2007级调研考试数学参考答案及评分标准

2007级调研考试数学参考答案及评分标准说明：1、本解答仅给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容对照评分标准制定相应的评分细则。2、评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后续部分的解答有较严重的错误，就不给分。3、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。4、给分或扣分以1分为单位，选择题和填空题不给中间分。一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。1．A2．D3．C4．A5．D6．D7．B8．B9．C10．C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分30分。11．22；12．1200；13．5π3；14．2；15．12；16．(1,1)三、解答题17．（Ⅰ）记“甲两次罚球恰好命中一球”为事件A，“乙两次罚球恰好命中一球”为事件B，则P(A)=12C0.5(10.5)0.50,……………………………………2分12()C0.6(10.6)0.48PB,……………………………………4分由题意知，事件A、B相互独立，故()()()0.500.480.24PABPAPB．答：甲、乙都恰好命中一球的概率为0.24．……………………………………6分（Ⅱ）记“甲获胜”为事件C，“甲得2分且乙得1分”为事件D，“甲得2分且乙得0分”为事件E，“甲得1分且乙得0分”为事件F，………………………………7分则P(D)=22122(C0.5)(C0.60.4)0.12，P(E)=220222(C0.5)(C0.4)0.04，P(F)=10222(C0.50.5)(C0.4)0.08．…………………………………10分由于事件D、E、F是互斥事件，故P(C)=()()()0.120.040.08PDPEPF=0.24．答：甲获胜的概率为0.24．……………………………………12分18．(Ⅰ)设点P(x,y),则(1,)PAxy，(1,)PBxy，由22PAPBm(|OPOA|OB)得，x2+y21=m(x2)，即(1m)x2+y2=1m……………………4分(1)若1m=0，即m=1，则方程可化为y=0，P的轨迹是直线y=0；……………………5分(2)若m=1，即m=0，则方程可化为x2+y2=1，P的轨迹是单位圆；…………………6分(3)若1m0且1m≠1，即m1且m≠0，方程可化为2211yxm，P的轨迹是椭圆；………………………7分(4)若1m0，即m1,方程可化为2211yxm，P的轨迹是双曲线．………………………8分(Ⅱ)当动点P的轨迹表示椭圆时，则1m0且1m≠1，即m1且m≠0，由22(1)1,2mxymyx得，(2-m)x2+4x+m+3=0．………………………10分∵该椭圆与直线l：y=x+2交于不同两点，∴0，即m2+m20，∴m1或m2．∵m1且m≠0，∴m2．………………………12分∵该椭圆方程为2211yxm，∴e2=111211113mmmmm，∴613e．………………………14分19．(Ⅰ)连结BD,AC，设他们交于点O，连结EO，FO，∵ABCD是正方形，∴OD⊥AC．又∵ED⊥平面ABCD，且OD为ED在平面ABCD内的射影∴EO⊥AC．同理FO⊥AC，∴∠EOF就是二面角E—AC—F的平面角………2分设DE=a,∵AB=BF=2DE2a，∴OE=3a，OF=6a,EF=3a.∴EO2+FO2=EF2，即90EOF，∴平面AEC⊥平面AFC．…………………4分(Ⅱ)过点C作CP⊥平面AC，且使CP=DE，连结EP，则四边形CDEP是矩形，且CP在平面FBC内，∵DC平面FBC，EP∥DC，∴EP⊥平面FBC，（第19题答案图）ABCDEFONMP∴∠ECP就是EC与平面FBC所成的角，…………………6分在Rt△ECP中，EP=2a，CP=a，∴tan∠ECP=2，∴EC与平面FBC所成的角为arctan2．…………………8分(Ⅲ)在EF上存在满足FM=2ME一点M，使三棱锥M-ACF是正三棱锥．………10分作法：由题意知△ACF是等边三角形，顶点M在底面ACF上的射影是△ACF的中心，记作点N，则点N一定在OF上，且FN=2ON，在平面EOF中过N作NM∥OE交EF于点M，则该点就是所求的点M.…………………12分证明：∵平面AEC⊥平面AFC,EO⊥AC,且EO平面AEC∴EO⊥平面AFC,∵EO∥MN，∴MN⊥平面AFC,∵点N是等边三角形△ACF的中心，∴三棱锥M-ACF是正三棱锥．……………………14分20．(Ⅰ)由()Gxa得221xaax，即222xax．∵222xax在x∈[1，1]时恒成立，………………………………………2分由于当x=0时，222xx=0；当[1,0)x时，222xx0；当(0,1]x时，222xx0．故求函数y=222xx在x∈[1，1]上的最大值，只需求y=222xx在(0,1]x上的最大值．………………………………………4分∵22222xyxxx,令2()Mxxx,设1201xx则12121212()(2)()()0xxxxMxMxxx，∴()Mx在(0,1]上是减函数．………………………………………6分∴当x=1时，y=222xx的最大值为23．∴所求a的取值范围是23a．………………………………………8分(Ⅱ)232()(2)(1)22Hxxaxxaxxa，22()6222(31)Hxxaxxax，由,是方程2310xax的两根，可知,是方程()0Hx的两根．故当(,)x时，有()0Hx，从而()Hx在[,]上是减函数．所以max[()]()HxH，min[()]()HxH，由题意，可得()()8HH．……………………………………11分∵3a，13，2212()43a，∴3232()()(22)(22)HHaaaa33222()()2()a2()[2()2()2]a222122[2()2]3333aaa=2312()3a．∴2312()3a=8，解得所求a的值为43．……………………………14分21．（Ⅰ）由210nnabn（n=1,2,3,…），可得2nnanbn（n=1,2,3,…）①∴112(1)(1)nnanbn②①-②，可得112()(1)1nnnnaanbnb，又1nnnaab，∴12(1)1nnnbnbnb，……………………………………4分即1(1)(2)10nnnbnb（n=1,2,3,…）③∴21(2)(3)10nnnbnb④④-③，可得21(2)(24)(2)0nnnnbnbnb，即2120nnnbbb，∴211nnnnbbbb（n=1,2,3,…），∴数列{}nb是等差数列．……………………………………8分（Ⅱ）由（1）可知数列{}nb是等差数列，设其公差为d，则212dbb，∴11(1)2(1)nbbndnb，∴1(1)(23)22nnnnabnb，又13b，∴21(23)(233)22nnnanbnn（n=1,2,3,…），∴1211aa…＋1na222111123…＋21n，……………………………………12分记nT222111123…＋21n，当1n时，215113nT；当2n时，2211551243nT；当3n时，∵22111111()1(1)(1)211nnnnnn，∴22221111(1234nT…21)n511111[()()422435…1111()()]211nnnn511111()42231nn51115()42233．故对一切n*N，都有53nT．所以对一切n*N，都有123111aaa…＋1na53．……………………………16分（本题方法较多，其它方法从略）