高考数学普通高等学校招生全国统一考试61

高考数学普通高等学校招生全国统一考试61YCY本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷（选择题共40分）注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．一、本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选择出符合题目要求的一项.1．设合集U=R，集合}1|{},1|{2xxPxxM，则下列关系中正确的是（）A．M=PB．PMC．MPD．【答案】C【详解】{|1Pxx或1}x{|1}Mxx易得MP【名师指津】集合与集合之间关系的题目经常助图象来观察.2．“21m”是“直线03)2()2(013)2(ymxmmyxm与直线相互垂直”的（）A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】当12m时两直线斜率乘积为1从而可得两直线垂直,当2m时两直线一条斜率为0一条斜率不存在,但两直线仍然垂直.因此12m是题目中给出的两条直线垂直的充分但不必要条件.【名师指津】对于两条直线垂直的充要条件①12,kk都存在时12.1kk②12,kk中有一个不存在另一个为零对于②这种情况多数考生容易忽略.3．|a|=1，|b|=2，c=a+b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【答案】C【详解】设所求两向量的夹角为cabca　　2.()..0caabaaab2||||||cosaab即：2||||1cos2||||||aaabb所以120.o【名师指津】对于.||||cosabab这个公式的变形应用应该做到熟练,另外向量垂直（平行）的充要条件必需掌握.4．从原点向圆0271222yyx作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为（）A．πB．2πC．4πD．6π【答案】B【详解】将圆的方程配方得：22(6)9xy圆心在(0,6)半径为3,如图：在图中RtPAO中,62OPPA,从而得到30oAOP,即60.oAOB可求120.oBPAP的周长为236劣弧长为周长的13,可求得劣弧长为2.【名师指津】以数形结合的思想解决此类题,抓图中直角三角形中边角关系.5．对任意的锐角,，下列不等关系中正确的是（）A．sinsin)sin(B．coscos)sin(C．sinsin)cos(D．coscos)cos(【答案】D【详解】当30o时可排除A、B选项,当15o时代入C选项中,即：0cos302sin15oo两边平方234sin154o1cos304230.2682o矛盾故选D【名师指津】特殊值反代入的解题思想在高考选择题的解决过程中经常用到.本题只是简单的两组特殊角代入即可解决问题.特殊值解选择题关键是恰到好处地选取特殊值如：数值类经常考虑110,1,,23角类的0,30,60,45,90ooooo真数类1,底的n次幂或是n次幂的倒数等等6．在正四面体P—ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立．．．的是（）A．BC//平面PDFB．DF⊥PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC【答案】C【详解】如图所示：DF∥BC可得A正确BCPOBCPE　　可得BC平面PAE从而得DF平面PAEB正确PO平面ABC则平面PAE平面ABCD正确【名师指津】立体几何中的几个重要模型正四面体、正三棱锥、正四棱等中的边边、边面、面面之间的关系为这一章节的重点内容,高考题的大部分题目都以它们为背景.7．北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（）A．484121214CCCB．484121214AACC．33484121214ACCCD．33484121214ACCC【答案】A【详解】本题可以先从14人中选出12人即1214C,然后从这12人中再选出4人做为早班即412C,最后再从剩余的8人选出4人安排为中班即48C,剩下的4个安排为晚班,以上为分步事件应用乘法原理可得不同的排法为：124414128CCC.【名师指津】排列组合中的分步计数原理与分类计数原理做为解决此类问题的基础.8．函数xxxfcos2cos1)(（）A．在]2,23(),23,[,],2(),2,0[在上递增上递减B．在]2,23(),,2[,]23,(),2,0[在上递增上递减C．在]23,(),2,0[,]2,23(],,2(在上递增上递减D．在]2,2(),2,0[,],23(),23,0[在上递增上递减【答案】A【详解】21(12sin)1cos22|sin|()coscoscosxxxfxxxx当[0,)2x或(,]2x时sin0x()2tanfxx在[0,),(,]22上为增函数当3[,)2x或3(,2]2x时sin0x()2tanfxx在33[,),(,2]22上为减函数.【名师指津】对二倍角余弦公式及两个变式的的正用逆用应熟练,对处理绝对值问题的基本思路是用分类讨论的思想去掉绝对值然后再研究问题,正切函数的单调区间.第Ⅱ卷（共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上.2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．若2121,43,2zziziaz且为纯虚数，则实数a的值为.【答案】83【详解】122(2)(34)(38)(46)34(34)(34)25zaiaiiaaiziii为纯虚数380a且460a8.3a【名师指津】复数的四则运算,复数abi为实数、纯虚数的充要条件,复数的模作为复数内容的重点.10．已知tan,22tan则的值为，)4tan(的值为.【答案】41,37【详解】（I）因为tan2,2所以22tan242tan,1431tan2所以tantantan14tan()41tan1tantan44113.4713【名师指津】本题还考查了倍角的正切公式与两角和的正公式.三角函数知识的考查每年题目难度都不是很大,应该抓基本公式与基本题型的解决.11．6)1(xx的展开式中的常数项是.（用数字作答）【答案】15【详解】对于13(6)6422166(1)()(1)rrrrrrTCxxCx当4r时第5项为常数项,即4456(1)15TC.【名师指津】二项式定理第1r项的通项公式41nrrrnTCab的运用在往年高考中经常遇到.12．过原点作曲线xey的切线，则切点的坐标为，切线的斜率为.【答案】(1,)ee　　　【详解】(略)【名师指津】(略)13．对于函数)(xf定义域中任意的)(,2121xxxx，有如下结论：①)()()(2121xfxfxxf；②)()()(2121xfxfxxf；③;0)()(2121xxxfxf④.2)()()2(2121xfxfxxf当xxflg)(时，上述结论中正确结论的序号是.【答案】②③【详解】对于①②可以用()lgfxx直接验证即可②满足题意对于③④如右图所示：对于()lgfxx图象上任意不同两点1122(,())(,())AxfxBxfx1212()()0ABfxfxkxx显然成立（可以用1'()0(0)ln10fxxx）故③正确再有AB中点C（1212()(),)22xxfxfx过C作DCx轴交()fx于D（12,)2DxxyD在()fx上有：1212()()()22DCxxfxfxyfy故④不正确【名师指津】本题主要考查了()lgfxx函数运算性质以及直线斜率应用,题目较综合.14．已知n次式项式nnnnnaxaxaxaxP1110)(.如果在一种算法中，计算),,4,3,2(0nkxk的值需要k－1次乘法，计算P3（x0）的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算P10（x0）的值共需要次运算.下面给出一种减少运算次数的算法：P0（x）=a0，Pk+1（x）=xPk（x）+ak+1（k=0，1，2，…，n－1）.利用该算法，计算P3（x0）的值共需要6次运算，计算P10（x0）的值共需要次运算.【答案】1(3)22nnn　　【详解】由题意知道0kx的值需要1k次运算,即进行1k次0x的乘法运算可得到0kx的结果对于32300010203()Pxaxaxaxa这里300ax0000axxx进行了3次运算,210100axaxx进行了2次运算,20ax进行1次运算,最后320010203,,,axaxaxa之间的加法运算进行了3次这样30()Px总共进行了32139次运算对于0()nPx10010...nnnaxaxa总共进行了(1)12...12nnnnn次乘法运算及n次加法运算所总共进行了(1)(3)22nnnnn次由改进算法可知：0010()()nnnPxxPxa,100201()()nnnPxxPxa...10001()()PxPxa,000()Pxa运算次数从后往前算和为：22...22n次【名师指津】本题目属于信息题,做此类题需要认真分析题目本身所给的信息.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（本小题共13分）已知函数.93)(23axxxxf（Ⅰ）求)(xf的单调减区间；（Ⅱ）若)(xf在区间[－2，2].上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.【答案】【详解】解：（I）2'()369.fxxx令'()0fx,解得1x或3,x所以函数()fx的单调递减区间为(,1),(3,).（II）因为(2)812182,faa(2)8121822,faa所以(2)(2).ff因为在(1,3)上'()0fx,所以()fx在[1,2]单调递增,又由于()fx在[2,1]上单调递减,因此(2)f和(1)f分别是()fx在区间[2,2]上的最大值和最小值.于是有2220a,解得2.a故32()392.fxxxx因此(1)13927.f即函数()fx在区间[2,2]上的最小值为7.【名师指津】函数求导的方法研究函数的单调性及最值问题近几年高考试题中屡屡出现,成为热门题型.要熟练掌握各种常见函数的求导方法及研究单调、最值的基本思路.16．（本小题共14分）如图，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AB=AD=2，DC=DCADAA,3,321，AC⊥BD，垂足为E.（Ⅰ）求证BD⊥A1C；（Ⅱ）求二面角A1—BD—C1的大小；（Ⅲ）求异面直线AD与BC1所成角的余弦值.解法一：（I）在直四棱柱1111ABCDABCD中,1AA底面ABCD,A1B1C1D1ABCDEFA1B1C1D1ABCDEAC是1AC在平面ABCD上的射影.,BDAC1.BDAC（II）连结1111,,.AECEAC与（I）同理可证11,,BDA