08高考数学第二轮复习直线与圆的方程

08高考数学直线与圆的方程一、重点知识结构本章以直线和圆为载体，揭示了解析几何的基本概念和方法。直线的倾斜角、斜率的概念及公式、直线方程的五种形式是本章的重点之一，而点斜式又是其它形式的基础；两条直线平行和垂直的充要条件、直线l1到l2的角以及两直线的夹角、点到直线的距离公式也是重点内容；用不等式（组）表示平面区域和线性规划作为新增内容，需要引起一定的注意；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，是解决解析几何两个基本问题的依据；圆的方程、直线（圆）与圆的位置关系、圆的切线问题和弦长问题等，因其易与平面几何知识结合，题目解法灵活，因而是一个不可忽视的要点。二、高考要求1、掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；3、会用二元一次不等式表示平面区域；4、了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用；5、了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法；6、掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念。三、热点分析在近几年的高考试题中，两点间的距离公式，中点坐标公式，直线方程的点斜式、斜率公式及两条直线的位置关系是考查的热点。但由于知识的相互渗透，综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，在高考中极有可能涉及，但难度不会大。四、复习建议本章的复习首先要注重基础，对基本知识、基本题型要掌握好；求直线的方程主要用待定系数法，复习时应注意直线方程各种形式的适用条件；研究两条直线的位置关系时，应特别注意斜率存在和不存在的两种情形；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，随着高考对知识形成过程的考查逐步加强，对坐标法的要求也进一步加强，因此必须透彻理解。既要掌握求曲线方程的常用方法和基本步骤，又能根据方程讨论曲线的性质；圆的方程、直线与圆的位置关系，圆的切线问题与弦长问题都是高考中的热点问题；求圆的方程或找圆心坐标和半径的常用方法是待定系数法及配方法，应熟练掌握，还应注意恰当运用平面几何知识以简化计算。直线【例题】【例1】已知点B（1，4），C（16，2），点A在直线x－3y＋3=0上，并且使ABC的面积等于21，求点A的坐标。解：直线BC方程为2x＋5y－22=0,|BC|=29，设点A坐标(3y－3,y)，则可求A到BC的距离为29|2811|y，∵ABC面积为21，∴2129|2811|2921y，∴11141170或y，故点A坐标为（1170,11177）或（1114,1175）.【例2】已知直线l的方程为3x+4y－12=0,求直线l′的方程,使得：(1)l′与l平行,且过点(－1,3);(2)l′与l垂直,且l′与两轴围成的三角形面积为4.解：(1)由条件,可设l′的方程为3x+4y+m=0,以x=－1,y=3代入,得－3+12+m=0,即得m=－9,∴直线l′的方程为3x+4y－9=0;(2)由条件,可设l′的方程为4x－3y+n=0,令y=0,得4nx,令x=0,得3ny,于是由三角形面积43421nnS,得n2=96,∴64n∴直线l′的方程是06434yx或06434yx【例3】过原点的两条直线把直线2x＋3y－12=0在坐标轴间的线段分成三等分，求这二直线的夹角。解：设直线2x＋3y－12=0与两坐标轴交于A，B两点，则A（0，4），B（6，0），设分点C，D，设COD为所求角。∵2CABC，∴38212402216ccyx，∴C（2，38）.又2DBAD，∴3421442162000yx，∴D(4,34)，∴31,34ODOCkk.∴139313413134|1|ODOCODOCkkkktg，∴139arctg.【例4】圆x2＋y2＋x－6y＋c=0与直线x＋2y－3=0相交于P,Q两点,求c为何值时,OPOQ(O为原点).解：解方程组消x得5y2－20y＋12＋c=0,)12(5121cyy,消y得5x2＋10x＋4c－27=0,)274(5121cxx,∵OPOQ,∴12211xyxy,∴5274512cc，解得c=3.【例5】已知直线y=－2x＋b与圆x2＋y2－4x＋2y－15=0相切,求b的值和切点的坐标.解：把y=－2x＋b代入x2＋y2－4x＋2y－15=0,整理得5x2－4(b＋2)x＋b2＋2b－15=0,令=0得b=－7或b=13,]∵方程有等根，5)2(2bx，得x=－2或x=6，代入y=－2x－7与y=－2x＋13得y=－3或y=1，∴所求切点坐标为（－2，－3）或（6，1）.【例6】已知|a|＜1,|b|＜1,|c|＜1,求证：abc+2＞a+b+c.证明：设线段的方程为y=f(x)=(bc－1)x+2－b－c,其中|b|＜1,|c|＜1,|x|＜1,且－1＜b＜1.∵f(－1)=1－bc+2－b－c=(1－bc)+(1－b)+(1－c)＞0f(1)=bc－1+2－b－c=(1－b)(1－c)＞0∴线段y=(bc－1)x+2－b－c(－1＜x＜1)在x轴上方，这就是说，当|a|＜1,|b|＜1,|c|＜1时，恒有abc+2＞a+b+c.【例7】某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为α(90°≤α＜180°)镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距am,bm,(a＞b).问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？解：建立如图所示的直角坐标系，AO为镜框边，AB为画的宽度，O为下边缘上的一点，在x轴的正半轴上找一点C(x,0)(x＞0),欲使看画的效果最佳，应使∠ACB取得最大值.由三角函数的定义知：A、B两点坐标分别为(acosα,asinα)、(bcosα,bsinα),于是直线AC、BC的斜率分别为：kAC=tanxCA=xaaαcosαsin,.αcosαsintanxbbxCBkBC于是tanACB=ACBCACBCkkkk1αcos)(αsin)(αcos)(αsin)(2baxxabbaxxbaabxba由于∠ACB为锐角，且x＞0,则tanACB≤αcos)(2αsin)(baabba,当且仅当xab=x，即x=ab时，等号成立，此时∠ACB取最大值，对应的点为C(ab,0),因此，学生距离镜框下缘abcm处时，视角最大，即看画效果最佳.【例8】预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌、椅各买多少才行？解：设桌椅分别买x,y张，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为0,05.120002050yxxyxyyx由72007200,20002050yxxyyx解得∴A点的坐标为(7200，7200)由27525,5.120002050yxxyyx解得∴B点的坐标为(25，275)所以满足约束条件的可行域是以A(7200，7200)，B(25，275)，O(0，0)为顶点的三角形区域(如右图)由图形直观可知，目标函数z=x+y在可行域内的最优解为(25，275)，但注意到x∈N,y∈N*,故取y=37.故有买桌子25张，椅子37张是最好选择.【例9】已知甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三种食物各x千克，y千克，z千克配成100千克混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.甲乙丙维生素A（单位/千克）600700400维生素B（单位/千克）800400500成本（元/千克）1194（Ⅰ）用x，y表示混合食物成本c元；（Ⅱ）确定x，y，z的值，使成本最低．解：（Ⅰ）由题，1194cxyz，又100xyz，所以，40075cxy．（Ⅱ）由60070040056000,10080040050063000xyzzxyxyz及得，463203130xyxy，所以，75450.xy所以，40075400450850,cxy当且仅当4632050,313020xyxxyy即时等号成立．所以，当x=50千克，y=20千克，z=30千克时，混合物成本最低，为850元．点评：本题为线性规划问题，用解析几何的观点看，问题的解实际上是由四条直线所围成的区域00463203130xyxyxy上使得40075cxy最大的点．不难发现，应在点M（50，20）处取得．【直线练习1】一、选择题1．设M=120110,1101102002200120012000N，则M与N的大小关系为()A.M＞NB.M=NC.M＜ND.无法判断2．三边均为整数且最大边的长为11的三角形的个数为()xy3x-y=1304x+6y=320MA.15B.30C.36D.以上都不对二、填空题3．直线2x－y－4=0上有一点P，它与两定点A(4，－1)，B(3，4)的距离之差最大，则P点坐标是_________.4．自点A(－3，3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2－4x－4y+7=0相切，则光线l所在直线方程为_________.5．函数f(θ)=2cos1sin的最大值为_________，最小值为_________.6．设不等式2x－1＞m(x2－1)对一切满足|m|≤2的值均成立，则x的范围为_________.三、解答题7．已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点.(1)证明：点C、D和原点O在同一直线上.(2)当BC平行于x轴时，求点A的坐标.8．设数列{an}的前n项和Sn=na+n(n－1)b，(n=1,2,…),a、b是常数且b≠0.(1)证明：{an}是等差数列.(2)证明：以(an,nSn－1)为坐标的点Pn(n=1,2,…)都落在同一条直线上，并写出此直线的方程.(3)设a=1,b=21,C是以(r,r)为圆心，r为半径的圆(r＞0)，求使得点P1、P2、P3都落在圆C外时，r的取值范围.参考答案一、1.解析：将问题转化为比较A(－1，－1）与B(102001，102000）及C(102002，102001）连线的斜率大小，因为B、C两点的直线方程为y=101x，点A在直线的下方，∴kAB＞kAC,即M＞N.答案：A2.解析：设三角形的另外两边长为x,y,则11110110yxyx点(x,y）应在如右图所示区域内当x=1时，y=11；当x=2时，y=10,11；当x=3时，y=9,10,11；当x=4时，y=8,9,10,11;当x=5时，y=7,8,9,10,11.以上共有15个，x,y对调又有15个，再加上(6，6），(7，7），(8，8），(9，9），(10，10）、(11，11）六组，所以共有36个.答案：C二、3.解析：找A关于l的对称点A′，A′B与直线l的交点即为所求的P点.答案：P(5，6）4.解析：光线l所在的直线与圆x2+y2－4x－4y+7=0关于x轴对称的圆相切.答案：3x+4y－3=0或4x+3y+3=05.解析：f(θ)=2cos1sin表示两点(cosθ,sinθ)与(2,1)连线的斜率.答案：3406.解析：原不等式变为(x2－1)m+(1－2x)＜0,构造线段f(m)=(x2－1)m+1－2x,－2≤m≤2,则f(－2