高考数学等学校招生全国统一考试36

高考数学等学校招生全国统一考试36第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.（1）若U={1,2,3,4},M={1,2},N={2,3},则)(NM（A）{1,2,3}（B）{4}（C）{1,3,4}（D）{2}（2）直线y=2与直线x+y—2=0的夹角是（A）4（B）3（C）2（D）43（3）已知等差数列na的公差为2,若431,,aaa成等比数列,则2a=（A）–4（B）–6（C）–8（D）–10（4）已知向量),cos,(sin),4,3(ba且a∥b，则tan=（A）43（B）43（C）34（D）34（5）点P从（1，0）出发，沿单位圆122yx逆时针方向运动32弧长到达Q点，则Q的坐标为（A）（)23,21（B）（)21,23（C）（)23,21（D）（)21,23（6）曲线y2=4x关于直线x=2对称的曲线方程是（A）y2=8--4x（B）y2=4x—8（C）y2=16--4x（D）y2=4x—16（7）若nxx)2(3展开式中存在常数项,则n的值可以是（A）8（B）9（C）10（D）12（8）“21sinA”“A=30º”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（9）若函数)1,0)(1(log)(aaxxfa的定义域和值域都是[0，1]，则a=（A）31（B）2（C）22（D）2（10）如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，若AD与平面AA1C1C所成的角为，则=（A）3（B）4（C）410arcsin（D）46arcsin（11）椭圆)0(12222babyax的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被点（2b，0）分成5：3两段，则此椭圆的离心率为（A）1716（B）17174（C）54（D）552（12）若)(xf和g(x)都是定义在实数集R上的函数，且方程0)]([xgfx有实数解，则)]([xfg不可能．．．是（A）512xx（B）512xx（C）512x（D）512x第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.把答案填在题中横线上.（13）已知,0,1,0,1)(xxxf则不等式2)(xxxf≤5的解集是.（14）已知平面上三点A、B、C满足,5,4,3CABCAB则AB·BC+BC·CA+CA·AB的值等于.（15）已知平面⊥，=l，P是空间一点，且P到、的距离分别是1、2，则点P到l的距离为.（16）设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有种（用数字作答）.三.解答题：本大题共6小题，满分74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本题满分12分）已知数列na的前n项和为).)(1(31,NnaSSnnn（Ⅰ）求21,aa；（Ⅱ）求证数列na是等比数列.（18）（本题满分12分）在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且31cosA.（Ⅰ）求ACB2cos2sin2的值；（Ⅱ）若3a，求bc的最大值.（19）（本题满分12分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是线段EF的中点.（Ⅰ）求证AM∥平面BDE；（Ⅱ）求证AM⊥平面BDF；（Ⅲ）求二面角A—DF—B的大小；（20）（本题满分12分）某地区有5个工厂，由于用电紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电（选哪一天是等可能的）.假定工厂之间的选择互不影响.（Ⅰ）求5个工厂均选择星期日停电的概率；（Ⅱ）求至少有两个工厂选择同一天停电的概率.（21）（本题满分12分）已知a为实数，))(4()(2axxxf（Ⅰ）求导数)(xf；（Ⅱ）若0)1(f，求)(xf在[--2，2]上的最大值和最小值；（Ⅲ）若)(xf在（—∞，—2]和[2，+∞）上都是递增的，求a的取值范围.（22）（本题满分14分）解：已知双曲线的中心在原点，右顶点为A（1，0）.点P、Q在双曲线的右支上，点M（m,0）到直线AP的距离为1.（Ⅰ）若直线AP的斜率为k，且]3,33[k，求实数m的取值范围；（Ⅱ）当12m时，ΔAPQ的内心恰好是点M，求此双曲线的方程.高考数学高等学校招生全国统一考试36参考答案一选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分.（1）B（2）A（3）B（4）A（5）A（6）C（7）C（8）B（9）D（10）D（11）D（12）B二.填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)（13）1,（14）–4（15）5（16）5三.解答题（17）解:(Ⅰ)由)1(3111aS,得)1(3111aa∴1a21又)1(3122aS,即)1(31221aaa,得412a.(Ⅱ)当n1时,),1(31)1(3111nnnnnaaSSa得,211nnaa所以na是首项为21,公比为21的等比数列.（18）解:(Ⅰ)ACB2cos2sin2=)1cos2()]cos(1[212ACB=)1cos2()cos1(212AA=)192()311(21=91(Ⅱ)∵31cos2222Abcacb∴2222232abcacbbc,又∵3a∴.49bc当且仅当b=c=23时,bc=49,故bc的最大值是49.（19）(满分12分)方法一解:(Ⅰ)设AC∩BD=0，连结OE，∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，∴四边形AOEM是平行四边形，∴AM∥OE.∵OE平面BDE，AM平面BDE，∴AM∥平面BDE.(Ⅱ)∵BD⊥AC，BD⊥AF，且AC交AF于A，∴BD⊥平面AE，又因为AM平面AE，∴BD⊥AM.∴AD=2,AF=1,OA=1,∴AOMF是正方形，∴AM⊥OF，又AM⊥BD，且OF∩BD=0∴AM⊥平面BDF.（Ⅲ）设AM∩OF=H，过H作HG⊥DF于G，连结AG，由三垂线定理得AG⊥DF，∴∠AGH是二面角A—DF—B的平面角.6060,23sin,36,22的大小为二面角BDFAAGHAGHAGAH方法二（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系.设NBDAC，连接NE，则点N、E的坐标分别是（)0,22,22、（0,0,1）,∴NE=()1,22,22,又点A、M的坐标分别是（)0,2,2(）、（)1,22,22.∴AM=（)1,22,22∴NE=AM且NE与AM不共线，∴NE∥AM.又∵NE平面BDE，AM平面BDE，∴AM∥平面BDF.（Ⅱ）),1,22,22(AM.,,.,0),1,2,0(),1,2,2(),0,0,2(BDFAMFBFDFBFAMDFAMDFAMDFFD平面又同理所以（Ⅲ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∩AD=A，∴AB⊥平面ADF.,,0)1,22,22()1,22,22(,0)0,2,2()1,22,22(.)0,0,2(NFNEDBNENFNEDBNEDAFAB得的法向量为平面6060.21,cos.的大小是即所求二面角的夹角是与的法向量为平面BDFANEABNEABBDFNE（20）解:(Ⅰ)设5个工厂均选择星期日停电的事件为A,则16807171)(5AP.(Ⅱ)设5个工厂选择的停电时间各不相同的事件为B,则.24013607345677)(5557ABP因为至少有两个工厂选择同一天停电的事件是B,所以.2401204124013601)(1)(BPBP(12分)（21）解:(Ⅰ)由原式得,44)(23axaxxxf∴.423)(2axxxf(Ⅱ)由0)1(f得21a,此时有43)(),21)(4()(22xxxfxxxf.由0)1(f得34x或x=-1,又,0)2(,0)2(,29)1(,2750)34(ffff所以f(x)在[--2,2]上的最大值为,29最小值为.2750(Ⅲ)解法一:423)(2axxxf的图象为开口向上且过点(0,--4)的抛物线,由条件得,0)2(,0)2(ff即084.048aa∴--2≤a≤2.所以a的取值范围为[--2,2].解法二:令0)(xf即,04232axx由求根公式得:)(3122122,1xxaax所以.423)(2axxxf在1,x和,2x上非负.由题意可知,当x≤-2或x≥2时,)(xf≥0,从而x1≥-2,x2≤2,即6122.6122aaaa解不等式组得:--2≤a≤2.∴a的取值范围是[--2,2].（22）(满分14分)解:(Ⅰ)由条件得直线AP的方程),1(xky(),0k即0kykx.又因为点M到直线AP的距离为1,所以,112kkmk得221111kkkm.∵],3,33[k∴332≤1m≤2,解得332+1≤m≤3或--1≤m≤1--332.∴m的取值范围是m].3,1332[]3321,1[(Ⅱ)可设双曲线方程为),0(1222bbyx由),0,1(),0,12(AM得2AM.又因为M是ΔAPQ的内心,M到AP的距离为1,所以∠MAP=45º,直线AM是∠PAQ的角平分线,且M到AQ、PQ的距离均为1.因此，1,1AQAPkk（不妨设P在第一象限）直线PQ方程为22x.直线AP的方程y=x-1,∴解得P的坐标是（2+2，1+2），将P点坐标代入1222byx得，32122b所以所求双曲线方程为,112)32(22yx即.1)122(22yx