln0xexgxxx，，，≤则12gg．15．如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥PABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是________．16．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1，2，3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1，2号中至少有1名新队员的排法有________种．（以数作答）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知函数22()sin2sincos3cosfxxxxxx，R，求（1）函数()fx的最大值及取得最大值的自变量x的集合；（2）函数()fx的单调增区间．18．（本小题满分12分）甲、乙两班各派2名同学参加年级数学竞赛，参赛同学成绩及格的概率都为0.6，且参赛同学的成绩相互之间没有影响，求：（1）甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩及格的概率；（2）甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率．19．（本小题满分12分）已知正方形ABCD，EF，分别是边ABCD，的中点，将ADE△沿DE折起，如图所示，记二面角ADEC的大小为（0π）．（1）证明BF∥平面ADE；（2）若ACD△为正三角形，试判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上，证明你的结论，并求角的余弦值．20．（本小题满分12分）已知等差数列{}na的前n项和为22()R，nSpnnqpq，nN．（1）求q的值；（2）若1a与5a的等差中项为18，nb满足22lognab，求数列{}nb的前n项和．21．（本小题满分12分）已知函数321()()(2)3fxaxadxadxd，2()2(2)4gxaxadxad，其中00ad，，设0x为()fx的极小值点，1x为()gx的极值点，23()()0gxgx，并且23xx，将点001123(())(())(0)(0)，，，，，，，xfxxgxxx依次记为ABCD，，，．（1）求0x的值；（2）若四边形APCD为梯形且面积为1，求ad，的值．22．（本小题满分14分）已知点112212()()(0)AxyBxyxx，，，是抛物线22(0)ypxp上的两个动点，O是坐标原点，向量OAOB，满足||||OAOBOAOB+-，设圆C的方程为221212()()0xyxxxyyy．（1）证明线段AB是圆C的直径；（2）当圆C的圆心到直线20xy的距离的最小值为255时，求p的值．普通高等学校招生全国统一考试数学一．选择题：DCCBADACBDAB二．填空题：（13）5（14）12（15）67（16）48三、解答题（17）本小题考查三角公式、三角函数的性质及已知三角函数值求角等基础知识，考查综合运用三角函数有关知识的能力.满分12分（I）解法一：1cos23(1cos2)sin222xfxx2sin2cos2xx22sin(2)4x……4分当2242xk，即()8xkkZ时，fx取得最大值22因此，fx取得最大值的自变量x的集合是,8xxkkZ.……8分解法二：222()(sincos)sin22cosfxxxxx1sin21cos2xx22sin(2)4x……4分当2242xk，即()8xkkZ时，fx取得最大值22.因此，fx取得最大值的自变量x的集合是,8xxkkZ……8分（Ⅱ）解：22sin(2)4fxx由题意得222()242kxkkZ，即3()88kxkkZ.因此，fx的单调增区间是3,88kkkZ.…………12分（18）本小题主要考查相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法等基础知识，考查学生运用概率知识解决实际问题的能力，满分12分.（Ⅰ）解：甲班参赛同学恰有1名同学成绩及格的概率为120.60.40.48C乙班参赛同学中恰有一名同学成绩及格的概率为120.60.40.48C故甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩几个的概率为0.480.480.2304P…………………………6分（Ⅱ）解法一：甲、乙两班4名参赛同学成绩都不及格的概率为40.40.0256,故甲、乙两班参赛同学中至少有一名同学成绩都不及格的概率为10.02560.9744P…………………………12分解法二：甲、乙两班参赛同学成绩及格的概率为140.60.40.1536C甲、乙两班参赛同学中恰有2名同学成绩及格的概率为22240.60.40.3456C甲、乙两班参赛同学中恰有3名同学成绩及格的概率为22240.60.40.3456C甲、乙两班4同学参赛同学成绩都及格的概率为40.60.1296故甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率为0.15360.34560.34560.12960.9744P……………………12分（19）本小题主要考查空间中的线面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力和思维能力.满分12分（Ⅰ）证明：E、F分别是正方形ABCD的边AB、CD的中点.//,EDFD且EBFD＝，四边形EBFD是平行四边形//BFEDED平面AED，而BF平面AED//BF平面AED（Ⅱ）解法一：点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，过点A用AG平面,BCDE垂足为,G连接,.GCGDACD为正三角形ACADGCGD＝，G在CD的垂直平分线上。又EF是CD的垂直平分线点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上过G作GHED，垂足为H，连接,AH则.AHDEAHG是二面角ADEC的平面角，即AHG设原正方形ABCD的边长为2，连接AF，在折后图的AEF中，322AFaEFAEa＝，＝＝AEF为直角三角形，AGEFAEAF32AGa在RtADE中，AHDEADAE2,5aAH25aGH1cos4GHAH解法二：点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，连结AF，在平面AEF内过点A作'AGEF，垂足为'GACD为正三角形，F为CD的中点，AFCD又EFCDCD平面AEF'AG平面AEF'CDAG又'AGEF，且CDEFF，CD平面BCDE，EF平面BCDE，AG平面BCDE，'G为A在平面BCDE内的射影G。点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上过G作GHED，垂足为H，连结AH，则AHDE，AHG是二面角ADEC的平面角，即AHG设原正方形ABCD的边长为2a。在折后图的AEF中，3AFa，22EFAEaAEF为直角三角形，AGEFAEAF，32AGa，在RtADE中，AHDEADAE，25aAH，25aGH1cos4GHAH解法三：点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上连结AF，在平面AEF内过点A作'AGEF，垂足为'GACD为正三角形，F为CD的中点AFCD又EFCDCD平面AEF，CD平面BCDE，平面AEF平面BCDE又平面AEF平面,'BCDEEFAGEF，'AG平面BCDE，即'G为A在平面BCDE内的射影G，点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上。过G作GHDE，垂足为H，连结AH，则AHDEAHG是二面角ADEC的平面角，即AHG设原正方形ABCD的边长为2a在折后图的AEF中，3AFa22EFAEa.AEF为直角三角形，AGEFAEAF.32ACa.在RtADE中，AHDEADAE,25aAH,25aGH,1cos4GHAH.········12分(20)本小题考查数列的概念，等差数列，等比数列，对数与指数互相转化等基础知识。考查综合运用数学知识解决问题的能力。满分12分.(Ⅰ)解法一：当1n时，112aSpq,当2n时,2212(1)2(1)nnnaSSpnnqpnnq22pnp.na是等差数列,222pqpp,0q············4分解法二：当1n时,112aSpq,当2n时,2212(1)2(1)nnnaSSpnnqpnnq22pmp.当3n时,1122[2(1)2]2naapnppnpp.22232apqppq.又222232appp,所以3232pqp,得0q.············4分(Ⅱ)解：1512aaa,318a.又362app,6218pp,4p86nan············8分又22lognnab得432nnb.12b,4(1)1414322162nnnnbb