高考数学平面向量练习4

平面向量复习应注重的四个强化平面向量是高中新课程教材中新增的内容，在高考中如何考，在教学中如何把握，特别是该如何进行系统的复习，作为广大数学教师还不是十分清楚。通过对三年来江西与天津地区的数学试卷的分析，特别是2003年高考试题（江苏卷）的研究，笔者认为：在向量这一部分的教学（特别是高考复习教学）中，首先要注重基本概念和基本运算的教学，对概念要理解深刻到位，运算要准确，尤其是向量互相垂直、平行的充要条件和平面向量基本定理（包括坐标运算），应当达到运用自如、熟练掌握的程度；其次教学中应把向量与其他知识内容进行整合，将几何问题、函数问题、解析几何问题、三角问题等转化为向量运算，特别是坐标形式的向量运算问题，充分揭示数学中化归思想的深刻含义，同时也显示出向量的巨大威力。因而平面向量的复习教学应注意以下四个方面的强化工作。一、强化用平面向量解决平面几何问题的意识例1．如图，P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PECF是矩形，证明：①PA=EF②PA⊥EF分析：如果用平面几何的常规证法来处理这两个结论，由于P点的不确定性，显然对大部分学生来讲很困难，而如果抓住向量，那么可以把几何关系快速转化为数量关系，从而通过定量分析得出定性的结果证明：①以DC所在直线为x轴，以DA所在直线为y轴建立如图所示的直角坐标系。设正方形边长为1，DP，则A（0，1），C（1，0），P)22,22(，E)22,1(，F)0,22(∴)221,22(PA)22,122(EF∴12EF,12PA2222∴22EFPA∴PA=EF②∵0)22)(221()122)(22(EFPA∴EFPA∴PA⊥EF例2．如图，设G是△OAB的重心，过G的直线与OA、OB分别交于P和Q，已知OBkOQ,OAhOP，△OAB和△OPQ的面积分别为S和T。求证：（1）3k1h1（2）2sT9s4证明：（1）连结OG并延长交AB于M则M为AB的中点，设OAa，OBb∴21)OBOA(21OM（a+b）31OB31OA31OM32OG（a+b）又hOAhOPa，kOBkOQb∴OPOQPQ=kb-ha31OPOGPG（a+b）―ha=)h31(a+31b∵P、G、Q三点共线，∴存在实数使得PQPG即)h31(a+31b=kb-ha由平面向量基本定理知：k31hh31消去得3k1h1（2）∵∠POQ=∠AOB∴hkOBOAOQOPOBOAOQOPST由（1）知1h3hk由于1h0,1k0∴1h011h3h0且∴1h21从而0)1h3(9)2h3(941h3h94ST22∴94ST又∵0)1h3(3)1h2)(1h(211h3h21ST2∴21ST综上所述：∴21ST94即2sT9s4说明：解本题的关键是理解向量的各种运算的定义，并能熟练应用运算法则。利用向量解平面几何问题有时特别方便，但要注意一点，不宜搞得过难过深，因为高考在这方面要求不高，只是在数学竞赛中有较高要求。二、强化用平面向量解决解析几何问题的意识在高中数学里，解析几何的运算等问题是比较繁杂的，而有些问题如果应用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。而且向量的坐标是代数与几何联系的纽带，是平面向量的重点内容，它与解析几何联系比较紧密，许多解析几何问题（如长度、角度、点的坐标、轨迹等）都可以用平面向量的知识来解决。例3．椭圆36y9x422的焦点为21F,F，点P为其上的动点，当21PFF为钝角时，点P横坐标的取值范围是解：设点)y,x(Ppp，则,x944y2p2p21PFF为钝角，则0PFFcos21从而0PFPF21∴05yx2p2p即05x944x2p2p∴553x553p∴点P横坐标的取值范围是)553,553(例4．已知椭圆C：116y24x22，直线L：18y12x，P是L上的点，射线OP交C于点R，又点Q在OP上，且满足2OROQOP，当点P在L上移动时，求点Q的方程。（95年全国高考题）解：设)y,x(R),y,x(P),y,x(QRRPP则)y,x(OR),y,x(OP),y,x(OQRRPP∵2OROPOQ,OQOQOPOP∴OQOQOROP22∴yOQORyxOQORx22P22p代入L方程得1)8y12x(OQOR22同理可得1)16y24x(OQOR2222∴)0xy(8y12x16y24x22即点Q的轨迹方程为)0xy(08y12x16y24x22说明：用向量作为工具解决解几问题时，解法简洁明快，而且易理解、易操作。三、强化用平面向量解决三角问题的意识教材中利用向量推导出了正弦定理、余弦定理，其实用向量推导其它三角公式也很方便，同时说明向量与三角是有密切联系的。如：sinsincoscos)cos(证明：如图：在单位圆上任取两点A、B，设OX为始边，OA、OB为终边的角分别为,∴)sin,(cosOB),sin,(cosOA)sin,(cosB),sin,(cosA∴sinsincoscosOBOA又)cos()cos(OBOAOBOA∴sinsincoscos)cos(例5．△ABC中，若CcosbaBcosacAcoscbc2试判断此三角形的形状。解：设CA=b,CB=a,CACBAB=a-b=c∵a与b的夹角为C，b与c的夹角为A，a与c的夹角为B∴Acosbc=-cb,Bcosca=ac,Ccosab=ba∴baaccbc2从而babacc)(2即bacc22∴ba=0∴ba∴△ABC为直角三角形例6．设)2,(),,0(，向量a=)sin,cos1(，b=)sin,cos1(c=（1,0），若a与c的夹角为1，b与c的夹角为2，且321，求2sin的值解：2cos)cos1(2cos1sin)cos1(cos1cos221caca∵02cos,0∴2coscos1又∵10于是21同理可得：2sincos2，因而)22cos(cos2由于0222，而20于是222因而222)22(221∴3222∴62∴212sin四、强化用平面向量解决其他问题的意识例7．点P在平面上作匀速直线运动，速度是每秒)5,2(V，当t=0时，P在（—6，—2）处，则t=5时，点P的坐标为________略解：设所求点P的坐标为（x,y）则（x+6,y+2）=(10,25)∴x=4,y=23∴点P的坐标（4,23）例8．已知1ba,4yx2222，试求byax的取值范围。解：设有向量p=)b,a(,q)y,x(,p与q的交角为θ∵p、q都不是零向量（若p=0，则a=b=0,与1ba22矛盾。同理q≠0）∴p•q=ax―by又p•q=qpcosθ=cosyxba2222=2cosθ∴ax―by=2cosθ∵-1≤cosθ≤1∴-2≤ax―by≤2高考复习是教师与学生共同创造、共同进步的一个系统工程。随着高考命题的进一步改革，对能力的要求会进一步提高，对教材中新增能力的要求越来越高，在知识交汇点上的命题也不再停留在“戴帽子，穿靴子”的水平上了。因而在复习中应当加强知识点与点之间的渗透与拓宽，构建好知识结构的网络，激活学生的创新思维，增强学生的实践意识与探究能力，真正提高复习的实效，切实提高学生的能力。