弹塑性波与冲击动力学-第二章

第二章弹塑性波基本方程2-1物质坐标和空间坐标2-2时间微商与波速2-3物质坐标描述的杆中纵波控制方程2-4特征线与特征线上的相容关系2-5空间坐标描述的控制方程与特征线2-6波阵面上的守恒方程2-1物质坐标和空间坐标连续介质力学的基本出发点之一，是不从微观上考虑物体的真实物质结构，而只是在宏观上把物体看成是连续不断的质点所组成的系统，即把物体看成是质点的连续集合。每个质点在空间上占有一定的空间位置，不同的质点在不同的时间占有不同的空间位置。构形：一个物体中各质点在一定时刻的相互位置的配置。如何描述质点运动？定义坐标系（1）质点命名（为了区别不同的质点），如Xi(a,b,c)（2）描述质点所占据的空间位置xi。i=1，一维；i=3，三维（3）时间坐标t在连续介质力学中，往往采用两种观点和方法来研究介质的运动：Lagrange方法Euler方法。相应地，研究杆的运动时，要先选定坐标系统，一般对应有两种坐标系：Lagrange坐标（即物质坐标，随着介质质点流动来考察）Euler坐标（即空间坐标，固定空间位置来考察）。Lagrange描述（方法）：随着介质中固定的质点来观察物质的运动，所研究的是在给定的质点上各物理量随时间的变化，以及这些量由一个质点转到其他质点时的变化，这种描述介质运动的方法称为Lagrange描述（方法），又叫随体法。Euler描述（方法）：在固定的空间点上来观察物质的运动，所研究的是在给定的空间点上以不同时间到达该点的不同质点的各物理量随时间的变化，以及这些物理量从一个空间点转换到另一空间点时的变化，这种描述介质运动的方法称为Euler描述（方法），又叫当地法。Lagrange坐标：为了识别运动中物体的一个质点，以一组数（a，b，c）作为其标记，不同的质点以不同的数来（a，b，c）表示，这组数（a，b，c）就称为Lagrange坐标（或物质坐标、随体坐标）。Lagrange表示法：t=t0时位置来表示，Euler坐标：为了表示物体质点在不同时刻运动到空间的一个位置，以一组固定于空间的坐标表示该位置，这组坐标称为Euler坐标（或空间坐标）123,,aaa000(,,)abc两种方法的举例说明：城市公共交通部门采用两种方法统计客运量：①在每一辆公交车上安排记录员，记录每辆车在不同时刻（站点）上下车人数（采用Lagrange法，即随体法）；②在每一站点设记录员，记录不同时刻经过该站点的车辆上下车人数，（采用Euler法，即当地法）。以长杆中一维运动为例：X质点命名（质点在参考时刻的空间位置坐标）：X质点任一时刻t在空间所占位置：x质点X物理含义：质点在参考时刻t0时在参考空间坐标系中所占据的位置坐标。参考时刻可以取t0=0时刻，或其它适当的时刻；参考空间坐标系可以与描述运动所用的空间坐标系一致，也可以不同，选取原则取决于研究问题的方便性。X表示法一：介质的运动可表示为质点X在不同的时间t占据不同的空间位置x，即x是X和t的函数(2-1-1)如果固定X，上式给出了质点X如何随时间运动；如果固定t，上式给出了某时刻各质点所占据的空间位置。一般来说，在给定时刻，一个质点只能占有一个空间位置，而一个空间位置也只能有一个质点。),(tXxx表示法二：反过来只要运动是连续单值的，（2-1-1）式可反演为(2-1-2)即X是ｘ和t的函数。（2-1-1）式和（2-1-2）式是描述一维长杆中介质运动的两种形式，二者是可是互换的。),(txXX),(tXxxX在一维情况下，应用Lagrange方法，可将物理量Ψ表达为质点X和时间t的函数：Ψ=F(X,t)。自变量X即为Lagrange坐标（物质坐标）。应用Euler方法，可将物理量Ψ表达为空间坐标x和时间t的函数：Ψ=f(x,t)。自变量x即为Euler坐标（空间坐标）。显然，对于同一物理量Ψ，有Ψ=F(X,t)=f(ｘ,t)(2-1-3)描述同一物理量Ψ，既可以用物质坐标也可以用空间坐标来进行描述，二者还可以进行转换。（1）物质坐标系中描述的物理量空间坐标系中描述的物理量由（2-1-2）、（2-1-3）式，有(2-1-4)（2）空间坐标系中描述的物理量物质坐标系中描述的物理量由（2-1-1）、（2-1-3）式=有(2-1-5)),(txXX(,)(,)FXtfxt),(tXxx(,)(,)FXtfxt(,)(,)[(,),]FXtfxtfxXtt(,)(,)[(,),]fxtFXtFXxtt2-2时间微商与波速三种微商：空间微商（Euler微商）物质微商（Lagrange微商或随体微商）随波微商两种波速：空间波速（Euler波速）物质波速（Lagrange波速）空间微商（Euler微商）：在给定空间位置x上，物理量Ψ对时间t的变化率，即(2-2-1)物质微商（Lagrange微商或随体微商）：随着给定的质点X来观察物理量Ψ对时间t的变化率，即(2-2-2),xxfxttt(,)XXdFXttdtt对于（2-2-2）式应用复合函数求微商的连锁法则，有(,)[(,),][(,),]][(,),](,)(,)XXXxtXxtdFXtfxXttdtttfxXttfxXttxtxtfxtfxtxtxt质点X空间位置对时间的物质微商，即质点X的运动速度Xxdxvtdt(2-2-3)dvdttx(2-2-4)Xxt(,)XXdFXttdtt物理量Ψ为质点速度时，(2-2-4)式变为质点加速度的表达式：(2-2-5)(2-2-4)式中，等式右边第一项通常称为局部变化率，显然在定常场中该项为零；第二项称为迁移变化率，在均匀场中该项为零。与此相对应，(2-2-5)式中，等式右边第一项通常称为局部加速度，第二项称为迁移加速度。Xvdvvvavtdttxdvdttx物质波速（Lagrange波速）：在物质坐标中来观察应力波的传播，设在t时刻波阵面传播到质点X处，以表示波阵面在物质坐标中的传播规律，则物质波速（Lagrange波速）可表示为：(2-2-6)空间波速（Euler波速）：在空间坐标中来观察应力波的传播，设在t时刻波阵面传播到空间点x处，以表示波阵面在空间坐标中的传播规律，则空间波速（Euler波速）可表示为：(2-2-7)物质波速和空间波速都是对同一个应力波的传播速度的描述，但由于选择的坐标不同，其数值不一定相同，除非波阵面前方介质是静止且无变形的。()WdXCtdt()Wdxctdt()Xt()xt随波微商：随着波阵面来观察物理量Ψ对时间t的变化率。根据坐标系的不同，有两种表达式，即在空间坐标系中有:(2-2-8)在物质坐标系中有：(2-2-9)(2-2-9)式中，取物理量Ψ为质点的空间位置x，该式转变为：(2-2-10)WxtdcdttxWXtdCdttXWXtdxxxCdttX设初始时刻某质点X空间位置根据定义为X，随后某时刻该质点到达空间位置x，则位移为u，显然有，故xXu1ttxXuXXX一维长杆中X与x的相互关系ε为工程应变。则(2-2-10)式可简化为：(2-2-11)(1)cvC可以看出，只有当初始质点速度和初始应变为零时，空间波速和物质波速值相同。WXtdxxxCdttX(1)cvC关于空间波速和物质波速的关系，由于通常是取变形（运动）前质点空间位置作为物质坐标，如果波阵面在物质坐标中的传播速度为C，当考虑到物质坐标本身的变形（运动）时，则相对于波阵面前方质点的相对空间波速应是。这相当于流体力学中的局部声速。再考虑到质点本身也以速度v在运动，则波阵面在空间坐标中的绝对空间波速显然是（右传波，如果是左传波则为），这就是该式的物理意义。(1)C(1)cvC(1)cvC2-3物质坐标描述的杆中纵波控制方程2-3-1基本假定（1）平截面假定，即假定杆在变形时横截面保持为平面，沿截面只有均布的轴向应力。按照这一假定，杆中各运动参量（位移、质点速度、应力等）都只是X和t的函数，应力波传播的问题就简化为一维问题了。但是，这一假定只有在长杆的横向尺寸与应力波的波长相比很小时才近似成立。（2）忽略横向惯性效应。即忽略杆中质点横向运动的惯性效应，忽略杆中质点横向膨胀或收缩对动能的贡献。这一假定实际上与第一个假定密不可分。质点的横向运动必然使得动能横向耗散，减小X方向的动能，从而导致X方向应力波阵面的弯曲。如果忽略横向惯性效应，则和都等于零，因而处于单向应力状态，且因为无横向能量耗散，应力波阵面不会弯曲，保持平面状态。YZ（3）应力只是应变的单值函数。对于应变率无关理论，材料的本构关系可写成（2-3-1）这一假定似乎只有在弹性变形范围内（低应变率）才适用或对应变率不敏感的弹塑性材料近似可用。但可以认为材料在某一应变率范围内近似具有唯一的动态应力应变关系，在形式上是应变率无关的，但与静态应力应变关系不同，因为它在一定意义上已考虑了应变率的影响。应变率无关理论在工程应用中具有十分重要的应用价值。()2-3-2控制方程组位移连续方程或质量守恒方程——运动学条件；运动方程或动量守恒方程——动力学条件；能量守恒方程或材料本构关系（物性方程）。（1）位移连续方程考察一维等截面均匀杆中微元体的纵向运动。取杆变形前（设t0=0时）质点的空间位置作为物质坐标，杆轴为X轴，取一微元dX作为研究对象。杆的原始截面积为A0，原始密度为ρ0。在t=t1时刻微元的两个截面分别移动到空间位置x和x+dx，则X截面发生的位移为。uxX根据位移连续条件，为连续函数，有：2uuXttXt2uvutXXXt可得位移连续方程（或称ε和v的相容方程）：（2-3-2）vtX(,)uuXtuXuvt（2）动量守恒方程由图所示，根据牛顿第二定律，作用在微元体两个截面上的作用力之差应等于微元体质量与加速度的乘积，即引入工程应力，可得（2-3-3）此即动量守恒方程（或称σ和v的相容方程）。00(,)(,)(,)(,)(,)FXtvFXdXtFXtFXtdXFXtAdXXt0(,)FXtA0vtX（3）能量守恒方程或材料本构关系（物性方程）由于应力波传播速度很高，在应力波通过微元体的时间内，微元体还来不及和邻近的微元体及周围介质交换热量，因而可视为绝热过程，这一过程遵守能量守恒关系。（2-3-1）式给出的材料的本构关系式实际上是绝热过程中得到的，故无需再另外列出能量守恒方程，由方程（2-3-1）~（2-3-3）可以组成关于变量σ、ε和v的封闭的控制方程组：（2-3-4）0()vtXvtX()（1）以ε和v为未知变量的控制方程组连续可微，对于连续波波速（2-3-5）则（2-3-6）代入（2-3-3）式可得（2-3-7）上式与位移连续方程（2-3-2）式就共同组成了以ε和v为未知变量的控制方程组，即（2-3-8）()ddC01dCd20XCtv22vXtvCtX0vtX（2）以σ和v