压电效应与压电方程

wangclsdu.edu1压电效应与压电方程PiezoelectriceffectPiezoelectricequationswangclsdu.edu2压电效应的基本现象石英晶体的压电效应，压电方程组压电常数与对称性压电晶体的切割,四类压电方程组，旋转坐标系，次级压电效应，压电常数之间的关系机电耦合系数主要内容wangclsdu.edu3压电效应的基本现象通俗来说:压电效应是指材料在压力作用下产生电信号的效应;或者在电场作用下,材料发生机械形变的现象。压电效应有严格的定义，上述说法只是一个简单直观描述。压电效应由压电方程描写；材料的压电性由压电常数决定。wangclsdu.edu4压电效应的基本现象晶体的介电常数、弹性常数与晶体的对称性密切相关。同样，压电常数也与晶体的对称性密切相关。因此不是从压电晶体上随意切下一块晶片，就能做压电元件，而是要根据该压电晶体的压电常数来设计晶片的切割。wangclsdu.edu5正压电效应当压电晶体受到外力而发生形变时，在它的某些表面上出现与外力成线性比例电荷积累，这个现象称为压电效应。是一种线性响应！wangclsdu.edu6石英晶体的压电效应现以—石英晶体为例，因为—石英晶体在1880年就发现了压电效应，是最早发现的压电晶体，也是目前最好的和最重要的压电晶体之一。—石英晶体的最大特点是：性能稳定，频率温度系数低（可以做到频率温度系数接近于零），在通讯技术中有广泛地应用。wangclsdu.edu7图4-1：—石英晶体属于六角晶系32点群，它的坐标系o-xyz。wangclsdu.edu8光轴电轴机械轴z轴与天然石英晶体的上、下顶角连线重合（即与晶体的C轴重合）。因为光线沿z轴通过石英晶体时不产生双折射，故称z轴为石英晶体的光轴。x轴与石英晶体横截面上的对角线重合（即与晶体的a轴重合），因为沿x方向对晶体施加压力时，产生的压电效应最显著，故常称x轴为石英晶体的电轴。z轴与z轴的方向规定后，y轴方向也就定了，如图4-1a所示。y轴与石英晶体横截面对边的中点连线重合，常称为机械轴。wangclsdu.edu9在晶体x轴垂直的方向上，切下一块薄晶片，晶片面与x轴垂直，如图4-1b所示，称为x切割。更详细的说法是：如果晶片的厚度沿x轴方向，长度沿y方向，则称为xy切割。该晶片的长度为l，宽度为lw，厚度为lt，与x轴垂直的二个晶面上涂上电极，并与冲击电流计连接（测量电量用），如图4-1c所示。wangclsdu.edu10现分别进行如下实验（1）当晶片受到沿x轴方向的力Fx作用时，通过冲击电流计，可测出在x轴方向电极面上的电荷q(1)1。并发现x轴方向电极面上的电荷密度（q(1)1/llw）的大小与x轴方向单位面积上的力（Fx/llw）成正比，即：wxw)1(1llFllqwangclsdu.edu11因为（q(1)1/llw）是极化强度分量P(1)1；（Fx/llw）为x方向的应力X1，于是得到(1)1111PdX(4-1)式中，P(1)1为晶片只受到x方向的应力X1作用时，在x方向产生的极化强度分量，比例系数d11称为压电常数。(1)11PX即：wangclsdu.edu12（2）当晶片受到沿y方向的力Fy作用时，通过冲击电流计，可测出在x轴方向电极面上的电荷q(2)1，并发现x方向电极面上的电荷密度（q(2)1/llw）的大小与y方向单位面积上的力（Fx/lwlt）成正比，因为（q(2)1/llw）是极化强度分量P(2)1。wangclsdu.edu13（Fy/lwlt）为y方向的应力X2，于是有(2)12PX式中，P(2)1为晶片只受到y方向的应力X1作用时，在x方向产生的极化强度分量，比例系数d12也称为压电常数。(2)1122PdX即：wangclsdu.edu14实验上还发现当X1=X2时，存在P(2)1=-P(1)1，由此可得d11=-d12，即石英晶体的压电常数d12的大小等于压电常数d11的负值。wangclsdu.edu15wangclsdu.edu16（3）当晶片受到沿z方向的力Fz作用时，通过冲击电流计，并发现x方向电极面上不产生电荷。即有(3)11330PdX(4-3)因为X30，故压电常数d13=0。由此可见，对于x切割的石英晶片，当z方向受到应力X3的作用时，在x方向并不产生压电效应。wangclsdu.edu17（4）当晶片受到切应力X4作用时，通过冲击电流计，可测出在x方向电极面上的面电荷密度（q(4)1/llw）=P(4)1，并发现P(4)1与X2成正，于是(4)1144PdX(4-4)式中，P(4)1为晶片只受切应力X4作用时，在x方向产生的极化强度分量，比例系数d14称为压电常数。wangclsdu.edu18wangclsdu.edu19（5）当晶片受到切应力X5或X6作用时，通过冲击电流计，并发现x方向电极面上不产生电荷，于是有(5)1155(6)116600PdXPdX(4-5)因为X50，X60，故压电常数d15=0，d16=0，由此可见，对于x切割的石英晶片，当受到切应力X5或X6的作用时，在x方向并不产生压电效应。wangclsdu.edu20综合上述实验结果得到，选x方向为电极面，当电场E=0时，应力张量X对x方向的极化强度分量P1的贡献为：11111121440()EPdXdXdXwangclsdu.edu21当选y方向为电极面，重复上述实验，当电场E=0时，应力张量X对y方向的极化强度分量P2的贡献为：22552661451160()(2)EPdXdXdXdX（4-7）即石英晶体的压电常数d25=-d14，d26=-2d11。wangclsdu.edu22当选z方向为电极面，重复上述实验，当电场E=0时，应力张量X对z方向的极化强度分量P3的贡献为：0P0E3（4-8）wangclsdu.edu23根据（4-6）、（4-7）以及（4-8）式的结果，可得到石英晶体的正向压电效应表示式用矩阵表示为：121111114321411435600000002000000XXPdddXPddXPXXwangclsdu.edu24在压电物理中常用电位移D代替极化强度P，当电场E=0时，D=0E+P=P，电位移的三个分量：D1=P1，D2=P2，D3=P3。将这些关系代入到（4-9）式，即得到用电位移分量与应力分量表示的石英晶体正向压电效应的表示式为，wangclsdu.edu25式中附标E表示电场强度E=0。121111114321411435600000002000000EXXDdddXDddXDXXwangclsdu.edu26从以上两式式可以看出：（1）对于石英晶体不是在任何方向上都存在压电效应，只有在某些方向上，在某些力的作用下，产生才能出现正压电效应。例如，在石英晶体x方向，只有X1、X2、X4作用时，才能在x方向压电效应，而X3、X5、X6不能在x方向压电效应。在石英晶体的z方向，不论在什么方向作用多大的力，都不能在z方向压电效应。wangclsdu.edu27（2）石英晶体的独立压电常数只有d11与d14两个，它们的数值是：d11=-2.3110-12库仑/牛顿，d14=0.7310-12库仑/牛顿。wangclsdu.edu28对于一般的情况，例如属于三斜晶系1（C1）点群的压电晶体是完全各向异性的，独立的压电常数共有18个，用矩阵表示即为，363534333231262524232221161514131211dddddddddddddddddddwangclsdu.edu29可见压电常数d的矩阵形式是一个三行六列矩阵，即d是一个三级张量。一般情况下正压电效应的表示式为：121111213141516322122232425264331323334353656EXXDddddddXDddddddXDddddddXXwangclsdu.edu30或简写为：EDdX61;1,2,3;1,2,3,4,5,6mmjjEjDdXmj或：wangclsdu.edu31逆压电效应inverseeffect当晶体受到电场E的作用时，晶体产生与电场成线性比例的畸变，这个现象称为逆压电效应。逆压电效应的产生是由于压电晶体受到电场的作用时，在晶体内部产生应力，这个应力常称为压电应力。通过压电应力的作用，产生压电形变。仍以石英晶体为例说明如下。wangclsdu.edu32（1）选用石英晶体的x切割晶片，以x面为电极面。当晶片只受到x方向的电场分量E1作用（应力张量X=0）时，分别在x方向和y方向产生应变x1和x2以及切应变x4，这些应变都与E1成正比，即1111X2121111X4141XxdExdEdExdE其中下标X表示应力张量X=0。wangclsdu.edu33（2）以y面为电极面，当晶片只受到y方向的电场分量E2作用时，分别产生切应变x5和x6，这些应变都与E2正比，即：525214262621112XXxdEdExdEdEwangclsdu.edu34（3）以z面为电极面，当晶片只受到z方向的电场分量E3作用时，晶片不产生任何形变。综合上述结果，得到石英晶体的逆压电效应表示式，用矩阵表示为wangclsdu.edu35111211132414351461100000000000020xdxdExExdExdxd逆压电效应wangclsdu.edu36从上式可以看出：（1）对于石英晶体不是在任何方向上都存在逆压电效应，只有在某些方向，在某些电场作用下，才能产生逆压电效应。例如，当x方向电场分量E1作用时，可产生压电形变x1和x2以及压电切应变x4。又如当z方向电场分量E3作用时，晶体不会产生任何形变。wangclsdu.edu37（2）逆压电常数与正压电常数相同，并且一一对应。（3）有正压电效应方向就有相应的逆压电效应。晶体中那个方向上有正压电效应，则此方向上一定存在逆压电效应。wangclsdu.edu38对于一般的情况，例如三斜晶系中的压电晶体，它的逆压电效应用矩阵表示即为，111213121222321313233324142434351525356162636xdddxdddExdddExdddExdddxdddwangclsdu.edu39transpose将正压电效应方程式与逆压电效应方程式比较，可见逆压电效应表示式中，压电常数矩阵是正压电常数矩阵d的转置矩阵。常用表示dt。dt是一个六行三列的矩阵，于是逆压电效应方程式可简写为tXxdE或3imimXm1xdE,i1,2,...6wangclsdu.edu40关于压电常数dni的意义压电晶体与其它晶体的主要区别在于压电晶体的介电性质与弹性性质之间存在线性耦合关系，而压电常数就是反映这种耦合关系的物理量。wangclsdu.edu41由（4-17）式可得，dni=(xi/En)X，即应力X为零时（或X为常数时），由于电场强度分量En的改变引起应变分量xi的改变与电场强度分量En的改变之比。或者说dni为应力为零时，压电晶体的应变分量xi随电场强度分量En的变化率。wangclsdu.edu42由（4-13）式可得，dmj=(Dm/Xj)E，为电场强度为零时（或E为常数时），由于应力分量Xj的改变引起电位移分量Dm的改变与应力分量Xj的改