高二数学下学期同步测试(4)

2004－2005学年度下学期高中学生学科素质训练高二数学同步测试（4）—简单几何体YCY本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分.第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．一个棱柱为正四棱柱的条件是（）A．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面B．底面是正方形，有两个侧面是矩形C．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直D．每个底面是全等的矩形2．下列命题中正确的一个是（）A．四棱柱是平行六面体B．直平行六面体是长方体C．底面是矩形的四棱柱是长方体D．六个面都是矩形的六面体是长方体3．在底面边长与侧棱长均为a的正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知M为A1B1的中点，则M到BC的距离是（）A．419aB．215aC．25aD．27a4．若四棱锥的四个侧面与底面所成的角都相等，则其底面四边形必是（）A．矩形B．菱形C．圆外切四边形D．圆内接四边形5．三棱柱的底是边长为4的正三角形,侧棱长为8，一条侧棱和底面的两边成45°角，则这三棱柱的侧面面积为（）A．322B．4（2+1）C．16（2+1）D．32（2+1）6．如图代表未折叠正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后，图形是（）ABCD7．正三棱锥S－ABC的高SO＝h，斜高SM＝l,点P在SO上且分SO所成的比是1：2，则过P点且平行于底面的截面面积是（）A．33(l2－h2)B．433(l2－h2)C．3(l2－h2)D．233(l2－h2)8．将一个边长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了（）A．26aB．12a2C．18a2D．24a29．两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被分成的三部分的体积的比是（）A．1∶2∶3B．1∶7∶19C．3∶4∶5D．1∶9∶2710．设正多面体的每个面都是正n边形，以每个顶点为端点的棱有m条，棱数是E，面数是F，则它们之间的关系不正确的是（）A．nF=2EB．mV=2EC．V+F=E+2D．mF=2E第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题满分24分，每小题6分，各题只要求直接写出结果．11．长方体高为ｈ，底面积为Ｑ，垂直于底面的对角面面积为Ｍ，则长方体的全面积为．12．直三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1与CC1上的点，且AP=C1Q，则四棱锥B－APQC的体积=．13．已知正四棱锥S－ABCD的侧面与底面所成的角为60°，过边BC的截面垂直于平面ASD，交平面ASD于EF，则二面角S－BC－E的平面角为．14．矩形ABCD的边长分别为a，b(a2b)，E是DC的中点，把矩形沿AE、BE折成一个三棱锥的三个侧面(C、D重合)，则最大的侧面与底面所成的二面角的正弦值是．三、解答题：本大题满分76分．15．（12分）在棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两两成60°角，PA=a，PB=b，PC=c，求三棱锥P—ABC的体积.16．（12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，ABC＝60，PC⊥平面ABCD，PC＝1，E为PA的中点．（1）求证：平面EDB⊥平面ABCD；（2）求二面角A－EB－D的正切值；（3）求点E到平面PBC的距离．17．（12分）正三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=2AB，D、E分别是侧棱BB1、CC1上的点，且EC=BC=2BD，过A、D、E作一截面，求：（1）截面与底面所成的角；（2）截面将三棱柱分成两部分的体积之比.18．（12分）C70分子是与C60分子类似的球状多面体结构，它有70个顶点，以每个顶点为一端都有3条棱，各面都是五边形或六边形。求C70分子中五边形和六边形的个数．19．（14分）斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，顶点A1在底面的射影O是△ABC的中心，异面直线AB与CC1所成的角为45°.（1）求证：AA1⊥平面A1BC；（2）求二面角A1－BC—A的平面角的正弦值；（3）求这个斜三棱柱的体积.20．（14分）如图，四棱锥ABCDS的底面ABCD是直角梯形，已知SD垂直底面ABCD，且90BCDADC，ADCDBC2．（1）求证：平面SBC平面SCD；（2）若E为侧棱SB上的一点，当SBSE为何值时，//AE平面SCD，证明你的结论；（3）若ABSA，求二面角DSBC的大小．参考答案（四）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号12345678910答案CDACDBABBD二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．)2(222QhMQ12．3V13．30°14．442baa三、解答题（本大题共6题，共76分）15．(12分)解：如图，设顶点A在平面PBC上的射影为O，连结PO，由题知PA、PB、PC两两成60°角，∴PO是∠BPC的平分线，在平面PBC上，过O作OE⊥PB，FMOEPDCBAABCA1B1C1OD连结AE，则AE⊥PBEPOAPOPAEPOPOPEPOERtAPOPAPOPAORtcoscoscos,,cos,中在中在EPOAPOAPEAPEPAPEPOERtcoscoscos,cos,中在,36sin,33cos,30,60APOAPOEPOAPE.4360sin21,36,bcbcSaAOaPABPCabcAOSVPBCABCP1223116．(12分)(1)证明：连结AC交BD于O，连EO∵O是AC中点，E是PA中点∴EO∥PC∵PC⊥平面ABCD，∴PC⊥AO，PC⊥BO∴EO⊥AO，EO⊥BO∴EO⊥平面ABCD∵EO平面EDB∴平面EDB⊥平面ABCD．(2)解：∵平面EDB⊥平面ABCD，交线为BD，又AO⊥BD∴AO⊥平面EDB过O作OM⊥BE于M，连AM，则AM⊥BE∴AMO为二面角A－BE－D的平面角在Rt△EOB中，OB＝32，EO＝12PC＝12∴EB＝1∵12BE×OM＝12OE×OB∴OM＝OE×OBBE＝34∵在Rt△AOM中，OA＝12∴tanAMO＝1234＝233．(3)解：∵EO∥PC，PC平面PBC，∴EO∥平面PBC∴E到平面PBC的距离就是O到平面PBC的距离∵平面PBC⊥平面ABCD交线为BC，过O作OF⊥BC于F∴OF⊥平面PBC，OF即为所求∵菱形ABCD中，ABC＝60∴OF＝OB·sinOBF＝32×12＝34即点E到平面PBC的距离为34．17．(12分)解（1）延长ED交CB延长线于F，120.,21,//ABFABBCFBECBDECDB又EACAEAFAFACAFAAFACBFABAF,,,.90,30为截面与底面所成二面角的平面角.在Rt△AEC中，EC=AC，故得∠EAC=45°.（2）设AB=a，则38331,,21,2aShVaECaBDaAABCEDBCEDA，332833,23243aVaaaAASVCBAADEABCABCCBA.38383333aaSVBCDEACBAADE18．(12分)解：设有x个五边形和有y个六边形，则F=x+y,V=70,E=2),65(21EFVyx2)65(2170),703(21)65(21{yxyxyx1225{xy答：略。19．（14分）由已知可得A1-ABC为正三棱锥，∠A1AB=45°∴∠AA1B=∠AA1C=90°即AA1⊥A1B,AA1⊥A1C∴AA1⊥平面A1BCEDC1B1A1CBASBCDHOFEDCBASGEDCBAS（1）连AO并延长交BC于D,则AD⊥BC，连A1D,则∠ADA1为所求的角.由已知可得AD＝Absin60°＝3,AA1=Absin45°=2,∴sin∠ADA1=AA1AD=63（2）在Rt△AA1D中，A1D=AD2-AA12=1∴A1O=AA1·A1DAD=63∴V柱＝S△ABC·A1O=12·4·sin60°·63=2.20．(14分)证明：（１）SD平面ABCD，BCSD.又CDBC，故BC平面SCD，BC平面SBC，故平面SBC平面SCD.（2）21SBSE时，AE//平面SCD.法一：取SB的中点E，BC的中点F，连结AF，则AF//CD，EF//SC.故EF//平面SCD，AF//平面SCD；平面AEF//平面SCD.而AE平面AEF，AE//平面SCD法二：取SB、SC的中点分别为E、G，连结EG、DG.则GE//BC，GE=21BC，又AD//BC，AD=21BC，故AD//GE且AD=GE.于是四边形AEGD为平行四边形。故AE//DG，又DG平面SCD，故AE//平面SCD.（3）作COBD于O，又SD平面BCD，故SDCO，从而CO平面SBD，作CHSB于H，连结OH，则OH为CH在平面SBD上的射影，故OHSB，CHO为二面角C－ＳＢ－Ｄ的平面角.设AD=a，则BC=CD=2a于是SA=AB=5a，故SD=22ADSA=2a则CO=2a则CH=aaaaSBSCBC36232222而sinCHO236322aaCHCO故CHO60二面角C－SB－D为60另解：……三角形SBO是三角形SBC在平面SBD上的射影.设二面角C－SB－D的平面角为则cos=212222122212121'aaaaBCSCBOSDSSSBCSBO,故=60