德州市2005-2006学年度高二年级期末考试(理)(1)

德州市2005-2006学年度高二年级期末考试高二数学（理）一、选择题1．ii21=（）A.iB.iC.2D.－22.在抛物线y2=2px(p＞0)上，横坐标为4的点到焦点的距离是5，则p的值为（）A.21B.1C.2D.43．中心在坐标原点，离心率为35的双曲线焦点在y轴上，则它的渐近线方程为（）A.y=45xB.y=54xC.y=34xD.y=43x4.椭圆191622yx的内接正方形的面积是（）A.52123B.12C.24D.485.用数学归纳法证明2413212111＞＋nnn（n是正整数）时，当n由k到k+1，不等式左边的变化是（）A.增加1)(k21一项B.增加1k21和1)(k21两项且减少1k1一项C增加1k21和1)(k21两项D.增加1k21一项6.空间四边形OABC中，.,,cOCbOBaOA点M在OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，则MN等于（）A.cba213221B.cba212132C.cba212121D.cba2132327.己知双曲线的两个焦点为1F)0,5(，2F)0,5(，p是此双曲线上一点且21PFPF2F21PFP则该双曲线的方程为()A.13222yxB.12322yxC.1422yxD.1422yx8.己知F1，F2分别为椭圆)0(12222babyax的左右焦点，M为椭圆上的一点，MF1垂直于x轴，且∠F1MF2=60°,则椭圆的离心率为（）A.21B.22C.33D.239.|ba|)t(),0,1t2,t1(b),t,t,2(a则是实数的最小值是（）A.5B.6C.2D.310．空间不共面的四点O、A、B、C，若OCOBOCOAOBOA＝0，且|OA|=|OB|=|OC|，则＜ACABOCOBOA,＞＝（）A.450B.600C.900D.135011.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点p是侧面BB1C1C内一动点，若点p到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点p的轨迹是（）A.双曲线B.圆C.椭圆D.抛物线12.在以下命题中，不正确的个数为（）①ba、是baba共线的充要条件。②若ba//，则存在惟一的实数使ba③对空间任意一点O和不共线三点A，B，C若OCOBOAOP22,则P、A、B、C四点共面。④若cba,,为空间的一个基底，则accbba,,构成空间的另一个基底A.1B.2C.3D.4二、填空题13.己知)3,5,2(a),2,4(xb且0ba则x=14.直线x-y+1=0和椭圆13422yx相交于A、B两点，则弦AB15.把正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，点E、F分别为AD、BC的中点，点O为原正方形ABCD的中心，则折起后∠EOF=.16.设x1,x2R常数a＞0,定义运算21214xxxx为，等号右边是通常的乘法运算，如果在平面直角坐标系中，动点p的坐标（x,y）满足关系式：xayy22，则动点p的轨迹方程是17．已知f(z)=|1+z|－z，且f(－z)=10+3i，求复数z.18.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F,G分别是DD1、BD、BB1的中点（1）求证：EFCF。（2）求EF与CG所成角的余弦值。19．若一直线与抛物线y2=2px(p0)交于A，B两点，且OA⊥OB，坐标原点O在直线AB的射影为D（2，1），求该抛物线的方程.20.是否存在实数a、b使等式22＋42＋62＋…＋（2n）2＝n(n+1)(an+b)对任意的正整数n都成立，若不存在，说明理由；若存在，试确定a，b的值，并用数学归纳法证明之.21.直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE＝EB，F是CE上的点，且BF平面ACE（1）求证：AE平面BCE（2）求二面角B-AC-E的大小（3）求点D到平面ACE的距离。22．（本小题满分14分）已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，如图，且AC·BC=0，|BC|=2|AC|，（1）求椭圆的方程；（2）椭圆上是否存在两点P、Q使∠PCQ的平分线垂直AO，且PQ平行于AB,并说明理由.参考答案DCDABBACCCDCx=-6724120ºy2=4ax(a0)17.解：f(z)=|1+z|－zf(－z)=|1-z|+z…………2分设z=a+bi(a、b∈R)由f(－z)＝10＋3i得|1－(a+bi)|+a－bi=10+3i即310122baba………………6分解方程组得35ba…………………………10分所以复数z=5－3i……………12分18.证明：如图，以D点为原点，建立空间直角坐标系，（1）则　　　）　，，（)0,1,0()0,21,21(2100ECF)21,1,1(G…………………………………………2分∴)0,21,21()21,21,21(CFEF　　00)21()21(212121CFEF∴CFEF………………………………6分（2）），，＝（2101CG25CG23EF＝　　＝…………………………………………………………8分1515252321)21(021121,cosCGEFCGEFCGEF故EF与CG所成角的余弦值为1515…………………………………………12分19.解：由题意知直线OD的斜率为21，所以直线AB的斜率为－2，且过D点，∴直线AB的方程为2x+y－5＝0，………………………………2分与y2=2px联立消去x得y2+py－5p=0…………………………………4分设A(x1,y1),B(x2,y2)则因OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0……………………6分∵y1+y2=－p,y1y2=－5p,x1x2=42542552525212121yyyyyy…………………………8分425－5p=0得p=45………………………10分所以所求抛物线的方程为y2=x25………………………………12分20.解：存在，当n=1时22＝1×2×（a+b）得a+b=2当n=2时22＋42＝2×3（2a+b）得6a+3b=10所以得a=34b=32…………………………………4分证明：⑴当n=1时，由以上知等式成立…………………6分⑵假设当n=k时等式成立，即22＋42＋62＋…＋（2k）2＝k(k+1)(34k+32)则22＋42＋62＋…＋（2k）2+[2(k+1)]2=k(k+1)(34k+32)+[2(k+1)]2…………8分=(k+1)(34k2+32k+4k+4)=(k+1)(34k2+314k+4)=(k+1)(k+2)(34k+2)=(k+1)[(k+1)+1][34(k+1)+32]所以当n=k+1时等式也成立.…………………………10分由⑴⑵知对于任意正整数n等式22＋42＋62＋…＋（2n）2＝n(n+1)(34n+32)都成立…12分21.(1)证明:∵BF平面ACE∴BFAE∵D－AB－E是直二面角CBAB∴CB平面ABE∴CBAECBBF＝B∴AE平面BCE……………………………………3分（2）以线段AB的中点O为原点，建立空间直角坐标系），，（）　　，，（　　　210C001E)0,1,0(A则AE=（1,1,0）AC=(0,2,2)………………………………5分设平面AEC的一个法向量n=(x,y,z)则00nACnAE即0220zyyxxzxy令x=1得n(1,-1,1)又设平面BAC的一个法向量为m(1,0,0)……………………7分Cos＜m,n＞=3331nmnm故二面角B－AC－E的大小为arccos33…………………………9分（3）AD∥E轴，2ADAD＝（0，0，2）33232,cosnnADnADADd故点D到ACE之距为332………………………………12分22.（1）由已知可得点A(－6,0),F(4,0)设点P(x,y),则AP=（x+6,y）,FP=（x－4,y）,……………2分由已知可得1203622yx(x+6)(x－4)+y2=0则2x2+9x－18=0,x=23或x=－6.……………4分由于y0,只能x=23,于是y=235.∴点P的坐标是(23,235)……………6分(2)直线AP的方程是x－3y+6=0.……………8分设点M(m,0),则M到直线AP的距离是26m.于是26m=|m6|,又－6≤m≤6,解得m=2.……………10分椭圆上的点(x,y)到点M的距离d有d2=(x－2)2+y2=x2－4x+4+20－95x2=94(x－29)2+15,由于－6≤x≤6,∴当x=29时,d取得最小值15……………14分解（1）以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的直角坐标系则A（2，0），设所求椭圆的方程为：224byx=1(0b2),由椭圆的对称性知|OC|=|OB|,由AC·BC=0得AC⊥BC，∵|BC|=2|AC|，∴|OC|=|AC|，∴△AOC是等腰直角三角形，∴C的坐标为（1，1），∵C点在椭圆上∴22141b=1,∴b2=34,所求的椭圆方程为43422yx=1……………6分（2）由于∠PCQ的平分线垂直OA（即垂直于x轴），不妨设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为-k，直线PC的方程为：y=k(x-1)+1,直线QC的方程为y=-k(x-1)+1,……………8分由0431)1(22yxxky得：(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0（*）……………10分∵点C（1，1）在椭圆上，∴x=1是方程（*）的一个根，则其另一根为2231163kkk,设P（xP,yP）,Q(xQ,yQ),xP=2231163kkk,xy同理xQ=2231163kkk,kPQ=3131163311632)3116331163(2)(22222222kkkkkkkkkkkkkkxxkxxkxxyyQPQPQPQP………12分而由对称性知B(-1,-1),又A（2，0）∴kAB=31∴存在两点P、Q使∠PCQ的平分线垂直AO，且PQ平行于AB。………14分