2006年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题附答案(福建卷)

2006年高考数学福建卷文科一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知两条直线2yax和(2)1yax互相垂直，则a等于（A）2（B）1（C）0（D）1（2）在等差数列na中，已知1232,13,aaa则456aaa等于（A）40（B）42（C）43（D）45（3）tan1是4的（A）充分而不必要条件（B）必要不而充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（4）已知3(,),sin,25则tan()4等于（A）17（B）7（C）17（D）7（5）已知全集,UR且2|12,|680,AxxBxxx则()UCAB等于（A）[1,4)（B）(2,3)（C）(2,3]（D）(1,4)（6）函数(1)1xyxx的反函数是（A）(1)1xyxx方（B）(1)1xyxx（C）1(0)xyxx（D）1(0)xyxx（7）已知正方体外接球的体积是323，那么正方体的棱长等于（A）22（B）233（C）423（D）433（8）从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有（A）108种（B）186种（C）216种（D）270种（9）已知向量a与b的夹角为120o，3,13,aab则b等于（A）5（B）4（C）3（D）1（10）对于平面和共面的直线m、,n下列命题中真命题是（A）若,,mmn则n∥（B）若m∥,n∥,则m∥n（C）若,mn∥,则m∥n（D）若m、n与所成的角相等，则m∥n（11）已知双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60o的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（A）(1,2]（B）(1,2)（C）[2,)（D）(2,)（12）已知()fx是周期为2的奇函数，当01x时，()lg.fxx设63(),(),52afbf5(),2cf则（A）abc（B）bac（C）cba（D）cab二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。（13）251()xx展开式中4x的系数是＿＿＿＿＿（用数字作答）。（14）已知直线10xy与抛物线2yax相切，则______.a（15）已知实数x、y满足1,1,yyx则2xy的最大值是＿＿＿＿。（16）已知函数()2sin(0)fxx在区间,34上的最小值是2，则的最小值是＿＿＿＿。三．解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）已知函数22()sin3sincos2cos,.fxxxxxxR（I）求函数()fx的最小正周期和单调增区间；（II）函数()fx的图象可以由函数sin2()yxxR的图象经过怎样的变换得到？（18）（本小题满分12分）每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6).（I）连续抛掷2次，求向上的数不同的概率；（II）连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率；（III）连续抛掷5次，求向上的数为奇数恰好出现3次的概率。（19）（本小题满分12分）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，2,2.CACBCDBDABAD（I）求证：AO平面BCD；（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；（III）求点E到平面ACD的距离。（20）（本小题满分12分）已知椭圆2212xy的左焦点为F，O为坐标原点。（I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；（II）设过点F的直线交椭圆于A、B两点，并且线段AB的中点在直线0xy上，求直线AB的方程。（21）（本小题满分12分）已知()fx是二次函数，不等式()0fx的解集是(0,5),且()fx在区间1,4上的最大值是12。（I）求()fx的解析式；（II）是否存在实数,m使得方程37()0fxx在区间(,1)mm内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。（22）（本小题满分14分）已知数列na满足*12211,3,32().nnnaaaaanN（I）证明：数列1nnaa是等比数列；（II）求数列na的通项公式；（II）若数列nb满足12111*44...4(1)(),nnbbbbnanN证明nb是等差数列。CADBOExylFO2006年高考(福建卷)数学文试题答案一．选择题：本大题考查基本概念和基本运算。每小题5分，满分60分。（1）D（2）B（3）B（4）A（5）C（6）A（7）D（8）B（9）B（10）C（11）C（12）D二．填空题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题4分满分16分。（13）10（14）14（15）4（16）32三．解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力。满分12分。解：（I）1cos23()sin2(1cos2)22xfxxx313sin2cos22223sin(2).62xxx()fx的最小正周期2.2T由题意得222,,262kxkkZ即,.36kxkkZ()fx的单调增区间为,,.36kkkZ（II）方法一：先把sin2yx图象上所有点向左平移12个单位长度，得到sin(2)6yx的图象，再把所得图象上所有的点向上平移32个单位长度，就得到3sin(2)62yx的图象。方法二：把sin2yx图象上所有的点按向量3(,)122a平移，就得到3sin(2)62yx的图象。（18）本小题主要考查概率的基本知识，运用数学知识解决实际问题的能力。满分12分。解：（I）设A表示事件“抛掷2次，向上的数不同”，则655().666PA答：抛掷2次，向上的数不同的概率为5.6（II）设B表示事件“抛掷2次，向上的数之和为6”。向上的数之和为6的结果有(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)5种，55().6636PB答：抛掷2次，向上的数之和为6的概率为5.36（III）设C表示事件“抛掷5次，向上的数为奇数恰好出现3次”，即在5次独立重复试验中，事件“向上的数为奇数”恰好出现3次，3325511105()(3)()().223216PCPC答：抛掷5次，向上的数为奇数恰好出现3次的概率为5.16（19）本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。满分12分。方法一：（I）证明：连结OC,,.BODOABADAOBD,,.BODOBCCDCOBD在AOC中，由已知可得1,3.AOCO而2,AC222,AOCOAC90,oAOC即.AOOC,BDOCOAO平面BCD（II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知ME∥AB,OE∥DC直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角在OME中，121,1,222EMABOEDCOM是直角AOC斜边AC上的中线，11,2OMAC2cos,4OEM异面直线AB与CD所成角的大小为2arccos.4ABMDEOC（III）解：设点E到平面ACD的距离为.h,11....33EACDACDEACDCDEVVhSAOS在ACD中，2,2,CACDAD2212722().222ACDS而21331,2,242CDEAOS31.212.772CDEACDAOShS点E到平面ACD的距离为21.7方法二：（I）同方法一。（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则(1,0,0),(1,0,0),BD13(0,3,0),(0,0,1),(,,0),(1,0,1),(1,3,0).22CAEBACD.2cos,,4BACDBACDBACD异面直线AB与CD所成角的大小为2arccos.4（III）解：设平面ACD的法向量为(,,),nxyz则.(,,).(1,0,1)0,.(,,).(0,3,1)0,nADxyznACxyz0,30.xzyz令1,y得(3,1,3)n是平面ACD的一个法向量。xCABODyzE又13(,,0),22EC点E到平面ACD的距离.321.77ECnhn（20）本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力。满分12分。解：（I）222,1,1,(1,0),:2.abcFlx圆过点O、F，圆心M在直线12x上。设1(,),2Mt则圆半径13()(2).22r由,OMr得2213(),22t解得2.t所求圆的方程为2219()(2).24xy（II）设直线AB的方程为(1)(0),ykxk代入221,2xy整理得2222(12)4220.kxkxk直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根，记1122(,),(,),AxyBxyAB中点00(,),Nxy则21224,21kxxk2012002212(),(1),22121kkxxxykxkk线段AB的中点N在直线0xy上，2002220,2121kkxykkxylANBFO0k，或1.2k当直线AB与x轴垂直时，线段AB的中点F不在直线0xy上。直线AB的方程是0,y或210.xy（21）本小题主要考查函数的单调性、极值等基本知识，考查运用导数研究函数的性质的方法，考查函数与方程、数形结合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。满分12分。（I）解：()fx是二次函数，且()0fx的解集是(0,5),可设()(5)(0).fxaxxa()fx在区间1,4上的最大值是(1)6.fa由已知，得612,a22,()2(5)210().afxxxxxxR（II）方程37()0fxx等价于方程32210370.xx设32()21037,hxxx则2'()6202(310).hxxxxx当10(0,)3x时，'()0,()hxhx是减函数；当10(,)3x时，'()0,()hxhx是增函数。101(3)10,()0,(4)50,327hhh方程()0hx在区间1010(3,),(,4)33内分别有惟一实数根，而在区间(0,3),(4,)内没有实数根，所以存在惟一的自然数3,m使得方程37()0fxx在区间(,1)mm内有且只有两个不同的实数根。（22）本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。满分14分。（I）证明：2132,nnnaaa21112*2112(),1,3,2().nnnnnnnnaaaaaaaanNaa1nnaa是以21aa2为首项，2为公比的等比数列。（II）解：由（I）得*12(),nnnaanN112211()()...()nnnnnaaaaaaaa