高二数学同步测试(10)—圆锥曲线综合应用及光学性质

高中学生学科素质训练高二数学同步测试（10）—圆锥曲线综合应用及光学性质共150分，考试用时120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．二次曲线1422myx，]1,2[m时，该曲线的离心率e的取值范围是（）A．]23,22[B．]25,23[C．]26,25[D．]26,23[2．我国发射的“神舟3号”宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心2F为一个焦点的椭圆，近地点A距地面为m千米，远地点B距地面为n千米，地球半径为R千米，则飞船运行轨道的短轴长为（）A．))((2RnRmB．))((RnRmC．mnD．2mn3．已知椭圆125222yax)5(a的两个焦点为1F、2F，且8||21FF，弦AB过点1F，则△2ABF的周长为（）A．10B．20C．241D．4144．已知椭圆的中心在原点，离心率21e，且它的一个焦点与抛物线xy42的焦点重合，则此椭圆方程为（）A．13422yxB．16822yxC．1222yxD．1422yx5．设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围（）A．[－21，21]B．[－2，2]C．[－1，1]D．[－4，4]6．以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为2的双曲线方程是（）A．222yxB．222xyC．422yx或422xyD．222yx或222xy7．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是（）A．4aB．2()acC．2()acD．以上答案均有可能8．过双曲线822yx的右焦点F2有一条弦PQ，|PQ|=7,F1是左焦点，那么△F1PQ的周长为（）A．28B．2814C．2814D．289．已知椭圆22221(0)xyabab与双曲线22221(0,0)xymnmn有相同的焦点(,0)c和(,0)c.若c是,am的等比中项，2n是22m与2c的等差中项，则椭圆的离心率是（）A．12B．14C．22D．3310．过抛物线2yax(a0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p、q，则11pq等于（）A．2aB．12aC．4aD．4a11．如果椭圆193622yx的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（）A．02yxB．042yxC．01232yxD．082yx12．设P(x,y)(xy≠0)是曲线192522yx上的点，F1(－4,0)、F2(4,0),则（）A．|F1P|+|F2P|10B．|F1P|+|F2P|10C．|F1P|+|F2P|≥10D．|F1P|+|F2P|≤10二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．设中心在原点的椭圆与双曲线2222yx=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是.14．设P是曲线)1(42xy上的一个动点，则点P到点)1,0(的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为.15．与椭圆22143xy具有相同的离心率且过点（2，－3）的椭圆的标准方程是.16．设双曲线)0(12222babyax的半焦距为c，直线过（a，0）、（0，b）两点，已知原点到直线L的距离为c43，则双曲线的离心率为．三、解答题（本大题共6题，共74分）17．（本题满分10分）已知双曲线与椭圆125922yx共焦点，它们的离心率之和为514，求双曲线方程.18．（本题满分10分）、求两条渐近线为02yx且截直线03yx所得弦长为338的双曲线方程．19．（本题满分13分）．双曲线)0,1(12222babyax的焦距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（－1，0）到直线l的距离之和.54cs求双曲线的离心率e的取值范围.20．（本题满分13分）设椭圆1122ymx的两个焦点是)0,(1cF与)0(),0,(2ccF，且椭圆上存在一点P，使得直线1PF与2PF垂直.（1）求实数m的取值范围；（2）设L是相应于焦点2F的准线，直线2PF与L相交于点Q，若3222PFQF，求直线2PF的方程.21．（本题满分14分）．给定抛物线C：y2=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点．（Ⅰ）设l的斜率为1，求OA与OB的夹角的大小；（Ⅱ）设AFFB，若λ∈[4,9]，求l在y轴上截距的变化范围.．22．（本题满分14分）、抛物线有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线折射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线y2=2px(p＞0).一光源在点M(441,4)处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点P，折射后又射向抛物线上的点Q，再折射后，又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线l：2x－4y－17=0上的点N，再折射后又射回点M(如下图所示)（1）设P、Q两点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，证明：y1·y2=－p2；（2）求抛物线的方程；（3）试判断在抛物线上是否存在一点，使该点与点M关于PN所在的直线对称？若存在，请求出此点的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案（10）一．选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)题号123456789101112答案CADACDDCACDD7【解】⑴静放在点A的小球（小球的半径不计）从点A沿直线出发，经椭圆壁右顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2()ac，则选B；⑵静放在点A的小球（小球的半径不计）从点A沿直线出发，经椭圆壁左顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2()ac，则选C；⑶静放在点A的小球（小球的半径不计）从点A沿直线出发，经椭圆壁非左右顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是4a，则选A。于是三种情况均有可能，故选D。二．填空题（本大题有4小题,每小题4分,共16分）13．1222yx14.515.22186xy或223412525yx16.2三、解答题（本大题共6题，共74分）17．（本题满分10分）解:由于椭圆焦点为F(0,4),离心率为e=45,所以双曲线的焦点为F(0,4),离心率为2,从而c=4,a=2,b=23.所以求双曲线方程为:221412yx.18（本题满分10分）解:设双曲线方程为x2-4y2=.联立方程组得:22x-4y=30xy,消去y得，3x2－24x+(36+)=0设直线被双曲线截得的弦为AB，且A(11,xy),B(22,xy)，那么：1212283632412(36)0xxxx那么：|AB|=2221212368(12)83(1)[()4](11)(84)333kxxxx解得:=4,所以，所求双曲线方程是：2214xy．19．（本题满分13分）解：直线l的方程为1byax，即.0abaybx由点到直线的距离公式，且1a，得到点（1，0）到直线l的距离221)1(baabd，同理得到点（－1，0）到直线l的距离222)1(baabd.222221cabbaabdds由,542,54ccabcs得即.25222caca于是得.025254,2152422eeee即解不等式，得.5452e由于,01e所以e的取值范围是.525e20．（本题满分13分）本小题主要考查直线和椭圆的基本知识，以及综合分析和解题能力.解：（Ⅰ）由题设有.,0mcm设点P的坐标为),,(00yx由PF1⊥PF2，得,10000cxycxy化简得.2020myx①将①与112020ymx联立，解得.1,120220mymmx由.1,01,0220mmmxm得所以m的取值范围是1m.（Ⅱ）准线L的方程为.1mmx设点Q的坐标为),(11yx，则.11mmx.1||||00122xmmmmxccxPFQF②将mmx120代入②，化简得.111||||2222mmmmPFQF由题设32||||22PFQF，得3212mm，无解.将mmx120代入②，化简得.111||||2222mmmmPFQF由题设32||||22PFQF，得3212mm.解得m=2.从而2,22,2300cyx，得到PF2的方程).2)(23(xy21．（本题满分14分）本小题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及解析几何的基本方法、思想和综合解题能力．解：（Ⅰ）C的焦点为F（1，0），直线l的斜率为1，所以l的方程为.1xy将1xy代入方程xy42，并整理得.0162xx设),,(),,(2211yxByxA则有.1,62121xxxx.31)(2),(),(212121212211xxxxyyxxyxyxOBOA.41]16)(4[||||21212122222121xxxxxxyxyxOBOA.41143||||),cos(OBOAOBOAOBOA所以OBOA与夹角的大小为.41143arccos（Ⅱ）由题设AFFB得),,1(),1(1122yxyx即.1212),1(1yyxx由②得21222yy，∵,4,4222121xyxy∴.122xx③①②联立①、③解得2x，依题意有.0∴),2,(),2,(BB或又F（1，0），得直线l方程为),1(2)1()1(2)1(xyxy或当]9,4[时，l在方程y轴上的截距为,1212或由,121212可知12在[4，9]上是递减的，∴,431234,341243直线l在y轴上截距的变化范围为].34,43[]43,34[22．（本题满分14分）命题意图：对称问题是直线方程的又一个重要应用.本题是一道与物理中的光学知识相结合的综合性题目，考查了学生理解问题、分析问题、解决问题的能力。知识依托：韦达定理，点关于直线对称，直线关于直线对称，直线的点斜式方程，两点式方程.错解分析：在证明第(1)问题，注意讨论直线PQ的斜率不存在时.技巧与方法：点关于直线对称是解决第(2)、第(3)问的关键.(1)证明：由抛物线的光学性质及题意知光线PQ必过抛物线的焦点F(2p，0)，设直线PQ的方程为y=k(x－2p)①由①式得x=k1y+2p,将其代入抛物线方程y2=2px中，整理，得y2－kp2y－p2=0,由韦达定理，y1y2=－p2.当直线PQ的斜率角为90°时，将x=2p代入抛物线方程，得y=±p,同样得到y1·y2=－p2.(2)解：因为光线QN经直线l反射后又射向M点，所以直线MN与直线QN关于直线l对称，设点M(441，4)关于l的对称点为M′(x′,y′)，则017244244121214414yxxy解得1451yx直线QN的方程为y=－1,Q点的纵坐标y2=－1，由题设P点的纵坐标y1=4，且由(1)知：y1·y2=－p2,则4·(－1)=－p2,得p=2,故所求抛物线方程为y2=4x.(3)解：将y=4代入y2=4x,得x=4，故P点坐标为(4，4)将y=－1代入直线l的方程为2x－4y－17=0,得x=213,