08高考数学平面向量复习测试

08高考数学平面向量复习测试命题人：越秀区教育发展中心余建炜一、平面向量的实际背景与基本概念1．（人教版P85例2）如图1，设O是正六边形的中心，分别写出图中与OA、OB、OC相等的向量。变式1：如图1，设O是正六边形的中心，分别写出图中与OD、DC共线的向量。解：变式2：如图2，设O是正六边形的中心，分别写出图中与DA的模相等的向量以及方向相同的向量。解：二、平面向量的线性运算2.（人教版第96页例4）如图，在平行四边形ABCD中，ABa，ADb，你能用a，b表示向量AC，DB吗？变式1：如图，在五边形ABCDE中，ABa，BCb，CDc，EAd，试用a，b，c，d表示向量CE和DE.解：CEBECBBAAECB(a+b+d)()DEEAABBCCD(d+a+b+c)变式2：如图，在平行四边形ABCD中，若，OAa，OBb则下列各表述是正确的为（）A．OAOBABB．OCODABDCABDECABDCOABBACOFDE图1BACOFDE图2C．CDa+bD．BC(a+b)正确答案：选D变式3：已知OA=a，OB=b,OC=c,OD=d,且四边形ABCD为平行四边形，则（）A.a+b+c+d=0B.a－b+c－d=0C.a+b－c－d=0D.a－b－c+d=0正确答案：选A变式4：在四边形ABCD中，若12ABCD，则此四边形是()A．平行四边形B．菱形C．梯形D．矩形正确答案：选C变式5：已知a、b是非零向量，则|a|=|b|是(a+b)与(a－b)垂直的（）A．充分但不必要条件BC．充要条件D．既不充分也不必要条件正确答案：选C变式6：在四边形ABCD中，AB=a+2b，BC=－4a－b，CD=－5a－3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为（）A.平行四边形B.矩形C.梯形D.菱形【解析】∵AD=CDBCAB=－8a－2b=2BC，∴BCAD//.∴四边形ABCD为梯形.正确答案：选C变式7：已知菱形ABCD，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则AP等于（）A.λ(AB+AD),λ∈(0,1)B.λ(AB+BC),λ∈(0,22)C.λ(AB－AD),λ∈(0,1)D.λ(BCAB),λ∈(0,22)【解析】由向量的运算法则AC=AB+AD，而点P在对角线AC上，所以AP与AC同向，且|AP|＜|AC|,∴AP=λ(AB+AD),λ∈(0,1).正确答案：选A变式8：已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，且BC=a，CA=b，AB=c,则下列各式：①EF=21c－21b②BE=a+21b③CF=－21a+21b④AD+BE+CF=0其中正确的等式的个数为（）A.1B.2C.3D.4正确答案：选B3．（人教版第98页例6）如图，已知任意两个非零向量a、b，试作OAa+b，OBa+2b，OCa+3b，你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？变式1：已知OAa+2b，OB2a+4b，OC3a+6b(其中a、b是两个任意非零向量)，证明：A、B、C三点共线．证明：∵ABOBOAa+2b，ACOCOA2a+4b，∴2ACAB所以，A、B、C三点共线．变式2：已知点A、B、C在同一直线上，并且OAa+b，(2)OBma+2b，(1)OCna+3b(其中a、b是两个任意非零向量)，试求m、n之间的关系．解：(3)ABOBOAma+b，ACOCOAna+2b由A、B、C三点在同一直线上可设ABkAC，则(3)21mknk所以1(3)2mn即260mn为所求．4．（人教版第102页第13题）已知四边形ABCD，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：EFHG变式1：已知任意四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F，求证：2ABDCEF.证明：如图，连接EB和EC，由EAABEB和EFFBEB可得，EAABEFFB（1）由EDDCEC和EFFCEC可得，EDDCEFFC（2）（1）+（2）得，2EAEDABDCEFFBFC（3）∵E、F分别为AD和BC的中点，∴0EAED，0FBFC，代入（3）式得，2ABDCEFbaDCEFAB三、平面向量的基本定理及坐标表示2.（人教版第109页例6）已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a//b，求y．变式1：与向量a=(12，5)平行的单位向量为（）A．1251313，-B．1251313，-C．1251313，或1251313，-D．1251313，或1251313，-正确答案：选C变式2：已知a(1,2)，b,1x，当a+2b与2a－b共线时，x值为（）A．1B．2C．13D．12正确答案：选D变式3：已知A(0,3)、B(2,0)、C(－1,3)与ACAB2方向相反的单位向量是()A．(0,1)B．(0,－1)C．(－1,1)D．(1,－1)正确答案：选A变式4：已知a=(1，0)，b=(2，1)．试问：当k为何实数时，ka－b与a+3b平行,平行时它们是同向还是反向？解：因为ka－b21k，，a+3b73，．由已知得，3270k解得13k，此时，ka－b713，，a+3b73，，二者方向相反．2.（人教版第110页例8）设点P是线段12PP上的一点，1P、2P的坐标分别为11yx，，22yx，．(1)当点P是线段12PP上的中点时，求点P的坐标；(2)当点P是线段12PP的一个三等分点时，求P的坐标变式1：已知两点3,2M，5,5N，12MPMN，则P点坐标是（）OAPQBabA．8,1B．31,2C．31,2D．8,1正确答案：选B变式2：如图，设点P、Q是线段AB的三等分点，若OA＝a，OB＝b，则OP＝2133ab，OQ＝1233ab(用a、b表示)四、平面向量的数量积5．（人教版第116页例3）已知|a|＝6，|b|＝4且a与b的夹角为60，求(a+2b)·(a3b)．变式1：已知3,4,223,ababab那么a与b夹角为A、60B、90C、120D、150正确答案：选C变式2：已知向量a和b的夹角为60°，|a|＝3，|b|＝4，则（2a–b）·a等于（A）15（B）12（C）6（D）3正确答案：选B变式3：在△ABC中，已知|AB|=4，|AC|=1，S△ABC=3，则AB·AC等于（）A.－2B.2C.±2D.±4正确答案：选C变式4：设向量2172eet与向量21ete的夹角为钝角，求实数t的取值范围.解：∵0))(72(2121eteeet，故071522tt，解之217t．另有tt7,2，解之14,214t，∴)21,214()214,7(t．2.（人教版第116页例4）已知|a|＝3，|b|＝4且a与b不共线，k为何实数时，向量a+kb与akb互相垂直？变式1：已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且向量3a+2b与kab互相垂直，则k的值为（）A．32B．32C．32D．1正确答案：选B变式2：已知|a|＝1，|b|＝2且（a－b）⊥a，则a与b夹角的大小为45º．解：2.（人教版第119页第11题）已知a=(4，2)，求与向量a垂直的单位向量的坐标．变式1：若i=(1,0),j=(0,1)，则与2i+3j垂直的向量是()A．3i+2jB．－2i+3jC．－3i+2jD．2i－3j正确答案：选C变式2：已知向量)1,1(a，)3,2(b，若bak2与a垂直，则实数k=（）A．1B．－1C．0D．2正确答案：选B变式3：若非零向量ba,互相垂直，则下列各式中一定成立的是（）A．babaB．||||babaC．0))((babaD．0)(2ba正确答案：选B变式4：已知向量a＝（3，－4），b＝（2，x），c＝（2，y）且a∥b，ac．求|b－c|的值．解：∵a∥b，∴3x＋8＝0．∴x＝38．∴b＝（2，38）．∵ac，∴6－4y＝0．∴y＝23．∴c＝（2，23）．而b－c＝（2，38）－（2，23）＝（0，－256），∴|b－c|＝256．（人教版第118页例5）已知A(1，2)，B(2，3)，C(2，5)，试判断ABC的形状，并给出证明．变式1：O是ABC所在的平面内的一点，且满足0OBOCOCOA，则ABC一定为（）A．正三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．斜三角形正确答案：选C变式2：已知A、B、C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O是△ABC的（）A．重心B．垂心C．内心D．外心正确答案：选A变式3：已知02ABBCAB，则△ABC一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形正确答案：选B变式4：四边形ABCD中，)3,2(),,(),1,6(CDyxBCAB（1）若DABC//，试求x与y满足的关系式；（2）满足（1）的同时又有BDAC，求yx,的值及四边形ABCD的面积。解：),(yxBC)2,4()2,4()(yxyxCDBCABADDA（1）DABC//则有0)4()2(xyyx化简得：02yx（2）)1,6(yxBCABAC)3,2(yxCDBCBD又BDAC则0)3()1()2()6(yyxx化简有：0152422yxyx联立015240222yxyxyx解得36yx或12yxDABC//BDAC则四边形ABCD为对角线互相垂直的梯形当36yx)0,8()4,0(BDAC此时1621BDACSABCD当12yx)4,0()0,8(BDAC此时1621BDACSABCD五、平面向量应用举例（人教版第121页例1）题目意图：用平面向量的方法证明平面几何命题：平行四边形两条对角线的平方和等于其两条邻边的平方和的两倍变式1：如图，矩形ABCD内接于半径为r的圆O，点P是圆周上任意一点，求证：PA2+PB2+PC2+PD2=8r2.证明：OPOAOPOAPA2222，OPOBOPOBPB22222，OPOCOPOCPC22222，OPODOPODPD22222，以上各式相加可证．变式2：已知△ABC中，cABbCAaBC,,，若accbba，求证：△ABC为正三角形.证明：accb，∴0)(abc，又∵0cba，)(bac，故0))((abba，知a=b，同理可知b=c，故a=b=c，得证．变式3：已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证OEODOCOBOA4.【证明】∵E是对角线AC与BD的交点，∴DEEDBECEECAE,.在△OAC中，OEAEOA，同理有OEDEODOECEOCOEBEOB,,.四式相加可得：OEODOCOBOA4.变式4：四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F，求证：)(21DCABEF【证法一】∵E、F分别为DA、BC的中点.∴BFFCEADE,又∵DECDFCEF=0①AEBAFBEF=0②①+②，得2)()()(AEDEBACDFBFCEF=0∴2ABDCBACDEF)(∴)(21DCABEF【证法二】连结EC，E