数学教师讲解习题的四种境界

讲题的四种境界讲题，是数学课堂的主旋律之一，如何讲题，是老师们必须面临的课题．笔者经十余年的探索、积累，于2003年第一次提出了“讲题的四种境界”的理念，又经近几年的思考、归纳，试图通过本文从更深层次诠释、丰富这一独创理念，并期待得到同行的指点．1什么是“讲题的四种境界”?第一种境界：就题讲题，把题目讲清；(达成目标：一听就能懂)第二种境界：发散题目的多种解(证)法，拓展解题思路，把题目讲透；(达成目标：一点就能透)第三种境界：理清题目的诸多变化，以求探源奠基，把题目讲活；(达成目标：一时忘不了)第四种境界：探究题目之数学思想方法，以能力培养为终极目标，做题目的主人(达成目标：一用真有效)2“讲题的四种境界”理念的基本内容与诠释2．1会解题≠会讲题会解题：针对自己存在的问题，结合自己的知识水平和能力水平，对题目所反映的信息进行处理．其目的是为了求得自己的理解，并能顺利地讲完此题．讲题后情景①教师：我明明讲得很清楚，可学生还是说不懂!——基础太差了!?②学生：课堂上老师讲的我都懂了，为什么下来不会做题?教师：这就奇怪了，既然听懂了，怎么不会做题呢?——悟性有问题!?③教师再讲类似题，甚至将解题的每一个步骤更详细地写出来，然后再布置学生做题．——不信教不会(再不会就没救)!?会讲题：针对学生存在的问题，结合学生的知识水平和能力要求，对题目所反映的信息进行处理．其目的是为了让学生更好地理解、消化、运用．讲题前情景①教师认真做题；②教师反思自己的做题过程：我是怎样思考的?做题过程中遇到哪些障碍?③学生在思考过程中会遇到哪些障碍?怎样讲才会使学生更容易接受?在一次习题课的课前准备时，有如下一道题引起了我的注意：题1如图，将一张长方形纸片翻折，则图中重叠部分是三角形．答案很简单：等腰三角形．由此引起了我的疑问：答案为什么不可以是钝角三角形?是等腰三角形吗?是不是随便一折都是等腰三角形?于是，我拿了一张长方形纸片动手折了起来．结果发现，重叠部分可以是钝角三角形、锐角三角形、直角三角形，但都是等腰三角形，当然，还可以折出等边三角形．如图所示：而要判断三角形形状的变化，只要抓住图中a的变化就轻松搞定，即：①当45＜a＜90时，ABC是锐角三角形；②当0＜a＜45时，ABC是钝角三角形；③当a=45时，ABC是等腰直角三角形，当a=60时，ABC是等边三角形．在讲题时，如果把这些变化融进去，不是更能体现本题的价值吗?从思想方法上看，三角形形状变化体现“分类思想”，而三角形形状发生变化的原因是由a的变化引起的，这又体现了“转化思想”，还有“从特殊到一般思想”、“空间观念”、“图形的轴对称”等等．2007年1月10日和9月20日，我以“一张长方形纸片：折出你的思维”为题，分别在抚州市金溪县第二中学和赣州市崇义县横水中学上了这节课，从课后教师的点评看，反映还是不错的．这说明，我对这道填空题的探究得到了同行的肯定．2．2清楚≠懂≠会清楚：是“分得开”，是教师的讲解可以使学生把事理“分开”了，但是还没有“连上”，即没有把“分开”的东西和学生已知的、熟悉的、可接受的东西连接起来．其讲题效果达到了第一种境界或第二种境界．懂：是“连得上”，是教师的讲解能使学生把题目中所涉及的综合的、不熟悉的“知识结”分解为已知的、熟悉的、可接受的“点”，又能在这些点之间找到已知的、熟悉的、可接受的“线”．其讲题效果达到了第二种境界或第三种境界．会：是通过教师的讲解能使学生在“连得上”的基础上对相关知识进行联络、梳理、发散和拓展，从而培养了学生思维的广阔性和深刻性，并使学生具备了较强的自主探究能力．其讲题效果达到了第三种境界或第四种境界．题2(2007·常州)已知，如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD边AB、CD、DA上，2AH，连接CF．(1)当2DG时，求△FCG的面积；(2)设xDG，用含x的代数式表示△FCG的面积；(3)判断△FCG的面积能否等于1，并说明理由．讲题分析第(1)问中“2DG”寓意于AHDG，即△HAE≌△GDH，且90GHE．又由菱形EFGH可得点F(或CF)此时位于BC边上，由此可知，四边形(菱形)EFGH已特殊化为正方形．所以，△FCG的面积等于△GDH的面积．第(2)问中“xDG”是让菱形EFGH一般化．由于可推知△FCG中，xCG6，所以，作出CG边上的高FM就成为一种必然．由图形的对称性可知，应连接GE，通过证明△HAE≌△FMC，得2AHFM．第(3)问是借助试题中“菱形EFGH的两个顶点E、G分别在正方形ABCD边AB、CD上”的限制作用．由第(2)问可知，2AHFM，是一个定值，则x的大小就限制了△FCG的面积．因为HD＞AH，所以HC＞HB，即①点E不可能与点A重合(x的最小值为0，即HG的最小值等于HD)②点G不能与点C重合(即HG的最大值等于HB)．这样通过求出x的值并由此求出HG(或AE)的值就可以正确判断△FCG的面积能否等于1了．讲题反思1第(1)问中证明“四边形(菱形)EFGH为正方形”非常困难，原答案也只用同理可证△GDH≌△FCG模糊了事，能否消除这个逻辑性障碍?2第(2)问中“连接GE”是学生解题的一个难点，但这一难点的突破没有在试题(或解题)中得到暗示．同时，试题中连接GF有些不流畅．3研究发现：由于点F是随着点G、E的位置变化而变化的，虽然点F到DC的距离2AHFM，是一个定值，但点F到AD的距离却在一定范围内发生变化．为了彰显本题图形背景中的核心思想“特殊～一般～特殊”，可将本题图形置于平面直角坐标系的背景中，以探究动态菱形EFGH中点F的位置变化为主线，改编成下题：题3如图，正方形ABCD的边长为6．以直线AB为羽轴、AD为y轴建立坐标系．菱形EFGH的三个顶点H、E、G分别在正方形ABCD边DA、AB、CD上，已知2AE．(1)如图甲，当点F在边BC上时，求点F的坐标；(2)设xDG．请在图乙中探索：用含x的代数式表示点F的坐标；(3)设点F的横坐标为m．问：m有无最大值和最小值?若有，请求出；若无，请直接作否定的判断，不必说明理由．(思考：正方形ABCD可以作怎样的改变?将正方形ABCD置换成矩形可以吗?平行四边形呢?梯形呢?)2．3应该有=想有+可能有一般说来，教师不会把学生完全没有学的、学生现有知识能力水平无法企及的题目拿给学生做，那么为何有的学生却可能对题目(难题)无从下手呢?此时学生的心态是怎样的呢?教师面对这种情况又该怎样做呢?想有：人的需要、欲望、感情是普遍存在的，学生也不例外，此时教师应该尽其所能激发起学生的需要和突破难题的欲望，并使他们初步感受到这种需要所能带来的那种快感．可能有：当学生感觉到利用已有知识能做而又做不出来的时候，此时教师的启发和点拨就显得至关重要．根据本人的思考，教师的启发与点拨可从以下几方面人手：1从学生已有知识中“启”：温故而知新，以达承前启后、承上启下的目的；2从学生知识的盲点处“启”：盲即模糊，或遗忘，此时善意的提醒、引导就成为解决问题的必要手段；3从知识的关键点“启”：一语点醒梦中人，顿悟、恍然大悟、大彻大悟由此产生；4从知识的最近发展区“启”：因势利导，顺水推舟，正所谓“唯有源头活水来”；5有时教师的一个手势、一副表情、一点鼓励、一种暗示就会使学生冲破迷雾，思如泉涌，此时师生之思之想已如水乳交融，浑然天成．应该有：当学生取得成功后，其喜悦的心情是难以言表的，在今后的学习中，就会更加主动地去透视题目中的各种潜在因素，即使在遇到困难时，也会坚定必胜的信念，这便是教师讲题应达到的成功境界．题4(2006·安徽)如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1和2，则正方形的边长是．讲题分析1利用BCAB和90ABC两个已知条件，证明Rt△AEB≌Rt△BFC，得FCEB．2利用勾股定理求出正方形的边长5AB．讲题反思1正方形ABCD的顶点D看起来是否“很孤单”如图l，能否求出点D到直线l的距离DC?(3DC)2正方形ABCD是否“摇摇欲坠”?将图形特殊化：如图2，令CFAE，且5AB．则210CFAE，10DF．3观察、比较上面两题中AE、CF、DG的大小，你发现了什么?(DGCFAE)如图3，你能证明这个结论具有一般性吗?作DGAM于点M，可证：①四边形AEGM是矩形，则MGAE：②由△ADM≌△BCF，可得．DGCFAE．4让直线l动起来!如图4，可证△ADE≌△CBF，得BFDE，即点A、D到直线l的距离之和与点B、C到直线l的距离之和相等．思考直线l的位置若再发生变化，还有类似的结论吗?你能总结出一般规律吗?5如图5，连接AC，你能利用图形证明勾股定理吗?2．4讲题的最高境界=授之以法+培之以能+强之以心对应于“讲题的四种境界”，一个合格的教师，其讲题的效度大致有以下四种水平层次：正确：内容正确熟练，进度适中贴切，板书工整得当，讲话清晰从容．易懂：外在关系注意铺垫呼应，内在联系注意区分主次，化难为易注意方式方法，关键突破注意把握时机．独到：说之以理见技巧，动之以情见门道，感之以美见艺术，启之以需见奥妙．固顶：授之以法，培之以能，强之以心．①授之以法：关注通性通法，做到深入浅出，让学生易学．②培之以能：引导数学思考，激发学习欲望，让学生想学．③强之以心：鼓励提出问题，强调自主探究，让学生会学．题7正方形ABCD中，M是边AB上任意一点(不与点B重合)，E是AB延长线上一点，连接DM，作DMMN，交CBE的平分线BN于点N．(1)如图1，当M是AB的中点时，求证：MNDM；(2)如图2，当M不是AB的中点时，(1)中的结论还成立吗?说明理由．证法探究①作AENF，证Rt△DAM≌Rt△MFN；②在AD上取一点H，满足MBDH，证Rt△DAM≌Rt△MBN．逆向思维：若MNDM，则DMMN成立吗?类比拓展：在正多边形中，类似本题的结论是否也成立?(类比联想)问题背景某课外学习小组在一次学习研讨中，得到如下两个命题：①如图1，两个全等正三角形的其中一边AC完全重合，点M是边BC上任意一点(不与点C重合)．若60AMN，则MNAM．②如图2，两个全等正方形的其中一边CD完全重合，点M是边BC上任意一点(不与点C重合)．若90AMN，则MNAM．然后运用类比的思想提出了如下的命题：③如图3，两个全等正五边形的其中一边CD完全重合，点M是边BC上任意一点(不与点C重合)．若么108AMN，则MNAM．任务要求(1)请你从①、②、③三个命题中任意选择一个进行证明；(2)请你继续完成下面的探索：①如图4，两个全等正n(n≥3)边形其中一边CD完全重合，点M是边BC上任意一点(不与点C重合)．问：当么AMN等于多少度时，结论CNAM成立(不要求证明)?②如图5，两个全等正六边形的其中一边CD完全重合，点M是边BC的中点．当120AMN时，点N是PC的中点吗?说明理由．(拓展延伸)如图，正方形ABCD与正方形CDEF中，边CD完全重合，连接CE．将直角三角形的直角顶点M在直线．．BC上滑动(不与点B、C重合)，其中一条直角边始终经过点A，另一条直角边交直线CE于点N，作BCNP，交直线BC于点P．(1)如图1，顶点M是BC的中点．①求证：MNAM；②求证：点N是CE的中点．(2)设正方形的边长为1，mCM．求丽NECN的值．综上所述，教师在讲题前既要从自己做题的角度去揣摩习题，还要以学生做题的角度去思考习题，更要以命题者的角度去审视题目，只有这样，才能最大限度的挖掘习题的潜能，提高讲题的效率．能把复杂的问(习)题简单化就是完美，能把简单的问(习)题深刻化就是杰出!让我们共同努力，使自己体验讲题的快乐，让学生在倾听讲题的快乐中享受数学之美!