08高考数学立体几何变式题练习

图1AABBCC23图1－208高考数学立体几何变式题练习1．（人教A版，必修2．P17．第4题）图1是一个几何体的三视图，想象它的几何结构特征，并说出它的名称．变式题1．如图1－1是一个几何体的三视图（单位：cm）（Ⅰ）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）；（Ⅱ）求这个几何体的表面积及体积；（Ⅲ）设异面直线AA与BC所成的角为，求cos．解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图1－2所示．（Ⅱ）这个几何体是直三棱柱．由于底面ABC的高为1，所以22112AB．故所求全面积22ABCBBCCABBASSSS12213223286222(cm)．正视图侧视图俯视图俯视图A正视图侧视图ABBABCABCABC123113图1－1这个几何体的体积121332ABCVSBB3(cm)（Ⅲ）因为//AABB，所以AA与BC所成的角是BBC．在RtBBC中，22223213BCBBBC，故33cos131313BBBC．2．（人教A版，必修2，P20．例3）如图2，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．变式题2－1．如图2－1．已知几何体的三视图（单位：cm）．（Ⅰ）画出它的直观图（不要求写画法）；（Ⅱ）求这个几何体的表面积和体积．解（Ⅰ）这个几何体的直观图如图2－2所示．俯视图PP正视图侧视图OOOO2PP正视图侧视图OOOO2222222俯视图图2图2－1POO图2－21A图2－4ABCEDPQ1B1D1C（Ⅱ）这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱（底面半径为1cm，高为2cm），它的上部是一个圆锥（底面半径为1cm，母线长为2cm，高为3cm）．所以所求表面积21212127S2(cm)，所求体积22131213233V3(cm)．变式题2－2．如图2－3，已知几何体的三视图（单位：cm）．（Ⅰ）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）；（Ⅱ）求这个几何体的表面积及体积；（Ⅲ）设异面直线1AQ、PD所成角为，求cos．（理科考生）解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图2－4所示．（Ⅱ）这个几何体可看成是由正方体1AC及直三棱柱1111BCQADP的组合体．由112PAPD，112ADAD，可得11PAPD．故所求几何体的全面积221522222222422S2(cm)所求几何体的体积231222102V3(cm)（Ⅲ）由//PQCD，且PQCD，可知//PDQC，俯视图正视图侧视图PPPAA1A1A1A1B1BB1C1D1DDQQ222222211图2－31D图3－1A1ABCD1B1CFE故1AQC为异面直线1AQ、PD所成的角（或其补角）．由题设知222221111226AQABBQ，13223AC，取BC中点E，则QEBC，且3QE，222223110QCQEEC．由余弦定理，得2221111coscos2AQQCACAQCAQQC6101215152610．3．（北师大版．必修2．P31．第4题）如图3，已知E，F分别是正方体1111ABCDABCD的棱1AA和棱1CC上的点，且1AECF，求证：四边形1EBFD是平行四边形变式题：如图3－1．已知E、F分别是正方体1111ABCDABCD的棱1AA和棱1CC的中点．（Ⅰ）试判断四边形1EBFD的形状；（Ⅱ）求证：平面1EBFD平面11BBD．解（Ⅰ）如图3－2，取1BB的中点M，连结1AM、MF．∵M、F分别是1BB和1CC的中点，∴11//MFBC，在正方体1111ABCDABCD中，有1111//ADBC，∴11//MFAD，图3A1ABCD1B1CF1DE1D图3－2A1ABCD1B1CFE∴四边形11AMFD是平行四边形，∴11//AMDF．又E、M分别是1AA、1BB的中点，∴1//AEBM，∴四边形1AEBM为平行四边形，∴1//EBAM．故1//EBDF．∴四边形1EBFD是平行四边形．又RtEAB≌RtFCB，∴BEBF，故四边形1EBFD为菱形．（Ⅱ）连结EF、1BD、11AC．∵四边形1EBFD为菱形，∴1EFBD．在正方体1111ABCDABCD中，有1111BDAC，111BDAA∴11BD平面11AACC．又EF平面11AACC，∴11EFBD．又111BDBDD，∴EF平面11BBD．又EF平面1EBFD，故平面1EBFD平面11BBDA1AB1BC1CD1D图4A1AB1BC1CD1DxyzF图4－2EA1AB1BC1CD1DF图4－1E4．（人教A版，必修2，P74．例2）如图4，在正方体1111ABCDABCD中，求直线1AB与平面11ABCD所成的角．变式题：如图4－1，已知正四棱柱1111ABCDABCD中，底面边长2AB，侧棱1BB的长为4，过点B作1BC的的垂线交侧棱1CC于点E，交1BC于点F．（Ⅰ）求证：1AC平面BED；（Ⅱ）求1AB与平面BDE所成的角的正弦值．解：（Ⅰ）如图4－2，以D为原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Dxyz．∴1111(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(2,0,4),(2,2,4),(0,2,4),(0,0,4)DABCABCD．设(0,2,)Et，则1(2,0,),(2,0,4)BEtBC．∵1BEBC，∴14040BEBCt．∴1t，∴(0,2,1)E，(2,0,1)BE．又1(2,2,4),(2,2,0)ACDB，∴14040ACBE且14400ACDB．∴1ACDB且1ACBE．∴1ACBD且1ACBE．∴1AC平面BDE．ACDPB图5ABCDPQ图5－1（Ⅱ）由（Ⅰ）知1(2,2,4)AC是平面BDE的一个法向量，又1(0,2,4)AB，∴11111130cos,6||||ACABACABACAB．∴1AB与平面BDE所成角的正弦值为306．5．（人教A版，必修2，P87，第10题）如图5，已知平面,，且,,,,ABPCPDCD是垂足，试判断直线AB与CD的位置关系？并证明你的结论．变式题5－1，如图5，已知平面,，且,,,,ABPCPDCD是垂足．（Ⅰ）求证：AB平面PCD；（Ⅱ）若1,2PCPDCD，试判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论．变式题5－1，如图5，已知平面,，且,,,,ABPCPDCD是垂足．（Ⅰ）求证：AB平面PCD；（Ⅱ）若1,2PCPDCD，试判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论．解（Ⅰ）因为,PCAB，所以PCAB．同理PDAB．又PCPDP，故AB平面PCD．（Ⅱ）设AB与平面PCD的交点为H，连结CH、DH．因为AB平面PCD，所以,ABCHABDH，所以CHD是二面角CABD的平面角．又1,2PCPDCD，所以2222CDPCPD，即090CPD．在平面四边形PCHD中，090PCHPDHCPD，ABCDPQ图5－2E所以090CHD．故平面平面．变式题5－2．如图5－1，已知直二面角AB，,,PQPQ与平面、所成的角都为030，4PQ．,PCABC为垂足，,QDABD为垂足．（Ⅰ）求直线PQ与CD所成角的大小；（Ⅱ）求四面体PCDQ的体积．解：（Ⅰ）如图5－2，在平面内，作//CEDQ，连结PE、QE．则四边形CDQE为平行四边形，所以//EQCD，即PQE为直线PQ与CD所成的角（或其补角）．因为,,ABPCAB．所以PC．同理QD．又PQ与平面、所成角为030，所以030PQC，030QPD，所以03cos304232CQPQ，01sin30422DQPQ．在RtCDQ中，2212422CDCQDQ，从而22EQ．因为QDAB，且CDQE为平行四边形，所以EQCE．又,PCEQ，所以EQPC．故EQ平面PCE，从而EQPE．在RtPEQ中，222cos42EQPQEPQ．所以045PQE，即直线PQ与CD所成角的大小为045．（Ⅱ）在RtPCQ中，04,30PQPQC，所以2PC．三角形CDQ的面积112222222CDQSCDDQ，故四面体PCDQ的体积1142222333CDQVSPC．6．（人教A版，必修2，P87，B组第1题）如图5，边长为2的正方形ABCD中，（1）点E是AB的中点，点F是BC的中点，将,AEDDCF分别沿,DEDF折起，使,AC两点重合于点A，求证：ADEF．（2）当14BEBFBC时，求三棱锥AEFD的体积．变式题．如图5－1，在矩形ABCD中，2,1,ABADE是CD的中点，以AE为折痕将DAE向上折起，使D为D，且平面DAE平面ABCE．（Ⅰ）求证：ADEB；（Ⅱ）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值．解（Ⅰ）在RtBCE中，222BEBCCE，在RtADE中，222AEDADE，∵22222ABBEAE，∴AEBE．图6－1ABCDEABCDEABCDEFAEBDF图6∵平面AED平面ABCE，且交线为AE，∴BE平面AED．∵AD平面AED，∴ADBE．（Ⅱ）设AC与BE相交于点F，由（Ⅰ）知ADBE，∵ADED，∴AD平面EBD，∵AD平面AED，∴平面ABD平面EBD，且交线为BD，如图6－2，作FGBD，垂足为G，则FG平面ABD，连结AG，则FAG是直线AC与平面ABD所成的角．由平面几何的知识可知12EFECFBAB，∴1233EFEB．在RtAEF中，22225293AFAEEF，在RtEBD中，FGDEFBDB，可求得269FG．∴26309sin15253FGFAGAF．∴直线AC与平面ABD所成的角的正弦值为3015．ABCDEFG图6－2