第二次诊断性数学考试

第二次诊断性数学考试数学(理工类)本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第I卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)组成，共4页；答题卷共4页．满分100分．考试结束后将答题卡和答题卷一并交回．第Ⅰ卷(选择题，共48分)注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．3．参考公式：如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)；如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)；如果事件A在一次试验中发生的概率为P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率：knkknnPPCkP)1()(；正棱锥、圆锥的侧面积公式clS21锥侧其中c表示底面周长，l表示斜高或母线长；球的体积公式334RV球其中R表示球的半径．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把它选出来填涂在答题卡上．1．不等式02|1|xx的解集是A．{x︱x＞－2}B．{x︱x＜－2}C．{x︱－2＜x＜1或x＞1}D．{x︱x＜－2或x＞1}2．若a＞b＞0，则下列不等式中总成立的是A．abba11B．11ababC．bbaa11D．bababa223．下列极限中，其值等于2的是A．4326lim32nnnB．4326lim22nnnC．)11174(lim31xxxxD．nnnnnnnCCCC2421lim2104．设不重合两条直线l1：ax+by+c=0与直线l2：mx+ny+p=0，则an=bm是直线l1∥l2的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．在平面上，已知点A(2，1)，B(0，2)，C(－2，1)，O(0，0)．给出下面的结论：①BCCAAB②OBOCOA③OAOBAC2其中正确．．结论的个数是A．1个B．2个C．3个D．0个6．已知数列{an}的通项公式是1bnanan，其中a、b均为正常数，那么an与1na的大小关系是A．1nnaaB．1nnaaC．1nnaaD．与a、b的取值有关7．设)3,6(且17的终边与的终边相同，则tan=A．2－1B．2C．2+1D．18．方程x(x2+y2－3)=0与x2+(x2+y2－3)2=0所表示的曲线是A．都表示一条直线和一个圆B．都表示两个点C．前者是两个点，后者是一条直线和一个圆D．前者是一条直线和一个圆，后者是两个点9．设、是某一锐角三角形的两个内角，则必有A．sin＜cos且sin＜cosB．sin＜cos且sin＞cosC．sin＞cos且sin＞cosD．sin＞cos且sin＜cos10．函数y=x+cosx的大致图象是A．B．C．D．11．由方程1||||yyxx确定的函数y=f(x)在(－∞，+∞)上是A．奇函数B．偶函数C．增函数D．减函数12．已知a，b，c∈R，若1acab，且2acab，则下列结论成立的是A．a，b，c同号B．b，c同号，a与它们异号C．b，c同号，a不能确定D．a，b，c的符号都不能确定第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．13．已知目标函数S=2x+y，则函数S在条件0122,1,0yxyx下的最大值为．14．已知51cossin，那么角是第象限的角．15．设a、b、c是△ABC中A、B、C的对边，S是△ABC的面积，若a=4，b=5，35S，则c=．16．已知命题：“若数列{an}为等差数列，且am=a，an=b(m≠n，m，n∈N+)，则mnmanbanm”．现已知数列{bn}(bn＞0，n∈N+)为等比数列，且bm=a，bn=b(m≠n，m，n∈N+)，若类比上述结论，则可得到bm+n=．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．xyO2xyO2xyO2xyO217．(本题满分12分)已知数列{an}的各项均为正数，且前n项和Sn满足1(1)(2)6nnnSaa．若a2、a4、a9成等比数列，求数列{an}的通项公式．18．(本题满分12分)已知A是圆x2+y2=4上任一点，AB垂直于x轴，交x轴于点B．以A为圆心、AB为半径作圆交已知圆于C、D，连结CD交AB于点P，求点P的轨迹方程．19．(本题满分12分)设平面内的向量)7,1(OA,)1,5(OB,)1,2(OM，点P是直线OM上的一个动点，求当PBPA取最小值时，OP的坐标及APB的余弦值．20．(本题满分12分)某地计划从今年起填湖围造一部分生产和生活用地.若填湖费、购置排水设备费等所需经费与当年所填湖造地面积x(亩)的平方成正比，其比例系数为a．设每亩水面的年平均经济收益为b元，填湖造地后的每亩土地的年平均收益为c元(其中a，b，c均为常数)．(Ⅰ)若按计划填湖造地，且使得今年的收益不小于支出，试求所填面积x的最大值．(Ⅱ)如果填湖造地面积按每年1％的速度减少，为保证水面的畜洪能力和环保要求，填湖造地的总面积永远不能超过现有水面面积的25％，求今年填湖造地的面积最多只能占现有水面的百分之几.21．(本题满分12分)证明：sin21)cos(sincos2cossin3cos3sin．22．(本题满分14分)试利用“对数函数y=logax在(0，+∞)上的单调性质：0＜x1＜x2logax1＜logax2(a＞1)；0＜x1＜x2logax1＞logax2(0＜a＜1)”解决下列问题：已知二次函数f(x)的图象开口向下,且对任意实数x有f(2－x)=f(2+x),解关于x的不等式：)10)](812([log)]45([log222aaxxfaaxxfaa其中．第二次诊断性考试数学(理)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把它选出来填涂在答题卡上．CABCBADDCBDA二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．13．214．二或四15．61或2116．mnmnnmabb三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解∵对任意nN*，有1(1)(2)6nnnSaa，(1)∴当n=1时，有11111(1)(2)6Saaa，解得a1=1或a1=2．………………3分当n≥2时，有1111(1)(2)6nnnSaa．(2)于是，由(1)－(2)整理可得(an+an－1)(an－an－1－3)=0．因为{an}的各项均为正数，所以an－an－1=3．……………8分当a1=1时，an=1+3(n－1)=3n－2，此时a42=a2a9成立．当a1=2时，an=2+3(n－1)=3n－1，此时a42=a2a9不成立，故a1=2舍去．所以an=3n－2．………………12分18．解设点A的坐标为A(2cos，2sin)，则以A为圆心、AB为半径的圆的方程为(x－2cos)2+(y－2sin)2=4sin2．………4分联立已知圆x2+y2=4的方程，相减，可得公共弦CD的方程为xcos+ysin=1+cos2．(1)………8分而AB的方程是x=2cos．(2)所以满足(1)、(2)的点P的坐标为(2cos，sin)，消去，即得点P的轨迹方程为x2+4y2=4．………………12分说明：设A(m，n)亦可类似地解决．xyOBDACP19．解设),(yxOP．∵点P在直线OM上，∴OP与OM共线，而)1,2(OM，∴x－2y=0即x=2y，有),2(yyOP．………………4分∵)7,21(yyOPOAPA，)1,25(yyOPOBPB，∴)1)(7()25)(21(yyyyPBPA=5y2－20y+12=5(y－2)2－8．………………8分从而，当且仅当y=2，x=4时，PBPA取得最小值－8，此时)2,4(OP，)5,3(PA，)1,1(PB．于是34||PA，2||PB，8)1(51)3(PBPA，∴171742348||||cosPBPAPBPAAPB．……………12分20．解填湖面积填湖及排水设备费水面经济收益填湖造地后收益x(亩)ax2(元)bxcx(Ⅰ)收益不小于支出的条件可以表示为cx≥ax2+bx，所以ax2+(b－c)x≤0，x[ax－(c－b)]≤0．当c－b≤0，即0xabc时，此时不能填湖造地；………3分当c－b＞0，即abcx0时，此时所填面积的最大值为abc亩．……………6分(Ⅱ)设该地现有水面m亩，今年填湖造地x亩，则mxxxx25.0%)11(%)11(%)11(32，不等式左边是无穷等比数列(首项为x，公比q=0.99)的和，故有499.01mx，即mmx%25.0400．因此今年填湖造地面积最多只能占现有水面的0.25％．……………12分21．证明：∵分子=(sin2cos+cos2sin)－(cos2cos－sin2sin)－sin+cos=(2sincos2－sin)+cos2sin－(cos2cos－cos)+sin2sin=sin(2cos2－1)+sincos2+2sin2cos+sin2sin=2sincos2+2sin2sin=2sin(sin2+cos2)，……………9分分母=2sincos+2cos2－1=(sin2+cos2)．……………11分∴左边=2sin=右边，故等式成立．……………12分22．解由题意知，二次函数f(x)的对称轴为直线x=2，……2分故f(x)在x∈(－∞，2]上单调递增，在[2，+∞)上单调递减．∵22222)2(45aaaxaaxx，aaxaxx22)41(2812，且0＜a＜1，∴2log)45(log222aaaxxaa，1log)812(log2aaxxaa，∴)812(log)45(log222axxaaxxaa，……………6分于是，得axxaaxx81245222，即08145)1(22aaxax．……………10分∵)8145(4)1(22aaa=031)61(6212622aaa，……………12分∴原不等式的解集为}10,2121|{aaxax．……………14分