高考复习第二轮专题复习复合函数的导数(二)

复合函数的导数(二)目的要求:1.掌握复合函数的求导法则.2.会用复合函数的求导法则解决一些简单的问题.教学过程:1.复合求导法则让学生回答复合函数定义,求导法则,求导步骤.本节将在应用中熟练掌握复合函数的求导.3.应用求导法则(1)应用之一：对复合函数式求导例2求下列函数的导数:(1)y=4)31(1x;(2)y=sinx2;(3)y=cos(3x-6x);(4)y=21x请学生上台完成.答案:(1)5)31(12x;(2)2xcosx2;(3)-3sin(3x-6x);(4)21xx注:这里有分式型,根式型,三角函数型的复合函数求导.师生一起评议.可表扬四位学生完成得较好.接着提请注意,熟练后可省写步骤,并作示范.如,解(1)可表达为y'x=431x=-4(1-3x)5.(-3)=12(1-3x)5这里最后结果可写负指数或分数指数。出示教科书例3并讲解。其中对u=xx1求u'x，可让学生在草稿上完成。此处，教师可作如下指导：方法一按商的求导法则求导。方法二先化为u=-1+x11，即u=-1+v1，v=1-x，按复合函数求导。（2）应用之二解简单的应用问题增例当nN*时，求证：C1n+2C2n+nC3n+……+nCnn=n21n.引导学生分析，联想到二项展开式（1+x）n=C0n+C1nX+C2nX2+……+CnnXn.(*)对比展开式通项Cknxk与待证和式通项kCkn,可决定对(*)式求导并赋值x=1证得.视学生水平由教师讲解或学生完全证明.证明:由(1+x)n=C0n+C1nx+C2nx2+……+Cnnxn,两边对x求导,得n(1+x)1n﹒1=0+C1n+22Cnx+……+nCnnx1n,令x=1,得n﹒21n=C1n+2C2n+……+nCnn.注:应向学生讲清(1+x)n是作为复合函数对x求导的.对此题在思考.在排列,组合和概率一章中,我们用的证法是倒序相加法,通项变换法,不妨重温一下.方法一倒序相加法令Sn=C1n+2C2n+……+(n-1)n1nn+nCnn(1)式右边倒序,写为nS=nnnC+（n-1）1nnC+（n-2）2nnC+……+1nC注意到组合数性质rnC=rnnC(r=1,2,3,……,n)(2)式可改写为nS=n0nC+(n-1)1nC+(n-2)2nC+……+1nnC将(1)﹑(3)两式相加(注意错位)得2nS=n(0nC+1nC+2nC+……+1nnC+nnC)即2Sn=n2nSn=n21n即C1n+2C2n+……+nCnn=n21n方法二通项变化法kknC=k)!(!!knkn=n)1()1()!1()!1(knkn=n11knC即kknC=n11knC在这一等式中顺次取k=1，2……,n,并相加得C1n+2C2n+……+nCnn=nC01n+nC11n+……+nC11nn=n(C01n+C11n+……+C11nn)=n21n3.反馈练习学生完成教科书练习第1,2题4.课堂小结由y=f(u),u=(x)可得复合函数y=fx.关于复合函数的导数,要理解法则,掌握步骤,善于应用.(1)法则y＇X=y＇U·u＇X(2)步骤分解---求导---回代(熟练后可省写步骤)(3)应用能对复合函数求导;能解有关的应用问题布置作业教科书习题3,4第2(3)(4),3题.研究题已知曲线y=2400x+53(100-x)(0100x)在点M处有水平切线,求点M的坐标.略解:易得y＇=2400xx_53.令y＇=0,解得x=15.点M的坐标是(15,76).