高考数学复习概率与统计变式题

高考数学复习概率与统计变式题（命题人：广州市第三中学刘窗洲）审校人张志红1．（人教A版选修2-3第66页例4）某射手每次射击击中目标的概率是0.8，求这名射手在10次射击中，（1）恰有8次击中目标的概率；（2）至少有8次击中目标的概率？变式1：某人参加一次考试，４道题中解对３道则为及格，已知他的解题正确率为0.4，则他能及格的概率为．【解析】：他能及格则要解对４道题中解对３道或４道：解对３道的概率为：6.04.0)(334CAP，解对4道的概率为：4444.0)(CBP，且A与B互斥，他能及格的概率为4443344.06.04.0)(CCBAP．变式2：设甲、已、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5。（1）三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率；（2）若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率．【解析】（I）设AK表示“第k人命中目标”，k=1，2，3.这里，A1，A2，A3独立，且P（A1）=0.7，P（A2）=0.6，P（A3）=0.5.从而，至少有一人命中目标的概率为1231231()1()()()10.30.40.50.94PAAAPAPAPA恰有两人命中目标的概率为123123123123123123123123123()()()()()()()()()()()()()0.70.60.50.70.40.50.30.60.50.44PAAAAAAAAAPAAAPAAAPAAAPAPAPAPAPAPAPAPAPA答：至少有一人命中目标的概率为0.94，恰有两人命中目标的概率为0.44．（II）设甲每次射击为一次试验，从而该问题构成三次重复独立试验.又已知在每次试验中事件“命中目标”发生的概率为0.7，故所求概率为.441.0)3.0()7.0()2(2233CP答：他恰好命中两次的概率为0.441.变式3：在2004年雅典奥运会中，中国女排与俄罗斯女排以“五局三胜”制进行决赛，根据以往战况，中国女排在每一局赢的概率为,53已知比赛中，俄罗斯女排先胜了每一局，求：(1)中国女排在这种情况下取胜的概率；(2)求本场比赛只打四局就结束的概率．（均用分数作答）【解析】(1)中国女排取胜的情况有两种，第一种是中国女排连胜三局，第二种是在第2局到第4局，中国女排赢了两局，第5局中国女排赢，∴中国女排取胜的概率为.6252975352)53()53(2233C(2).12551)53(53)52(3212C变式4：一个质地不均匀的硬币抛掷5次,正面向上恰为1次的可能性不为0,而且与正面向上恰为2次的概率相同.令既约分数ji为硬币在5次抛掷中有3次正面向上的概率,求ji.【解析】设正面向上的概率为P,依题意:322541511PPCPPC,1-P=2P,解得:31P,硬币在5次抛掷中有3次正面向上的概率为:2434031131123352335CPPC.2．（人教A版选修2-3第77页例4）随机抛掷一枚质地均匀的骰子，求向上一面的点数X的均值、方差和标准差。变式1：设某射手每次射击打中目标的概率为0.8，现在连续射击４次，求击中目标的次数ξ的概率分布．【解析】击中目标的次数ξ可能为0，1，2，3，4。当ξ=0时，4042.00CP，当ξ=1时，31142.08.01CP，当ξ=2时，22242.08.02CP，当ξ=3时，13342.08.03CP，当ξ=4时，4448.04CP，所以ξ的分布列为：ξ01234P4042.0C31142.08.0C22242.08.0C13342.08.0C4448.0C变式2：袋中有１２个大小规格相同的球，其中含有２个红球，从中任取３个球，求取出的３个球中红球个数ξ的概率分布．【解析】ξ的所有可能的取值为：0，1，2．当ξ=0时，3123100CCP，当ξ=1时，312210121CCCP，当ξ=2时，312110222CCCP，ξ012P312310CC31221012CCC31211022CCC评述：312310CC+31221012CCC+31211022CCC=2201090120=1．变式3：从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数.（1）求的分布列；（2）求的数学期望；（3）求“所选3人中女生人数1”的概率.【解析】（1）可能取的值为0，1，2。2,1,0,)(36342kCCCkPkk．所以，的分布列为012P515351（2）由（1），的数学期望为1512531510E（3）由（1），“所选3人中女生人数1”的概率为54)1()0()1(PPP．变式4：甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.（Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望；（Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.【解析】（Ⅰ）依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下：ξ0123P3011032161甲答对试题数ξ的数学期望Eξ=0×301+1×103+2×21+3×61=59.（Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则P(A)=310361426CCCC=1202060=32，P(B)=310381228CCCC=1205656=1514.因为事件A、B相互独立，方法一：∴甲、乙两人考试均不合格的概率为P(BA)=P(A)P(B)=1－32)(1－1514)=451.∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P=1－P(BA)=1－451=4544.答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544.方法二：∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为P=P(A·B)+P(A·B)+P(A·B)=P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)=32×151+31×1514+32×1514=4544.答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544.3．（人教A版选修2-3第86页B组2）若~(5,1)XN，求(67)PX。变式1：随机变量ξ服从正态分布N（0，1），如果P（ξ1）=0.8413，求P（－1ξ0）.【解析】∵ξ～N（0，1），∴P（－1ξ0）=P（0ξ1）=Φ（1）－Φ（0）=0.8413－0.5=0.3413.变式2：一投资者在两个投资方案中选择一个，这两个投资方案的利润x（万元）分别服从正态分布N（8，32）和N（6，22），投资者要求利润超过5万元的概率尽量地大，那么他应选择哪一个方案?【解析】对第一个方案，有x～N（8，32），于是P（x5）=1－P（x≤5）=1－F（5）=1－Φ（385）=1－Φ（－1）=1－［1－Φ（1）]=Φ（1）=0.8413.对第二个方案，有x～N（6，22），于是P（x5）=1－P（x≤5）=1－F（5）=1－Φ（265）=1－Φ（－0.5）=Φ（0.5）=0.6915.相比之下，“利润超过5万元”的概率以第一个方案为好，可选第一个方案.变式3：在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布100,70N.已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名.（Ⅰ）试问此次参赛的学生总数约为多少人？（Ⅱ）若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？可供查阅的（部分）标准正态分布表00xxPx0x01234567891.21.31.41.92.02.10.88490.90320.91920.97130.97720.98210.88690.90490.92070.97190.97780.98260.88880.90660.92220.97260.97830.98300.89070.90820.92360.97320.97880.98340.89250.90990.92510.97380.97930.98380.89440.91150.92650.97440.97980.98420.89620.91310.92780.97500.98030.98460.89800.91470.92920.97560.98080.98500.89970.91620.93060.97620.98120.98540.90150.91770.93190.97670.98170.9857【解析】：本小题主要考查正态分布，对独立事件的概念和标准正态分布的查阅，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力．【解答】（Ⅰ）设参赛学生的分数为，因为～N(70，100)，由条件知，P(≥90)＝1－P（90）＝1－F(90)＝1－)107090(＝1－(2)＝1－0.9772＝0.228.这说明成绩在90分以上（含90分）的学生人数约占全体参赛人数的2.28％，因此，参赛总人数约为0228.012≈526（人）．（Ⅱ）假定设奖的分数线为x分，则P(≥x)＝1－P（x）＝1－F(x)＝1－)1070(x＝52650＝0.0951，即)1070(x＝0.9049，查表得1070x≈1.31，解得x＝83.1.故设奖得分数线约为83.1分．4．（人教A版选修2-3第100页例2）一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了7组观测数据列于表中，试建立y与x之间的回归方程。温度0/xC21232527293235产卵数/y个711212466115325变式1：为了对2006年佛山市中考成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机抽出8位，他们的数学(已折算为百分制)、物理、化学分数对应如下表，学生编号12345678数学分数x6065707580859095物理分数y7277808488909395化学分数z6772768084879092(1)若规定85分(包括85分)以上为优秀，求这8位同学中数学和物理分数均为优秀的概率；(2)用变量y与x、z与x的相关系数说明物理与数学、化学与数学的相关程度；(3)求y与x、z与x的线性回归方程（系数精确到0.01），并用相关指数比较所求回归模型的效果.参考数据：5.77x，85y，81z，1050)(812iixx，456)(812iiyy，550)(812iizz，688))((81iiiyyxx，755))((81iiizzxx，7)ˆ(812iiiyy，94)ˆ(812iiizz，5.23550,4.21456,4.321050.解答：(1)由表中可以看出，所选出的8位同学中，数学和物理分数均为优秀的人数是3人，其概率是83.………………………………………………………………………………………………………3分(2)变量y与x、z与x的相关系数分别是99.04.214.32688r、99.05.234.32755r.……………………………………………5分可以看出，物理与数学、化学与数学的成绩都是高度正相关.…………………………6分(3)设y与x、z与x的线性回归方程分别是abxyˆ、axbzˆ.根据所给的数据，可以计算出63.345.77*65.085,65.01050688ab，20.255.77*72.081,72.01050755ab.……………………………………………………10分所以y与x和z与x的回归方程分别是63.3465.0ˆxy、20.2572.0ˆxz.…………………………………………………………11分又y与x、z与x的相关指数是98.0456712