08高考文科数学解析几何题型与方法

专题五：高考文科数学解析几何题型与方法（文科）一、考点回顾1．直线(1).直线的倾斜角和斜率(2).直线的方程a.点斜式：)(11xxkyy；b.截距式：bkxy；c.两点式：121121xxxxyyyy；d.截距式：1byax；e.一般式：0CByAx，其中A、B不同时为0.(3).两直线的位置关系两条直线1l，2l有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交.(4).简单的线性规划．①存在一定的限制条件，这些约束条件如果由x、y的一次不等式（或方程）组成的不等式组来表示，称为线性约束条件.②都有一个目标要求，就是要求依赖于x、y的某个函数（称为目标函数）达到最大值或最小值.特殊地，若此函数是x、y的一次解析式，就称为线性目标函数.③求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题.2.圆(1).圆的定义(2).圆的方程a.圆的标准方程，b.圆的一般方程，c.圆的参数方程(3).直线与圆3.圆锥曲线(1).椭圆的性质条件{M|MF1|+|MF2|=2a，2a＞|F1F2|}{M||MF|Ml=|MF|Ml=e0e1}1122点到的距离点到的距离，＜＜标准方程xaybab222210()＞＞xbyaab222210()＞＞顶点A1(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b，0)，B2(b，0)轴对称轴：x轴，y轴．长轴长|A1A2|=2a，短轴长|B1B2|=2b焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|=2c(c＞0)，c2=a2－b2离心率e(0e1)＝＜＜ca准线方程ll12xx：＝；：＝acac22ll12yy：＝；：＝acac22焦点半径|MF1|＝a＋ex0，|MF2|＝a－ex0|MF1|＝a＋ey0，|MF2|＝a－ey0点和椭圆的关系＞外在椭圆上＜内xaybxy022022001(,)(k为切线斜率)，ykx＝±akb222(k为切线斜率)，ykx＝±bka222切线方程xxayyb0202＋＝1(x0，y0)为切点xxbyya0202＋＝1(x0，y0)为切点切点弦方　程(x0，y0)在椭圆外xxayyb0202＋＝1(x0，y0)在椭圆外xxbyya0202＋＝1弦长公式|xx|1+k|yy|1+1k212122－或－其中(x1，y1)，(x2，y2)为割弦端点坐标，k为割弦所在直线的斜率(2)双曲线的性质切点弦方程(x0，y0)在双曲线外xxayyb0202－＝1(x0，y0)在双曲线外yyaxxb0202－＝1弦长公式|xx|1+k|yy|1+1k212122－或－其中(x1，y1)，(x2，y2)为割弦端点坐标，k为割弦所在直线的斜率条件P＝{M|MF1|－|MF2|＝2a，a＞0，2a＜|F1F2|}．P{M||MF|Ml|MF|Mlee1}1122＝点到的距离＝点到的距离＝，＞．标准方程xayb2222－＝＞，＞1(a0b0)yaxb2222－＝＞，＞1(a0b0)顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴对称轴：x轴，y轴，实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝2b焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c(c＞0)，c2＝a2＋b2离心率e(e1)＝＞ca准线方程ll12xx：＝－；：＝acac22ll12yy：＝－；：＝acac22渐近线方程yx(0)＝±或－＝baxayb2222yx(0)＝±或－＝abyaxb2222共渐近线的双曲线系方程xayb2222－＝≠k(k0)yaxb2222－＝≠k(k0)焦点半径|MF1|＝ex0＋a，|MF2|＝ex0－a|MF1|＝ey0＋a，|MF2|＝ey0－aykx＝±akb222(k为切线斜率)kk＞或＜－babaykx＝±bka222(k为切线斜率)kk＞或＜－ababxxayyb0202－＝1((x0，y0)为切点yyaxxb0202－＝1((x0，y0)为切点切线方程xyaa((xy)2200＝的切线方程：＝，为切点xyyx002(3).抛物线中的常用结论①过抛物线y2＝2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p②设A(x1，y)，1B(x2，y2)是抛物线y2＝2px上的两点，则AB过F的充要条件是y1y2＝－p2③设A，B是抛物线y2＝2px上的两点，O为原点，则OA⊥OB的充要条件是直线AB恒过定点(2p，0)(4).圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率，用e表示，当0＜e＜1时，是椭圆，当e＞1时，是双曲线，当e＝1时，是抛物线．4.直线与圆锥曲线的位置关系：（在这里我们把圆包括进来）(1).首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的a.直线与圆：一般用点到直线的距离跟圆的半径相比(几何法)，也可以利用方程实根的个数来判断(解析法).b.直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程，判断相交、相切、相离c.直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性(2).a.求弦所在的直线方程b.根据其它条件求圆锥曲线方程(3).已知一点A坐标，一直线与圆锥曲线交于两点P、Q，且中点为A，求P、Q所在的直线方程(4).已知一直线方程，某圆锥曲线上存在两点关于直线对称，求某个值的取值范围（或者是圆锥曲线上否存在两点关于直线对称）5.二次曲线在高考中的应用二次曲线在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点。通过以二次曲线为载体，与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数学思想方法，并与高等数学基础知识融为一体，考查学生的数学思维能力及创新能力，其设问形式新颖、有趣、综合性很强。本文关注近年部分省的高考二次曲线问题，给予较深入的剖析，这对形成高三复习的新的教学理念将有着积极的促进作用。(1).重视二次曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。(2).重视二次曲线的标准方程和几何性质与导数的有机联系。(3).重视二次曲线性质与数列的有机结合。(4).重视解析几何与立体几何的有机结合。6.知识网络二、经典例题剖析考点一曲线（轨迹）方程的求法常见的求轨迹方程的方法：（1）单动点的轨迹问题——直接法（五步曲）＋待定系数法（定义法）；（2）双动点的轨迹问题——代入法；（3）多动点的轨迹问题——参数法＋交轨法。例题1.已知⊙M：xQyx是,1)2(22轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，（1）曲线与方程直线直线的倾斜角和斜率点斜式两点式一般式直线方程的基本形式在线外——点到直线的距离在线上点和直线的位置关系相交两条直线的位置关系平行重合交点夹角简单的线性规划二元一次不等式表示平面区域线性规划线性规划的实际应用垂直圆圆的定义圆的方程标准式一般式参数式点与圆的位置关系位置关系判定方法：点到圆心的距离与半径R的比较圆内圆外圆上圆与圆的位置关系外切、相交、内切、内含应用两立方程的解式圆心点与两半径和（差）比较位置关系判定方法：圆心距离与两半径和（差）的比较直线与圆的位置关系相交相切——圆的切线相等交点弦长位置关系判定方法：圆心到直线的距离d与半径R的比较圆锥曲线——椭圆、曲线、直线—定义—标准方程性质：对称性、焦点、顶点、离率、准线、焦半径等直线与圆锥曲线的位置关系如果324||AB，求直线MQ的方程；（2）求动弦AB的中点P的轨迹方程.解析：（1）两点确定一条直线；（2）利用平面几何知识，找出关系。答案：（1）由324||AB，可得,31)322(1)2||(||||2222ABMAMP由射影定理，得,3|||,|||||2MQMQMPMB得在Rt△MOQ中，523||||||2222MOMQOQ，故55aa或，所以直线AB方程是;0525205252yxyx或（2）连接MB，MQ，设),0,(),,(aQyxP由点M，P，Q在一直线上，得(*),22xya由射影定理得|,|||||2MQMPMB即222(2)4xya＝1（**）把（*）及（**）消去a，并注意到2y，可得).2(161)47(22yyx点评：合理应用平面几何知识，这是快速解答本题的关键所在。例题2.（湖北省十一校）在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点为A（0，－1），B（0，1）平面内两点G、M同时满足：①0GAGBGC，②||MA＝||MB＝||MC③GM∥AB（1）求顶点C的轨迹E的方程（2）设P、Q、R、N都在曲线E上，定点F的坐标为（2，0），已知PF∥FQ，RF∥FN且PF·RF＝0.求四边形PRQN面积S的最大值和最小值.分析：本例（1）要熟悉用向量的方式表达点特征；（2）要把握好直线与椭圆的位置关系，弦长公式，灵活的运算技巧是解决好本题的关键。解：（1）设C(x，y)，2GAGBGO，由①知2GCGO，G为△ABC的重心，G(3x，3y)由②知M是△ABC的外心，M在x轴上由③知M（3x，0），由||||MCMA得222()1()33xxxy化简整理得：2213xy（x≠0）。（2）F（2，0）恰为2213xy的右焦点设PQ的斜率为k≠0且k≠±22，则直线PQ的方程为y＝k(x－2)由222222(2)(31)62630330ykxkxkxkxy设P(x1，y1)，Q(x2，y2)则x1＋x2＝226231kk，x1·x2＝226331kk则|PQ|＝21k·21212()4xxxx＝21k·222226263()43131kkkk＝2223(1)31kkRN⊥PQ，把k换成1k得|RN|＝2223(1)3kkS＝12|PQ|·|RN|＝22226(1)(31)(3)kkk＝228213()10kk)22183()102kkS221kk≥2，82S≥1632≤S2，(当k＝±1时取等号)又当k不存在或k＝0时S＝2综上可得32≤S≤2Smax＝2，Smin＝32点评：本题考查了向量的有关知识，椭圆与直线的基本关系，二次方程的根与系数的关系及不等式，转化的基本思想方法以及运用综合知识解决问题的能力。考点二圆锥曲线的几何性质例题3．设F1、F2为椭圆14922yx的两个焦点，P为上一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且｜PF1｜＞｜PF2｜，求||||21PFPF的值.分析：由已知，F1不是直角顶点，所以只要对P、F2中哪一个是直角顶点分两种情况即可.解法1：由已知，｜PF1｜＞｜PF2｜，｜PF1｜＋｜PF2｜＝6，｜F1F2｜＝52，若∠PF2F1为直角，则｜PF1｜2＝｜PF2｜2＋｜F1F2｜2，可解得：｜PF1｜＝314，｜PF2｜＝34，这时27||||21PFPF.若∠F2PF1为直角，则｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2，可解得：｜PF1｜＝4，｜PF2｜＝2，这时2||||21PFPF.解法2：由椭圆的对称性，不妨设P(x，y)（其中x0，y0），)0,5(),0,5(21FF.若∠PF2F1为直角，则P（34,5），这时｜PF1｜＝314，｜PF2｜＝34，这时27||||21PFPF.若∠PF2F1为直角，则由15514922xyxyyx，解得：)554,553(P.于是｜PF1｜＝4，｜PF2｜＝2，这时2||||21PFPF.点评：由椭圆的方程，熟练准确地写出其几何性质（如顶点，焦点，长、短轴长，焦距，离心率，焦半径等）是应对考试必备的基本功；在解法2