中考数学复习：专题三：动点或最值问题

专题三动点或最值问题动点问题是指以几何知识和图形为背景，渗入运动变化观点的一类问题，常见的形式是：点在线段、射线或弧线上运动等．此类题的解题方法：1．利用动点(图形)位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题．2．利用函数与方程的思想和方法将要解决图形的性质(或所求图形面积)直接转化为函数或方程．我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，统称最值问题．解决动态几何题的三个策略：(1)动中觅静：这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性．(2)动静互化：“静”只是“动”的瞬间，是运动的一种特殊形式，动静互化就是抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动”与“静”的关系．(3)以动制动：以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系，通过研究运动函数，用联系发展的观点来研究变动元素的关系．解决最值问题的两种方法：(1)应用几何性质：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④定圆的所有弦中，直径最长.(2)运用代数证法：①运用配方法求二次三项式的最值；②运用一元二次方程根的判别式．【例1】(2016·乐山)如图，在反比例函数y＝－2x的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC＝BC，当点A运动时，点C始终在函数y＝kx的图象上运动．若tan∠CAB＝2，则k的值为()A．2B．4C．6D．8D点拨：连接OC，过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，如图所示．由直线AB与反比例函数y＝－2x的对称性可知A，B点关于O点对称，∴AO＝BO.又∵AC＝BC，∴CO⊥AB.∵∠AOE＋∠EOC＝90°，∠EOC＋∠COF＝90°，∴∠AOE＝∠COF，又∵∠AEO＝90°，∠CFO＝90°，∴△AOE∽△COF，∴AECF＝OEOF＝AOCO.∵tan∠CAB＝COAO＝2，∴CF＝2AE，OF＝2OE.又∵AE·OE＝|－2|＝2，CF·OF＝|k|，∴k＝±8.∵点C在第一象限，∴k＝8【点评】本题是动点几何问题，解题的关键是求出CF·OF＝8.解决该题型题目时，巧妙的利用了相似三角形的性质找出对应边的比例，再结合反比例函数图象上点的坐标特征找出结论．[对应训练]1．(1)(2016·舟山)如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为(－1，0)，∠ABO＝30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ＝3，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为____．4点拨：在Rt△AOB中，∵∠ABO＝30°，AO＝1，∴AB＝2，BO＝22－12＝3，①当点P从O→B时，如图1、图2所示，点Q运动的路程为3；②当点P从B→C时，如图3所示，这时QC⊥AB，则∠ACQ＝90°，∵∠ABO＝30°，∴∠BAO＝60°，∴∠OQD＝90°－60°＝30°，∴cos30°＝CQAQ，∴AQ＝CQcos30°＝2，∴OQ＝2－1＝1，则点Q运动的路程为QO＝1；③当点P从C→A时，如图3所示，点Q运动的路程为QQ′＝2－3；④当点P从A→O时，点Q运动的路程为AO＝1，∴点Q运动的总路程为3＋1＋2－3＋1＝4，故答案为4(2)(2016·苏州)如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为(8，0)，(0，23)，C是AB的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，动点P从点D出发，沿DC向点C匀速运动，过点P作x轴的垂线，垂足为E，连接BP，EC.当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，点P的坐标为_________．(1，3)点拨：∵点A，B的坐标分别为(8，0)，(0，23)，∴BO＝23，AO＝8，由CD⊥BO，C是AB的中点，可得BD＝DO＝12BO＝3＝PE，CD＝12AO＝4，设DP＝a，则CP＝4－a，延长BP交CE于F，当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，∠FCP＝∠DBP，又∵EP⊥CP，PD⊥BD，∴∠EPC＝∠PDB＝90°，∴△EPC∽△PDB，∴DPPE＝DBPC，即a3＝34－a，解得a1＝1，a2＝3(舍去)，∴DP＝1，又∵PE＝3，∴P(1，3)D【例2】(2016·雅安)如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AE⊥BD，垂足为E，ED＝3BE，点P，Q分别在BD，AD上，则AP＋PQ的最小值为()A．22B.2C．23D．33点拨：设BE＝x，则DE＝3x，∵四边形ABCD为矩形，且AE⊥BD，∴△ABE∽△DAE，∴AE2＝BE·DE，即AE2＝3x2，∴AE＝3x，在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2＝AE2＋DE2，即62＝(3x)2＋(3x)2，解得x＝3，∴AE＝3，DE＝33，如图，设A点关于BD的对称点为A′，连接A′D，PA′，则A′A＝2AE＝6＝AD，AD＝A′D＝6，∴△AA′D是等边三角形，∵PA＝PA′，∴当A′，P，Q三点在一条线上时，A′P＋PQ最小，由垂线段最短可知当PQ⊥AD时，A′P＋PQ最小，∴AP＋PQ＝A′P＋PQ＝A′Q＝DE＝33，故选D【点评】本题主要考查轴对称的应用，利用最小值的常规解法确定出点A的对称点，从而确定出AP＋PQ的最小值的位置是解题的关键，利用条件证明△AA′D是等边三角形，借助几何图形的性质可以减少复杂的计算．B[对应训练]2．(1)(2016·贵港)如图，抛物线y＝－112x2＋23x＋53与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.若点P是线段AC上方的抛物线上一动点，当△ACP的面积取得最大值时，点P的坐标是()A．(4，3)B．(5，3512)C．(4，3512)D．(5，3)点拨：连接PC，PO，PA，设点P坐标(m，－112m2＋23m＋53)．令x＝0，则y＝53，∴C(0，53)，令y＝0，则－112x2＋23x＋53＝0，解得x＝－2或10，∴A(10，0)，B(－2，0)，∴S△PAC＝S△PCO＋S△POA－S△AOC＝12×53×m＋12×10×(－112m2＋23m＋53)－12×53×10＝－512(m－5)2＋12512，∴m＝5时，△PAC面积最大值为12512，此时点P的坐标为(5，3512)，故选B(2)(2016·泸州)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，B(1－a，0)，C(1＋a，0)(a＞0)，点P在以D(4，4)为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则a的最大值是____．6