高二数学下学期同步测试(5)

2004－2005学年度下学期高中学生学科素质训练高二数学同步测试（5）—球YCY本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分.第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．①当平面到球心的距离小于球半径时，球面与平面的交线总是一个圆；②过球面上两点只能作一个球大圆；③过空间四点总能作一个球；④球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径.以上四个命题中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个2．若球的大圆的面积扩大为原来的3倍，则它的体积扩大为原来的（）A．3倍B．27倍C．33倍D．33倍3．球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过这3个点的小圆的周长为4Л，那么这个球的半径为（）A．43B．23C．2D．34．长方体一个顶点上三条棱的长分别为3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是（）A．202πB．252πC．50πD．200π5．在棱长为a的正方体内有一个内切球，过正方体中两条互为异面直线的棱的中点作直线，该直线被球面截在球内的线段长为（）A．14aB．12aC．22aD．(21)a6．半径为R的两个球，一个球的球心在另一个球的球面上，则两球的交线圆的周长为（）A．R23B．R3C．RD．2R7．过正三棱锥一侧棱及其外接球的球心O所作截面如图所示，则它的侧面三角形的顶角为（）A．60°B．90°C．120°D．arccos148．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为323，则三棱柱的体积为（）A．963B．163C．243D．4839．若地球半径为R，在北纬45°圈上有A、B两点，且这两点间的球面距离为3R，则北纬45°圈所在平面与过A、B两点的球的大圆面所成的二面角的余弦值为（）A．32B．33C．34D．23510．如图，水平地面上有一个大球，现有如下方法测量球的大小，用一个锐角为45°的三角板，斜边紧靠球面，一条直角边紧靠地面，并使三角板与地面垂直，如果测得PA＝5cm，则球的表面积为（）A．100πcm2B．100(3＋22)πcm2C．100(3－22)πcm2D．200πcm2第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题满分24分，每小题6分，各题只要求直接写出结果．11．一个平面和一个球相切于A点，从球面上一点B作该平面的垂线BC，垂足是C，若AC＝4，BC＝3，则此球的半径是．12．在120°的二面角内放一个半径为5的球，分别切两个半平面于点A、B，那么这两个切点A、B在球面上的最短距离是．13．已知球内接正方体的表面积为S，则球体积等于.14．用底面半径2R的圆柱形铁罐做一种半径为R的球型产品的外包装，一听4个，铁罐的高度至少应为．三、解答题：本大题满分76分．15．（12分）如果球、正方体与等边圆柱（底面直径与母线相等）的体积相等，求它们的表面积圆柱正方体球，，SSS的大小关系．16．（12分）A、B、C是半径为1的球面上三点，B、C间的球面距离为3，点A与B、C两点间的球面距离均为2，且球心为O，求：①∠AOB，∠BOC的大小；②球心到截面ABC的距离；③球的内接正方体的表面积与球面积之比．17．（12分）圆锥的内切半球的大圆在圆锥底面上，已知圆锥的全面积与半球的面积之比为18：5，如图，求圆锥的底面半径与母线长之比．18．（12分）如图，球面上有四个点P、A、B、C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，求这个球的表面积．19．（14分）如图,半球内有一内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的一边长为6，求半球的表面积和体积．20．（14分）设棱锥M－ABCD的底面是正方形，且MA＝MD，MA⊥AB，如图，△AMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径．参考答案（五）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号12345678910答案CCBCCBDDBB二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．62512．3513．242ss14．2R三、解答题（本大题共6题，共76分）15．(12分)解：设球的半径为R、正方体的棱长为a,等边圆柱的底面半径为r,且它们的体积都为V,则：333234raRV,,433VR,Va332Vr．32323232V636V6S,V364V34S正表球表3232325422222VVVS圆柱表,正方体表圆柱表球表SSS．16．(12分)解：①∵球面距离r（θ为劣弧所对圆心角）,故易得∠AOB=2，∠BOC=3，∠AOC=2②∵OA=OB=OC=1∴AB=AC=2，BC=1,∴S⊿OBC=43，S⊿ABC=47V0-ABC=3143·1=3147·d∴d=721③设球的内接正方体棱长为a则3a=2∴a=332,S正方体∶S球面=6·2)332(∶4Л=2∶Л17．(12分)解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，球半径为R，作圆锥的轴截面SAB，E、F为切点，6561,05)(36)(36536365182,2,:,053636,5182)(,.,22222222222222222222或即由题意即故即中在半球圆锥全面积lrlrlralrlrRrlrRSrlrSlrlrRrlrrllrRlRrrASAEAOASOEAOSRt18．(12分)解:设过A、B、C三点的球的截面圆半径为r，圆心为O′，球心到该圆面的距离为d。在三棱锥P—ABC中，∵PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a,∴AB=BC=CA=2a,且P在△ABC内的射影即是△ABC的中心O′.由正弦定理，得60sin2a=2r,∴r=36a.又根据球的截面的性质，有OO′⊥平面ABC，而PO′⊥平面ABC，∴P、O、O′共线，球的半径R=22dr。又PO′=22rPA=2232aa=33a，∴OO′=R－33a=d=22rR,(R－33a)2=R2–(36a)2，解得R=23a,∴S球=4πR2=3πa2.19．（14分）解:设球的半径为r,过正方体与半球底面垂直的对角面作截面α，则α截半球面得半圆，α截正方体得一矩形，且矩形内接于半圆，如图所示，则矩形一边长为6，另一边长为2·6=23，∴r2=(6)2+(3)2=9，∴r=3，故S半球=2πr2+πr2=27π，V半球=32πr3=18π，即半球的表面积为27π，体积为18π.20．(14分)解：如图，∵AB⊥AD，AB⊥MA∴AB⊥平面MAD,设E、F分别为AD、BC的中点，则EF∥AB∴EF⊥平面MAD,∴EF⊥ME设球O是与平面MAD、平面ABCD、平面MBC都相切的球，由对称性可设O为△MEF的内心，则球O的半径r满足：r＝2S△MEFME＋EF＋MF设AD＝EF＝a，∵S△MAD＝1,∴ME＝2a，MF＝a2＋(2a)2∴r＝2a＋2a＋a2＋(2a)2≤222＋2＝2－1,且当a＝2a，即a＝2时，上式等号成立∴当AD＝ME＝2时，与平面MAD、平面ABCD、平面MBC都相切的球的最大半径为2－1．再作OG⊥ME于G，过G作GH⊥MA于H，易证OG∥平面MABFEGHOABCDM∴G到平面MAB的距离就是球心O到平面MAB的距离,∵△MGH∽△MAE，∴GHAE＝MGMA，其中MG＝2－(2－1)＝1，AE＝22，MA＝(22)2＋(2)2＝102∴HG＝MG·AEMA＝55,∵55＞2－1∴点O到平面MAB的距离大于球O的半径,同样，点O到平面MCD的距离大于球O的半径∴球O在棱锥M－ABCD中，且不可能再大，因而所求的最大球的半径为2－1．