北京市东城区2002届高三文科数学二模试题

北京市东城区2002年高三总复习练习（二）数学（文史类）学校_______________班级______________姓名______________本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至8页。共150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。参考公式：三角函数的和差化积公式正棱台、圆台的侧面积公式2cos2sin2sinsinlccS)'(21台侧2sin2cos2sinsin其中c'、c分别表示上、下底面周长，2cos2cos2coscosl表示斜高或母线长台体的体积公式：2sin2sin2coscoshSSSSV)''(31台体其中S'、S分别表示上、下底面积，h表示高.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）若角α与角β的终边关于y轴对称，则（A）)(2zkk（B）)(zkk（C）)(22zkk（D）)(2zkk（2）若圆锥的轴截面为直角三角形，则它的侧面展开图的圆心角为（A）2（B）2（C）23（D）π（3）直线x-2y+3=0关于直线x-y=0对称的直线方程是（A）x+2y-3=0（B）x+2y+3=0（C）2x-y-3=0（D）2x-y+3=0（4）已知211tgtg，则)4(tg的值是（A）-2（B）2（C）21（D）21（5）若共轭双曲线的离心率分别为1e和2e，则（A）121ee（B）11121ee（C）12221ee（D）1112221ee（6）函数)1,1,0(||logabaabxya的图象只可能是（7）在直角坐标系中，点A在圆yyx222上，点B在直线y=x-1上，则|AB|的最小值是（A）12（B）221（C）2（D）22（8）已知如图，∠C=90°，AC=BC，M、N分别为BC和AB的中点，沿直线MN将△BMN折起，使二面角B'-MN-B为60°，则斜线B'A与平面ABC所成角的正切值为（A）52（B）53（C）54（D）53（9）已知2345，则sinθ+cosθ的取值范围是（A）(-1,0)（B）)2,1(（C）(-1,1)（D）)1,2(（10）已知函数)(xfy对任意实数都有f(-x)=f(x)，f(x)=-f(x+1)且在[0,1]上单调递减，则（A）)57()37()27(fff（B）)37()27()57(fff（C）)57()27()37(fff（D）)27()37()57(fff（11）小王打算用70元购买面值分别为20元和30元的两种IC电话卡.若他至少买一张，则不同的买法一共有（A）5种（B）6种（C）7种（D）8种（12）一个正四面体在平面α上的射影不可能是A.正三角形B.三边不全相等的等腰三角形C.正方形D.邻边不垂直的菱形第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。（13）nba)(展开式中的第5项与第11项的二项展开式系数相等，则n=_____________.(14)在直角坐标平面内，到点（1,1）和直线x=-3距离相等的点的轨迹方程是_______.（15）在等差数列}{na与等比数列}{nb中，011ba，01212nnba（n=1,2,3……）则1na与1nb的大小关系是__________________(16)如图，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体后，有下列命题：①点H与点C重合②点D与点M与点R重合③点B与点Q重合④点A与点S重合其中正确命题的序号是___________________.（注：把你认为正确的命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)已知复数iz31,12sin12cos2iz，且3212zzz，求复数ω的值。（18）（本小题满分12分）解关于x的不等式：)1(log12logxaa.其中a0，a≠1.(19)（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P—ABCD中，底面四边形为正方形，侧面PDC为正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E为PC中点。(Ⅰ)求证：PA//平面EDB；(Ⅱ)求证：平面EDB⊥平面PBC；(Ⅲ)求二面角D-PB-C的正切值.(20)(本小题满分12分)某房屋开发商出售一套50万元的住宅。可以首付5万元，以后每过一年付5万元，9年后付清；也可以一次付清，并优惠x%.问开发商怎样确定优惠率可以鼓励购房者一次付款.(按一年定期存款税后利率2%，一年一年续存方式计算.x取整数.计算过程中可参考以下数据：19.102.19,2.102.110,24.102.111)(21)(本小题满分12分)已知椭圆两个焦点1F、2F的坐标分别为（-3，2）、（5，2）.P为椭圆上的任意一点,21cosPFF的最小值为257，求椭圆方程.(22)(本小题满分14分)已知函数333)(xxf.(Ⅰ)证明函数y=f(x)的图象关于点)21,21(对称；(Ⅱ)求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值；(Ⅲ)若)()1(nfnfbn，求证对任何自然数n，总有23nbn成立.北京市东城区2002年高三总复习练习(文史类)(二)参考答案及评分标准一、（1）A（2）B（3）C（4）D（5）D（6）B（7）A（8）B（9）D（10）B（11）C（12）D二、（13）14（14）)1(8)1(2xy（15）11nnba（16）②④三、（17）解：)6sin6(cos231iiz.……………………2分)12sin()12cos(2iz.…………………………………4分)312sin()312cos(32iz.………………………………6分)]121236sin()121236[cos(22321izzz.ii2)2sin2(cos2.……………………………………12分（18）解：原不等式等价于)1(log2logxaaa.当0a1时，原不等式等价于.12,01xax………………………………2分.211axx………………………………4分当a0时，有1-2a1,∴此时不等式的解为1-2ax1.………………6分当a1时，原不等式等价于.12,01xax……………………………………8分axx21,1………………………………10分当a1时，有1-2a1，∴此时不等式的解为x1-2a.综上：当0a1时，原不等式的解为1-2ax1，当a1时，原不等式的解为x1-2a.……………………12分（19）（Ⅰ）证：连AC交BD于O，连EO.由四边形ABCD为正方形，得O为AC中点在△PAC中，由中位线定理得EO//PA…………………………2分又EO平面EDB，PA平面EDB，∴PA//平面EDB.…………………………4分（Ⅱ）证：由平面PDC⊥平面ABCD，BC⊥DC，得BC⊥平面PDC.又DE平面PDC，则BC⊥DE.E为PC的中点，△PDC为正三角形，∴DE⊥PC.BC∩PC=C，∴DE⊥平面PBC。又DE平面EDB，∴平面EDB⊥平面PBC.……………………8分（Ⅲ）作EF⊥PB于F，连DF，由DE⊥平面PBC及三垂线定理得DF⊥PB.∠DFE是所求二面角的平面角.设BC=4，则PC=4.在等边△PDC中求出32DE.在Rt△PFE中，∠EPF=45°，PE=2，可求出2FE.∴6232FEDEDFEtg.………………………………12分（20）解：由题意得)102.102.102.1(5%)1(02.150899x………………4分102.1102.1%)1(02.110109x02.002.110102.1%1910x……………………………………6分02.019.11012.18403.019.11…………………………………………8分∴x%15.97%.答：一次付款的优惠率应不低于是16%.…………………………12分（21）解：设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a、2b、2c.由已知，得2c=5-(-3)=8…………………………………………1分设mPF||1，nPF||2，21PFF.由余弦定理，得mnnm264cos22………………………………2分1)2(264)(1264)(2642)(2222nmnmmnnmmnmnnm.………………6分将m+n=2a代入上式，得22232112644cosaaa.…………………………8分当且仅当m=n=a时取等号.由已知得方程2573212a.解得252a.……………………………………10分∴916252b.求出椭圆中心坐标为（1,2）.则19)2(25)1(22yx为所求.…………………………12分（22）（Ⅰ）证明：函数y=f(x)的定义域为全体实数.任意一点（x,y）关于点)21,21(对称的点的坐标为（1-x,-1-y）.………………2分由已知，333xy，则33333311xxxy.33333)1(1xxaaxf.33333333xxxx∴-1-y=f(1-x).即函数y=f(x)的图象关于点)21,21(对称.…………………………5分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）有-1-f(x)=f(1-x).即f(x)+f(1-x)=-1.∴f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1,f(0)+f(1)=-1.则f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3-…………………………9分（Ⅲ）解：33)()1(nnnfnfb.∴nnb33.……………………………………10分不等式23nbn即为23nn.下面用数学归纳法证明.当n=1时，左=3，右=1，31，不等式成立.当n=2时，左=9，右=4，94，不等式成立.令n=k(k≥2，k∈N)时不等式成立，即.32kk则n=k+1时，213333kkk左.12)1(22kkk右.23)21(2122)12(32222kkkkkk.当k≥2，k∈N时，上式恒为正值.则左右，即21)1(3kk.所以对任何自然数n，总有23nn成立.即对任何自然数n,总有23nbn成立.…………………………14分