高二月考数学试题

高二月考数学试题总分150分一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．关于频率分布直方图，下列有关说法正确的是（D）A．直方图的高表示取某数的频率。B．直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率。C．直方图的高表示取某组上的个体在样本中出现的频数与组距的比值。D．直方图的高表示取该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值。2．下列说法错误．．的是(C)A．命题“若0232xx则1x”的逆否命题为：“若1x,则0232xx”。B．“1x”是“0232xx”的充分不必要条件。C．若pq且为假命题，则p．q均为假命题。D．对于命题p：xR，使得210xx.则p：xR，均有210xx。3．若函数f（x）=2x2－1的图象两点（1，1）及（1+Δx，1+Δy），则xy等于（C）A．4B．4xC．4+2ΔxD．4+2Δx23．已知点A(1,2,11)，B(4,2,3)，C(6,1,4)，则△ABC的形状是（C）A．等腰三角形B．正三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形4．椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是（D）A．855B．455C．833D．4335．曲线y=x3－3x2+1在点（1，－1）处的切线方程为（A）A．y=－3x+2B．y=3x－4C．y=－4x+3D．y=4x－55．已知四面体ABCD中，AB，AC，AD两两互相垂直，给出下列命题：①ABCDACBDADBC；②2222|ABACAD||AB||AC||AD|；则下列关于以上两个命题的真假性判断正确的是（A）A．①真②真B．①假②真C．①假②假D．①假②真6．已知动点P（x,y）到点（1，2）的距离等于到直线3x+4y-11=0的距离，则P点的轨迹是（A）A．直线B．抛物线C．双曲线D．椭圆7．若抛物线22ypx的焦点与椭圆22162xy的右焦点重合，则p的值为（B）A．2B．4C．2D．48．过点(0,1)作直线，使它与抛物线xy42仅有一个公共点，这样的直线有（C）A.1条B.2条C.3条D.0条9．双曲线的渐近线方程为3yx4，则双曲线的离心率为（D）A．53B．54C．52或153D．5534或10．下面有三个游戏规则，袋子中分别装有球，从袋中无放回地取球，问其中不公平的游戏是（D）游戏1游戏2游戏33个黑球和一个白球一个黑球和一个白球2个黑球和2个白球取1个球，再取1个球取1个球取1个球，再取1个球取出的两个球同色→甲胜取出的球是黑球→甲胜取出的两个球同色→甲胜取出的两个球不同色→乙胜取出的球是白球→乙胜取出的两个球不同色→乙胜A.游戏1和游戏3B.游戏1C.游戏2D.游戏3二．填空题（本大共6小题，每小题6分，共36分）11．写出命题：“Rx，使23x=0”的否定3R,x+20x使。12．下列程序：Read1SForIfrom1to5step2ISSSprintSEndforEnd输出的结果S是2，8，48。13．一动点到y轴的距离比到点(2，0)的距离小2，这个动点的轨迹方程是_______答案：y2=8x或y=0（x0）14．设函数f（x）=（x－a）（x－b）（x－c）（a．b．c是两两不等的常数），则)(afa+)(bfb+)(cfc=___0__。解析：∵f（x）=x3－（a+b+c）x2+（ab+bc+ca）x－abc，∴f（x）=3x2－2（a+b+c）x+ab+bc+ca.又f（a）=（a－b）（a－c），同理f（b）=（b－a）（b－c），f（c）=（c－a）（c－b）.代入原式中得值为0.14．已知实数,xy满足222(1)4xyx，则222211xyxy4。15．若双曲线122yx的右支上一点P（a,b）直线y=x的距离为2，则a+b的值是2116.为了科学地比较考试的成绩，有些选拔性考试常常将考试分数转化为标准分，转化关系式为sxxZ（其中x是某位学生的考试分数，x是该次考试的平均分，s是该次考试的标准差，Z称为这位学生的标准分），转化成标准分后可能出现小数或负数，因此，又常常再将Z分数作线性变换转化成其他分数。例如某次学业选拔考试采用的是T分数，线性变换公式是：6040ZT，已知在这次考试中某位考生的考试分数是85，这次考试的平均分是70，标准差是25，则该考生的T分数为_______84_____.三．解答题（本大题共6小题．共74分，解答给出文字说明，演算步骤）17．（本小题满分14分）已知60AOB，2OA，5OB，根据下列条件求AOC为钝角三角形的概率：⑴在线段OB上任取一点C；⑵过点A任作一直线与直线OB交于点C。解:(1)52;(2)32.18．（本小题满分14分）已知抛物线C：y2=4x动直线L：y=k（x+1）与抛物线C交于A、B两点，O为原点①求证：OAOB定值；②求满足OBOAOM的点M的轨迹方程。19．（本小题满分14分）求下列函数的导数：（1）y=x2sinx；（2）y=1e1exx；解:（1）y′=（x2）′sinx＋x2（sinx）′=2xsinx＋x2cosx.（2）y′=2)1e()1e)(1e()1e()1e(xxxxx=2)1(ee2xx.19．（本小题满分14分）用向量法求解下列问题．．．．．．．．．．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=BC=AA1，∠ACB=90°，E、F分别是AB、BC的中点，G是AA1上的点.⑴如果1ACEG，试确定点G的位置；⑵在满足条件（Ⅰ）的情况下，试求1cos,ACGF的值。19．解：⑴以C为原点，zCCyCAxCB为轴为轴为1,,轴建立空间AC1B1GFECBA1CBO直角坐标系.设AC=2，则C（0，0，0），A（0，2，0），C1（0，0，2）E（1，1，0）设).,1,1(),2,2,0(),,2,0(1hEGAChG则由1100(1)(2)1201,ACEGACEGhh即点G为1AA的中点。⑵(1,0,0),(1,2,1)FGF..636222||||,cosGFACGFACGFAC20.（本小题满分16分）如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O，且0ACBC，BC＝2AC．（I）建立适当的坐标系，求椭圆方程；（II）如果椭圆上有两点P、Q，使∠PCQ的平分线垂直于AO，证明：存在实数λ，使PQAB．解：（I）以O为原点，OA为X轴建立直角坐标系，设A（2，0），则椭圆方程为22214xyb∵O为椭圆中心，∴由对称性知|OC|＝|OB|又∵0ACBC，∴AC⊥BC又∵|BC|＝2|AC|∴|OC|＝|AC|∴△AOC为等腰直角三角形∴点C的坐标为（1，1）∴点B的坐标为（－1，－1）将C的坐标（1，1）代入椭圆方程得243b，则求得椭圆方程为223144xy（II）由于∠PCQ的平分线垂直于OA（即垂直于x轴），不妨设PC的斜率为k，则QC的斜率为－k，因此PC、QC的直线方程分别为y＝k（x－1）+1，y＝－k（x－1）+1由22(1)13144ykxxy得（1＋3k2）x2－6k（k－1）x＋3k2－6k－1＝0*）A∵点C（1，1）在椭圆上，∴x＝1是方程（*）的一个根，∴xP•1＝2236131kkk即xP＝2236131kkk同理xQ＝2236131kkk∴直线PQ的斜率为2222(31)2()213112331PQPQPQPQkkkyykxxkkkxxxxk（定值）又∠ACB的平分线也垂直于OA∴直线PQ与AB的斜率相等（∵kAB=13）∴向量//PQAB，即总存在实数，使PQAB成立．21.（本小题满分16分）已知椭圆C：22ax＋22by＝1（a＞b＞0），两个焦点分别为F1和F2，斜率为k的直线l过右焦点F2且与椭圆交于A．B两点，设l与y轴交点为P，线段PF2的中点恰为B。（1）若｜k｜≤552，求椭圆C的离心率的取值范围；（2）若k=552，A．B到右准线距离之和为59，求椭圆C的方程。解：（1）设右焦点F2（c，0），则l：y=k（x－c）.令x=0，则y=－ck，∴P（0，－ck）。∵B为F2P的中点，∴B（2c，－2ck）。∵B在椭圆上，∴224ac＋2224bkc＝1。∴k2＝224cb·22244aca＝（21e－1）（4－e2）＝24e＋e2－5。∵｜k｜≤552，∴24e＋e2－5≤54.∴（5e2－4）（e2－5）≤0。∴54≤e2＜1.∴552≤e＜1．（2）k＝552，∴e＝552.∴22ac＝54.∴a2＝45c2，b2＝41c2.椭圆方程为2245cx＋2241cy＝1，即x2＋5y2＝45c2．直线l方程为y=552（x－c），B（2c，－55c），右准线为x=45c.设A（x0，y0），则（45c－x0）＋（45c－2c）＝59，∴x0＝2c－59，y0＝552（c－59）.∵A在椭圆上，∴（2c－59）2＋5［55（c－59）］2＝54c2.解之得c=2或c＝56（不合题意，舍去）.∴椭圆方程为x2＋5y2＝5，即52x＋y2＝1．第III卷（理科附加题）（第1、2、3、4题每题6分，第5题16分共40分）1．在直角坐标系中，方程02312yxxyx所表示的曲线为（D）A．一条直线和一个圆B．一条线段和一个圆C．一条直线和半个圆D．一条线段和半个圆2．双曲线x2－y2＝1的左焦点为F，点P为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF的斜率的变化范围是A．（－∞，0）B．（1，＋∞）C．（－∞，0）∪（1，+∞）D．（－∞，－1）∪（1，＋∞）解析：数形结合法，与渐近线斜率比较。答案：C3．已知实数x，y满足3x2+2y2=6x，则x2+y2的最大值是4。4．过双曲线x2－122y的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，且4AB，则这样的直线有3条。5．如图，ADB为半圆,AB为半圆直径,O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q为线段OD的中点,已知AB=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动，且保持PA+PB的值不变。(1)建立适当的坐标系，求曲线C的方程。(2)过D点的直线L与曲线C相交于不同的两点M,N，求△OMN面积的最大值。AOBDQ(3)若过D的直线L与曲线C相交于不同两点M,N,且M在D,N之间,设DNDM，求λ的取值范围.解：以AB、OD所在直线分别为x轴，y轴，O为原点，建立直角坐标系，∵AB=4∴A(-2,0)B(2,0),D(0,2)∴PA+PB=QA+QB=25AB=4∴曲线C为以O为中心，A,B为焦点的椭圆,设其长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c,则2a=25,2c=4,∴a=5,c=2,b=1∴曲线C方程为1522yx(2)设直线L的方程为y=kx+2,代入曲线C的方程得(1+5k2)x2+20kx+15=0,设M(x1,y1),N(x2,y2)则△=(20k)2-4(1+5k2)·150①x1+x2=25120kkx1·x2=25115k由①得k23/5点O到直线MN的距离d=212k弦MN的长MN=21kx1-x2=21k212214)(xxxx=21k225160100kk∴S△OMN=21MN·d=2121k·225160100kk·212k=225115252kk设mk15252∵k2=53∴m0则k2=25152m∴S△OMN=20102mm≤mm20210=25当且仅当m=20/m即m=52时等号成立，此时k2=57∴△OMN的