08高考理科数学不等式问题的题型与方法

专题三：高考数学不等式问题的题型与方法（理科）一、考点回顾1．高考中对不等式的要求是：理解不等式的性质及其证明；掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；掌握简单不等式的解法；理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。2．不等式这部分内容在高考中通过两面考查，一是单方面考查不等式的性质，解法及证明；二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高学生数学素质及创新意识．3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰．4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．5．在近几年全国各省市的高考试卷中，不等式在各种题型中都有出现。在解答题中，不等式与函数、数列与导数相结合，难度比较大，使用导数解决逐渐成为一般方法6．知识网络不等式不等式的性质不等式的证明基本不等式不等式的解法比较法综合法分析法数学归纳法换元法反证法导数法有理不等式无理不等式指数不等式对数不等式绝对不等式不等式的应用定义域值域单调性根的分布最值问题范围问题实际应用其中：指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式，不做过高要求.二、经典例题剖析1．有关不等式的性质此类题经常出现在选择题中，一般与函数的值域，最值与比较大小等常结合在一起例1．（2006年江西卷）若a0，b0，则不等式－b1xa等价于（）A．1b－x0或0x1aB.－1ax1bC.x-1a或x1bD.x1b－或x1a解析：－b1xa等价于－b1x0或01xa等价于x1b－或x1a答案：D点评：注意不等式baba11和适用条件是0ab例2.（2007年北京卷）如果正数abcd，，，满足4abcd，那么（）Ａ．abcd≤，且等号成立时abcd，，，的取值唯一Ｂ．abcd≥，且等号成立时abcd，，，的取值唯一Ｃ．abcd≤，且等号成立时abcd，，，的取值不唯一Ｄ．abcd≥，且等号成立时abcd，，，的取值不唯一解析：正数abcd，，，满足4abcd，∴4=2abab，即4ab，当且仅当a=b=2时，“=”成立；又4=2()2cdcd，∴c+d≥4，当且仅当c=d=2时，“=”成立；综上得abcd≤，且等号成立时abcd，，，的取值都为2答案：A点评：本题主要考查基本不等式，命题人从定值这一信息给考生提供了思维，重要不等式可以完成和与积的转化，使得基本不等式运用成为现实。例3．(2007年安徽)若对任意xR,不等式x≥ax恒成立，则实数a的取值范围是(A)a＜－1(B)a≤1(C)a＜1（D）a≥1解析：若对任意xR,不等式x≥ax恒成立，当x≥0时，x≥ax，a≤1，当x＜0时，－x≥ax，∴a≥－1，综上得11a，即实数a的取值范围是a≤1，选B。2．有关不等式的解法此类问题在高考中选择题，填空题及解答题中均有出现，并且这几年考查也为较为平凡，要求掌握几种简单的不等式的解法，如分式不等式，高次不等式，无理不等式及含有绝对值的不等式的解法，特别要注意含参数不等式，这类问题经常一集合结合在一起出现在解答题中。例4．（2007年北京卷）已知集合|1Axxa≤，2540Bxxx≥．若AB，则实数a的取值范围是解析：集合|1Axxa≤={x|a－1≤x≤a+1}，2540Bxxx≥={x|x≥4或x≤1}．又AB，∴1411aa，解得2a3，实数a的取值范围是(2，3)。答案：(2，3)点评：本题将绝对不等式，一元二次不等式的解法与集合的知识结合起来考查，属中档题例5．（2007年湖北卷）设P和Q是两个集合，定义集合|PQxxPxQ，且，如果2|log1Pxx，|21Qxx，那么PQ等于（）Ａ．|01xxＢ．|01xx≤Ｃ．|12xx≤Ｄ．|23xx≤解析：先解两个不等式得02Pxx，13Qxx。由PQ定义选Ｂ答案：Ｂ点评：本题通过考察两类简单不等式的求解，进一步考察对集合的理解和新定义的一种运算的应用，体现了高考命题的创新趋向。此处的新定义一般称为两个集合的差。注意点：对新定义理解不全，忽略端点值而误选Ａ，以及解2|log1Pxx时出错。例6．（2007年江西卷）已知函数21(0)()2(1)xccxxcfxkcx≤在区间(01)，内连续，且29()8fc．（1）求实数k和c的值；（2）解不等式2()18fx．解析：（1）因为01c，所以2cc，由29()8fc，即3918c，12c．又因为4111022()1212xxxfxkx≤在12x处连续，所以215224fk，即1k．（2）由（1）得：4111022()12112xxxfxx≤由2()18fx得，当102x时，解得2142x．当112x≤时，解得1528x≤，所以2()18fx的解集为2548xx．点评：本题在分段函数的背景下考查不等式的解法，巧妙地将连续结合在一起，近几年来这类以分段函数为背景下的命题很多，逐步形成了热点问题，很值得重视3．有关不等式的证明不等式的证明非常活跃，它可以和很多知识如函数、数列、三角、导数等相联系，证明时不仅要用到不等式的相关知识，还要用到相关的技能、技巧，应注意加强逻辑推理能力的训练。例7．（2006年天津卷）已知数列nx满足121xx并且11,(nnnnxxxx为非零参数，2,3,4,...).n（I）若1x、3x、5x成等比数列，求参数的值；（II）设01，常数*kN且3,k证明*1212...().1kkknkknxxxnNxxx（I）解：由已知121,xx且36335244345213243,,.xxxxxxxxxxxxxxx若1x、3x、5x成等比数列，则2315,xxx即26.而0,解得1.（II）证明：设1,nnnxax由已知，数列na是以211xx为首项、为公比的等比数列，故11,nnnxx则1112....nknknknnnknknxxxxxxxx(3)2312.....kkknnknkn因此，对任意*,nN1212...kknknxxxxxx(3)(3)(3)2222...kkkkkkkkkn(3)(3)222(1)(...).1kkkkknkkknkk当3k且01时，(3)201,011,kknk所以*1212...().1kkknkknxxxnNxxx点评：本题以数列的递推关系为载体，主要考查等比数列的等比中项及前n项和公式、等差数列前n项和公式、不等式的性质及证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力4．有关不等式的综合问题例8．用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如右图)设容器高为h米，盖子边长为a米，(1)求a关于h的解析式；(2)设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？求出V的最大值(求解本题时，不计容器厚度)解析新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆①设h′是正四棱锥的斜高，由题设可得新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆12222412214haaaha消去)0(11:.2ahah解得②由)1(33122hhhaV(h＞0)得2121)1(31hhhhhhV而所以V≤61，当且仅当h=h1即h=1时取等号故当h=1米时，V有最大值，V的最大值为61立方米新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆评注新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆本题主要考查建立函数关系式，棱锥表面积和体积的计算及用均值定论求函数的最值新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆注意新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆在求得a的函数关系式时易漏h＞0例9．（2007年全国卷I）设函数()xxfxee（Ⅰ）证明：()fx的导数'()2fx；（Ⅱ）若对所有0x都有()fxax，求a的取值范围。解析：（Ⅰ）()fx的导数()eexxfx．由于ee2ee2x-xxx≥，当且仅当0x时，等号成立，故()2fx≥．（Ⅱ）令()()gxfxax，则()()eexxgxfxaa，（ⅰ）若2a≤，当0x时，()ee20xxgxaa≥，故()gx在(0)，∞上为增函数，所以，0x≥时，()(0)gxg≥，即()fxax≥．（ⅱ）若2a，方程()0gx的正根为214ln2aax，此时，若1(0)xx，，则()0gx，故()gx在该区间为减函数．所以，1(0)xx，时，()(0)0gxg，即()fxax，与题设()fxax≥相矛盾．综上，满足条件的a的取值范围是2∞，．点评：本题将导数、均值不等式的应用、恒成立问题的解法交汇在一起考查，要求要有较强的运用数学知识解决问题的能力。例10（2007年福建卷）已知函数f(x)＝－kx，.（1）若k＝e，试确定函数f(x)的单调区间；（2）若k0，且对于任意确定实数k的取值范围；（3）设函数F(x)＝f(x)+f(-x)，求证：F(1)F(2)…F(n)（）。解析：（Ⅰ）由ek得()eexfxx，所以()eexfx．由()0fx得1x，故()fx的单调递增区间是(1)，，由()0fx得1x，故()fx的单调递减区间是(1)，．（Ⅱ）由()()fxfx可知()fx是偶函数．于是()0fx对任意xR