高二上学期期中考试数学试卷(统编新教材)

高二上学期期中考试数学试卷（统编新教材）考试范围：第九章立体几何、第十章第一节分类计数原理与分步计数原理时量：120分钟权值：150分考试时间：一、选择题(把正确的答案填入答卷的表中，每小题5分，共计60分)1．经过空间任意三点作平面（）A．只有一个B．可作二个C．可作无数多个D．只有一个或有无数多个2．两条异面直线在同一平面中的射影是（）A．两条相交直线B．两平行直线C．两相交直线或平行直线D．两相交直线或平行直线或一点和一直线3．经过正棱锥S-ABC的高SO的中点且平行于底面的截面面积为1，则底面△ABC的面积为().A.1B.2C.2D.44．若a＝（2，1，1），b=(﹣１，x，1)且a⊥b，则x的值为()A．1B．-1C．2D．05．若a=(2,﹣3,3)，b=(1，0，0)，则ba,=()A．6B．4C．3D．26．设三点A（1，1，0），B（1，0，1），C（0，1，1），则△ABC的形状为()A．Rt△B．等边△C．等腰△D．等腰Rt△7．两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm，4cm，3cm，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是()A．cm77B．cm27C．cm55D．cm2108．已知A、B、C不共线，O为平面ABC外的一点，满足（）的点M、A、B、C共面．A．OCOBOAOM2B．OCOBOAOM2C．OCOBOAOM313131D．OCOBOAOM4131219．如图,正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等,如果E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于()(A)90°(B)60°(C)45°(D)30°10．已知α，β是平面，m，n是直线.下列命题中不．正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，α∩β=n，则m∥nC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m⊥α，m，则α⊥β11．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2，这个长方体对角线的长是（）A．B．C．6D．12．在正三棱柱所成的角的大小为与则若中BCABBBABCBAABC111111,2,（）A．60°（B）．90°（C）．105°（D）．75°二、填空题（把正确的答案填入答卷的表中，每小题4分，共计16分）13．已知：在空间四边形OABC中，OA⊥BC,OB⊥AC，则OC与AB的夹角为_______.14．如右图所示，用五种不同的颜色，给标有A、B、C、D、E的各部分涂色，每一部分只能涂一种颜色，且要求相邻部分所涂颜色不同，则不同的涂色方法共有_________种.15．已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为.OCBAABCDE16．如图,正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角,则异面直线AD与BF所成角的余弦值是郴州市三中高二期中考试数学试卷答卷题号一二三总分171819202122得分第一、二大题答题表题号123456789101112答案题号13141516答案三、解答题(共计74分)17．(12分)如图，已知长方体的长宽都是4cm，高为2cm．（1）求BC与''CA，'AA与'BC，DA'与'BC所成角的余弦值；（2）求'AA与BC，'AA与CD，'AA与'CC所成角的大小．18．(12分)若平面α内的直角△ABC的斜边AB=20,平面α外一点O到A、B、C三点距离都是25,求：点O到平面的距离．OCBAABCDABCD＇＇＇＇19．（12分）如图,在三棱锥S-ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC．DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SA＝AB,SB＝BC.求:二面角E-BD-C的度数。20．（12分）已知ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GC垂直于ABCD所在的平面,且GC＝2.求：（1）点B到平面EFG的距离.（2）二面角C-EF-G的度数．ABCDGEF21．(13分)如图四面体S－ABC中，SA,SB,SC两两垂直,∠SBA=45°,∠SBC=60°，M为AB中点，(1)求:AC与面SAB所成的角，(2)求:SC与平面ABC所成角的正弦值．ABCS22．(13分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的中点.(Ⅰ)证明AD⊥D1F;(Ⅱ)求AE与D1F所成的角;(Ⅲ)证明面AED⊥面A1FD1;11EDAF111VEDAF2AAIV的体积，求三棱锥设郴州市三中高二2004年上学期期中考试数学试卷答案一、选择题（每小题5分，共计60分)；二填空题（每小题4分，共计16分)题号123456789101112答案DDDACBCCCBDB题号13141516答案90°720342三、解答题(共计74分)17．(12分)解析：（1）22；55；53（2）90°；90°；0°OCBAABCDABCD＇＇＇＇18．（12分）解：由斜线相等，射影相等知，O在底面的射影为△ABC的外心Q，又△ABC为Rt△外心在斜边中点，故OQ=221025==52519．（12分）解法一:由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE,BE∩DE＝E,∴SC⊥面BDE,∴SC⊥BD.又∵SA⊥底面ABC,BD在底面ABC上,∴SA⊥BD.而SC∩SA＝S,∴BD⊥面SAC.∵DE＝面SAC∩面BDE,DC＝面SAC∩面BDC,∴BD⊥DE,BD⊥DC.∴∠EDC是所求的二面角的平面角.∵SA⊥底面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC.设SA＝a,又因为AB⊥BC,∴∠ACS＝30°.又已知DE⊥SC,所以∠EDC＝60°,即所求的二面角等于60°.解法二:由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE,BE∩DE＝E∴SC⊥面BDE,∴SC⊥BD.由于SA⊥底面ABC,且A是垂足,所以AC是SC在平面ABC上的射影.由三垂线定理的逆定理得BD⊥AC;又因E∈SC,AC是SC在平面ABC上的射影,所以E在平面ABC上的射影在AC上,由于D∈AC,所以DE在平面ABC上的射影也在AC上,根据三垂线定理又得BD⊥DE.∵DE面BDE,DC面BDC,∴∠EDC是所求的二面角的平面角.以下同解法一.解法三:利用用向量求解：略20．（12分）解法一:如图,连结EG、FG、EF、BD、AC.EF、BD分别交AC于H、O.因为ABCD是正方形,E、F分别为AB和AD的中点,故EF∥BD,H为AO的中点.BD不在平面EFG上.否则,平面EFG和平面ABCD重合,从而点G在平面的ABCD上,与题设矛盾.由直线和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG,所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离.∵BD⊥AC∴EF⊥HC.∵GC⊥平面ABCD,∴EF⊥GC,∴EF⊥平面HCG.∴平面EFG⊥平面HCG,HG是这两个垂直平面的交线.作OK⊥HG交HG于点K,由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG,所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离.解法二:利用用向量求解：略21．(13分)解：①60°；ABCDGEF②解法一:连SM，CM，∵∠SBA=45°∴SM⊥AB,又CS⊥AB,∴AB⊥面CSM．过S作CM的垂线SN，垂足为N，则SN⊥CM，SN⊥AB，∴SN⊥面ABC．∠SCN为所求的线面角，设SB=1则不难计算CS=3，SM=22，CM=27sin∠SCM=2722=77.解法二:利用用向量求解：略22．(13分)解法一:(Ⅰ)∵AC1是正方体,∴AD⊥面DC1.又D1F面DC1,∴AD⊥D1F.(Ⅱ)取AB中点G,连结A1G,FG.因为F是CD的中点,所以GF、AD平行且相等,又A1D1、AD平行且相等,所以GF、A1D1平行且相等,故GFD1A1是平行四边形,A1G∥D1F.设A1G与AE相交于点H,则∠AHA1是AE与D1F所成的角,因为E是BB1的中点,所以Rt△A1AG≌Rt△ABE,∠GA1A=∠GAH，从而∠AHA1=90°,即直线AE与D1F所成角为直角.(Ⅲ)由(Ⅰ)知AD⊥D1F,由(Ⅱ)知AE⊥D1F,又AD∩AE=A,所以D1F⊥面AED.又因为D1F面A1FD1,所以面AED⊥面A1FD1.(Ⅳ)连结GE,GD1.∵FG∥A1D1,∴FG∥面A1ED1,∵AA1=2,面积S△A1GE=S□ABB1A1-2S△A1AG--S△GBE=23又GEAFGFDAEEDAFVVV1111121FGSGEA13112233111EDAFV解法二:利用用向量求解解析：设正方体的棱长为2，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（2，0，0），F（0，1，0），E（2，2，1），A1（2，0，2），D1（0，0，2），(I)∵)0,0,2(DA,)2,1,0(1FD，得DA01FD，∴AD⊥D1F;(II)又)1,2,0(AE，得||||cos11FDAEFDAE0||||01FDAE∴AE与D1F所成的角为90°(III)由题意：)0,0,2(11AD，设平面AED的法向量为)1,,(111yxn，设平面A1FD1的法向量为)1,,(222yxn，由0011nAEnDA21011yx)1,21,0(1n由0021121nADnFD2022yx)1,2,0(2n得|||||||cos|2121nnnn0|||||110|21nn∴面AED⊥面A1FD1.（Ⅳ）∵AA1=2，)1,1,2(EF，平面A1FD1的法向量为)1,2,0(2nEFABCDxyzA1B1C1D1EFDDASFDA11121115，∴E到平面A1FD1的距离||||22nnEFd53，15533111EDAFV