高考数学模拟示范卷3

高考数学模拟示范卷(三)江西金太阳教育研究所数学研究室编一.选择题(本大题12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求)1.复数2008(1)i的实部为().A.0B.10042C.10042D.200822.已知函数1()4(0,1)xfxaaa的反函数1()yfx的图象经过一个定点,则这个定点的坐标为().A.(1,4)B.(1,5)C.(5,1)D.(4,1)3.函数2()12cos2()fxxxR是().A.最小正周期为的偶函数B.最小正周期为的奇函数C.最小正周期为2的偶函数D.最小正周期为2的偶函数4.若||2sin15a,||4cos15b,a与b的夹角为30,则ab的值为().A.32B.32C.3D.125.若点(,)Pxy在以(3,1),(1,0),(2,0)ABC为顶点的ABC的内部运动(不包含边界),则21yx的取值范围().A.12[,1]B.12(,1)C.14[,1]D.14(,1)6.已知椭圆2222:1(0)xyabCab,顺次连结椭圆C的四个顶点,所得四边形的内切圆与长轴的两交点正好是长轴的两个三等分点,则椭圆的离心率e等于().A.73B.144C.225D.3577.若实数,xy满足1|1|ln0yx,则y关于x的函数的图象大致是().O1xyO1xyO1xy1O1xy1A.B.C.D.28.四面体ABCD中,已知3ABcm,215ABCScm,212ABDScm,面ABC与面ABD所成的二面角为30,则四面体的体积为().A.320cmB.3310cmC.3320cmD.330cm9.已知,,,abcdR,满足5ab,222221abcd,则有().A.2abcdB.2abcdC.2abcdD.2abcd10.从由正数组成的集合A中随机地选出一个数字,且选取数字n的概率为lg(1)lgnn,下面给出四个集合：①{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}；②{1,2,3,4,5,6,7,8,9}；③13{,4,5,6,7,8,9}；④12{,1,6,7,8,9}.则能当成集合的个数为().A.1B.2C.3D.411.若方程ln()xax(a为常数,0a),则下列判断正确的是().A.当0a时,没有实根B.当0ae时,有一个实根C.当ae时,有三个实根D.当ae时,有两个实根12.用11max(,,,)naaa,11min(,,,)naaa分别表示11,,,naaa中的最大与最小者,有下列结论：①max(,)max(,)max(,,,)abcdabcdacbd；②min(,)min(,)min(,abcdac,,)adbcbd；③若max(,)max(,)abcd,则,acbd；④若min(,)min(,)abcd,则,acbd.其中正确结论的个数是().A.0B.1C.2D.3二.填空题(本大题4个小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上)13.2008(2)x的展开式中所有奇次项系数的和为__________.14.函数lnxxy的单调递减区间为__________.15.在圆225xyx内,过点5322(,)有n条弦的长度成等差数列,最短弦长为数列的首项1a,最长弦为na,若公差1163(,]d,则n的取值集合为__________.16.给出下列命题：①函数22tan1tan()xxfx与()tan2gxx是同一个函数；②在ABC中,若sinsinAB,则AB；③01112limxxxx；④随机变量2~(2,)N,若(24)0.3P,则(0)0.5P.其中正确命题的序号为__________.(填所有正确命题的序号)三.解答题(本大题6个小题,共74分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)已知函数()21xfx的反函数为1()fx,4()log(31)gxx.(Ⅰ)若1()()fxgx,求x的取值集合D；(Ⅱ)设函数112()()()Hxgxfx,当xD时,求函数()Hx的值域.18.(本小题满分12分)(Ⅰ)在ABC中,若222cabab,求角C的大小.(Ⅱ)对于(Ⅰ)中的角C,函数2sin(2)yxC的图象按向量m平移后,对应的函数为偶函数,求||m取最小值时的向量m.19.(本小题满分12分)某人居住在城镇的A处,准备开车到单位B处上班,若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的,且在同一路段发生堵车事件最多只有一次,发生堵车事件的概率如图(例如ACD算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为15,路段CD发生堵车事件的概率为18).(Ⅰ)请你为其选择一条由A到B的最短路线(即此人只选择从西向东和从南向北的路线),使得途中发生堵车事件的概率最小；(Ⅱ)若记路线ACFB中遇到堵车次数为随机变量,求的数学期望E.ACDBFE121101415181316北西20.(本小题满分12分)已知三棱锥PABC中,90,12,BACBCP在底面ABC上的射影G为ABC的重心,且2PG.(Ⅰ)求PA与底面ABC所成的角的大小；(Ⅱ)当二面角PBCA的大小最小时,求三棱锥PABC的体积.21.(本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)xyabCab经过点(2,1)P,离心率32e,直线l与椭圆C交于,AB两点(,AB均异于点P),且有0PAPB.(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)求证：直线l过定点.22.(本小题满分14分)已知函数32()fxxaxbxc关于点(1,1)成中心对称,且(1)0f.(Ⅰ)求函数()fx的表达式；(Ⅱ)设数列{}na满足条件：1(1,2)a,1()nnafa.求证：12323412()(1)()(1)()(1)1nnnaaaaaaaaa.ABPCGDM高考数学模拟示范卷(三)参考答案江西金太阳教育研究所数学研究室编一.选择题(本大题12个小题,每小题5分,共60分.)题号123456789101112答案DCBDABBACADB二.填空题(本大题4个小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上)13.200813214.[,)e15.{4,5,6}16.②三.解答题(本大题6个小题,共74分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)已知函数()21xfx的反函数为1()fx,4()log(31)gxx.(Ⅰ)若1()()fxgx,求x的取值集合D；(Ⅱ)设函数112()()()Hxgxfx,当xD时,求函数()Hx的值域.解：(Ⅰ)()21xfx,12()log(1)(1)fxxx.又1()()fxgx,∴24log(1)log(31)xx.∴2(1)311001310xxxxx,故集合{|01}Dxx.(Ⅱ)由(Ⅰ),42413121()log(31)log(1)logxxHxxx.设311xxu,则213xu为增函数.∵01x,∴112x,即12u.故函数()Hx的值域为12[0,].18.(本小题满分12分)(Ⅰ)在ABC中,若222cabab,求角C的大小.(Ⅱ)对于(Ⅰ)中的角C,函数2sin(2)yxC的图象按向量m平移后,对应的函数为偶函数,求||m取最小值时的向量m.解：(Ⅰ)∵222222coscababCabab,∴12cosC.∵C为三角形的内角,∴23C.(Ⅱ)232sin(2)yx.设(,)mpq,则按向量m平移后得,232sin(22)yxpq.当此函数为偶函数时,有2322()pkkZ,∴122()kpkZ.又||m最小,∴12,0pq,故12(,0)m.19.(本小题满分12分)某人居住在城镇的A处,准备开车到单位B处上班,若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的,且在同一路段发生堵车事件最多只有一次,发生堵车事件的概率如图(例如ACD算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为15,路段CD发生堵车事件的概率为18).(Ⅰ)请你为其选择一条由A到B的最短路线(即此人只选择从西向东和从南向北的路线),使得途中发生堵车事件的概率最小；(Ⅱ)若记路线ACFB中遇到堵车次数为随机变量,求的数学期望E.解：(Ⅰ)由A到B的最短路线有3条,即为：ACDB,ACFB,AEFB.47264583120()1PACDB；43560546120()1PACFB；ACDBFE121101415181316北西195752106120()1PACFB.故路线ACFB发生堵车事件的概率最小.(Ⅱ)路线ACFB中遇到堵车次数可取值为0,1,2,3.43515462(0)P；13541543147546546546120(1)P；11513141112546546546120(2)P；1111546120(3)P.故147121372120120120600123E.20.(本小题满分12分)已知三棱锥PABC中,90,12,BACBCP在底面ABC上的射影G为ABC的重心,且2PG.(Ⅰ)求PA与底面ABC所成的角的大小；(Ⅱ)当二面角PBCA的大小最小时,求三棱锥PABC的体积.解：(Ⅰ)如图,连AG并延长交BC于点D,依题意知,PAG就是PA与底面ABC所成的角,且D为BC的中点.∴126ADBC,234AGAD.在RtAGP中,12tanPGAGPAG,∴12arctanPAG,故PA与底面ABC所成的角12arctan.(Ⅱ)过点G作GMBC于M,连PM,则PMBC,∴PMG为二面角PBCA的平面角.在RtABC中,斜边BC上的高为12ABACABACBC,∴131236ABACABACGM.在RtPMG中,22222727227227212tan1ABACPGGMABACBCPMG.∴二面角PBCA的最小值为4,当且仅当26ABAC.∴1112233366224PABCABCVSPG.21.(本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)xyabCab经过点(2,1)P,离心率32e,直线l与椭圆C交于,AB两点(,AB均异于点P),且有0PAPB.(Ⅰ)求椭圆C的方程；ABPCGDM(Ⅱ)求证：直线l过定点.(Ⅰ)解：易知22411ab,32cae,222abc,∴28a,22b,26c.故方程为22821xy.(Ⅱ)证明：设l：ykxm与椭圆C的方程联立,消去y得,222(14)8480kxkmxm.设1122(,),(,)AxyBxy,则22212128481414,kmmkkxxxx.1122(2,1)(2,1)PAPBxyxy21212121212(2)(2)(1)(1)(2)(2)(1)(1)(1)xxyyxxkxmkxmkxx22222221248481414(2)()4(1)(1)(2)()4(1)mmkkkmkxxmkkmkm22222212165231216(53)(1)(653)(21)1414140kkmmmk