直线与平面垂直的判定和性质(二)

直线与平面垂直的判定和性质（二）1．空间四边形ABCD的四条边相等，那么它的两条对角线AC和BD的关系是（）．A．相交且垂直B．相交但不垂直C．不相交也不垂直D．不相交但垂直2．已知a、b是异面直线，那么经过b的所在平面中（）．A．只有一个平面与a平行B．有无数个平面与a平行C．只有一个平面与a垂直D．有无数个平面与a垂直3．若直线l与平面所成角为3π，直线a在平面内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成的角的取值范围是（）．A．π320，B．3π0，C．2π3π，D．π323π，4．直线a、b均在平面外，若a、b在平面上的射影是两条相交直线，则a和b的位置关系是（）．A．异面直线B．相交直线C．平行直线D．相交或异面直线5．ABCD是平面内的一个四边形，P是平面外的一点，则△PAB、△PBC、△PCD、△PDA中是直角三角形的最多有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个6．已知直线PG⊥平面于G，直线EF，且PF⊥EF于F，那么线段PE、PF、PG的关系是（）．A．PE＞PG＞PFB．PG＞PF＞PEC．PE＞PF＞PGD．PF＞PE＞PG7．直线l是平面的斜线，l在内的射影为l．若直线m⊥l，lm，则直线m和平面的位置关系是（）．A．mB．mC．m∥D．m∥，或m8．下列命题中正确的是（）．A．若a是平面的斜线，直线b垂直于a在平面内的射影为a，则a⊥bB．若a是平面的斜线，平面内的直线b垂直于a在平面内的射影为a，则a⊥bC．若a是平面的斜线，直线b平行于平面，且b垂直于a在平面内的射影a，则a⊥bD．若a是平面的斜线，b是平面内的直线，且b垂直于a在另一个平面内的射影a，则a⊥b9．如图9-28，已知PE垂直于⊙O所在平面，EF是⊙O的直径，点G为圆周上异于E、F的一点，则下列结论中，不正确的是（）．A．FG⊥平面PEGB．PG⊥FGC．PF与平面PEG所成角为∠FPGD．EG⊥PF图9-2810．设正方体1111DCBAABCD－的棱长为1，则（1）A到CB1的距离等于________；（2）A到1BD的距离等于________；（3）A到平面CDBA11的距离等于________；（4）AB到平面CDBA11的距离等于________．11．已知正方体1111DCBAABCD－．则（1）1AD与平面ABCD所成的角等于________；（2）1AC与平面ABCD所成的角的正切值等于________；（3）1AD与平面CCBB11所成的角等于________；（4）11CD与平面CCBB11所成的角等于________；（5）CB1与平面DDBB11所成的角等于________.12．如图9-29，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点．求证：MN⊥AB．图9-2913．如图9-30，直线a、b是异面直线，它们所成角为30°，AA为a、b的公垂线段，cm4AA．另有B在直线a上，且BA=2cm，求点B到直线b的距离．图9-3014．如图9-31，SA、SB、SC三条直线两两垂直，点H是S在平面ABC上的射影，求证：H是△ABC的垂心．图9-3115．如图9-32，△ABD和△ACD都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD=BD=CD，∠BAC=60°．求证：图9-32（1）BD⊥平面ADC；（2）若H是△ABC的垂心，则H为D在平面ABC内的射影．16．PA、PB、PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角为60°，求直线PC与平面PAB所成的角的余弦值．参考答案1．D．取BD中点O，则BD⊥AO，BD⊥CO，故BD⊥平面ACO，因此BD⊥AC．2．A．过b上任一点P作直线aa//，由a和b确定的平面与a平行，这个平面是过b且平行于a的唯一一个平面．故排除B．当a与b不垂直时，假设存在平面，使b，且a⊥，则a⊥b，这与a、b不垂直矛盾，所以当a、b不垂直时，不存在经过b且与a垂直的平面，当a、b垂直时，过b且与a垂直的平面是唯一的，设a、b的公垂线为c，则由c和b所确定的平面与a垂直，且唯一．3．C．因为直线l是平面的斜线，斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角，故a与l所成的角大于或等于3π；又因为异面直线所成的角不大于2π，故选C．4．D．5．D．作矩形ABCD，PA⊥平面AC，则所有的三角形都是直角三角形．6．C．如图答9-17．PG⊥，EF，PF⊥EF，则GF⊥EF．在Rt△PGF中，PF为斜边，PG为直角边，PF＞PG．在Rt△PFE中，PF为直角边，PE为斜边，PE＞PF，所以有PE＞PF＞PG．图答9-177．D．8．C．如图答9-18，直线b垂直于a在平面内的射影，但不能得出a⊥b的结论．排除A．令是直线a与其在内的射影a确定的平面，在内取垂直于a的直线为b，不能得出a⊥b的结论．排除B．同理排除D．如图答9-19，在内任取点P，∵bP，则过b与P确定平面，设b，因为b∥，则bb//．∵ab，∴ab．∴ab，∴b⊥a．于是C正确．图答9-18图答9-199．D．G是⊙O圆周上一点，则FG⊥EG．∵PE⊥平面EFG，∴PE⊥FG．）（）（正确平面正确平面BAPGFGPEGPGPEGFGPEFGEGFG假设EG⊥PF，又∵EG⊥FG，∴FG⊥平面PFG．∴EG⊥PG．∵PE⊥EG，P、E、G共面，∴PE∥PG．这与PE，PG交于一点P矛盾，∴“EG⊥PF”不成立．10．（1）连接1AB，AC，则ACAB1，取CB1的中点E，连结AE，则CBAE1．∴AE为点A到直线CB1的距离，在Rt△ACE中，2AC，221211CBCE，∴2AE23212)22()2(22，∴26AE．即A到1B、C的距离等于26．（2）连结1AD．∵AB⊥平面11AADD，∴1ADAB．在Rt△1ABD中，AB=1，21AD，31BD，设A到1BD的距离为h，则112121BDhADAB．即2121321h，∴3632h，即点A到1BD的距离为36．（3）连结1AD交DA1于F，则DAAF1．∵CD⊥平面DDAA11，且AF平面DDAA11，∴CD⊥AF．∵CD∩AD=D，∴AF⊥平面CDBA11．∴AF为点A到平面CDBA11的距离．∵21AD，∴22211ADAF．（4）∵AB∥CD，∴AB∥平面CDBA11，∴AB到平面CDBA11的距离等于A点到平面CDBA11的距离，等于22．11．（1）∵DD1⊥平面ABCD，∴ADD1为1AD与平面ABCD所成的角，ADD1=45°．（2）∵CC1⊥平面ABCD，∴ACC1为1AC与平面ABCD所成的角．设11CC，则2AC，∴．2221tan11ACCCACC（3）∵1AD平面CCBB11，11//ADCB，∴1AD∥平面CCBB11，∴1AD与平面CCBB11所成的角为0°．（4）∵11CD⊥平面CCBB11，∴11CD与平面CCBB11所成的角为90°．（5）连结AC，交AD于H．连结HB1，∵BB1⊥平面ABCD，CH平面ABCD，∴CHBB1，又∵CH⊥BD，∴CH⊥平面DDBB11．∴HB1为CB1在平面DDBB11内的射影．∴HCB1为CB1与平面DDBB11所成的角．设正方体棱长为1，则21CB，2221ACCH，∴301HCB，即CB1与平面DDBB11所成的角为30°．12．连结AC，取AC中点O，连结OM，ON．由OM∥BC，得OM⊥AB．又NO∥PA，且PA⊥AB，故NO⊥AB．由此可得AB⊥平面OMN．因此MN⊥AB．13．如图答9-20，过A作aa//，则a与b确定平面．作aBC于C，在平面内作CD⊥b于D，连结BD．∵aAA∴aAA．∵bAA，Aba，∴AA．∵AABC//，∴BC⊥．∵CD⊥b，∴BD⊥b（三垂线定理），即BD为B点到b的距离．∵aa//，∴DAC为异面直线a与b所成的角，∴30DAC．∵2ABCA，90ACD，∴CD=1．在Rt△BCD中，4AABC，CD=1，∠BCD=90°，∴171422222CDBCBD，∴17BD．图答9-2014．∵SC⊥SA，SC⊥SB，且SA∩SB=S，∴SC⊥平面SAB，∴AB⊥SC．∵H是S在平面ABC上的射影，∴SH⊥平面ABC．连结CH，CH为SC在平面ABC上的射影，∵AB⊥SC，由三垂线定理的逆定理可知CH⊥AB，即CH为AB的垂线．同理AH⊥BC，即AH为BC边的垂线．H为△ABC两条垂线的交点，∴H为△ABC垂心．15．（1）设AD=BD=CD=a，则aACAB2．∵∠BAC=60°，∴aBC2．由勾股定理可知，∠BDC=90°．即BD⊥DC，又∵BD⊥AD，AD∩DC=D，∴BD⊥平面ADC．（2）如图答9-21，要证H是D在平面ABC上的射影，只需证DH⊥平面ABD．连结HA、HB、HC．∵H是△ABC的垂心，∴CH⊥AB．∵CD⊥DA，CD⊥BD，∴CD⊥平面ABD，∴CD⊥AB．∵CH∩CD=C，∴AB⊥平面DCH．∵DH平面DCH，∴AB⊥DH，即DH⊥AB，同理DH⊥BC．∵AB∩BC=B，∴DH⊥平面ABC．图答9-2116．如图答9-22，在PC上任取一点D，作DH⊥平面PAB于H，则∠DPH为PC与平面PAB所成的角．作HE⊥PA于E，HF⊥PB于F，连结PH，DE，DF．∵EH、FH分别为DE、DF在平面PAB内的射影，由三垂线定理可得DE⊥PA．DF⊥PB．∵∠DPE=∠DPF，∴△DPE≌△DPF．∴PE=PF．∴Rt△HPE≌Rt△HPF，∴HE=HF，∴PH是∠APB的平分线．设EH=a，则PH=2EH=2a，aPE3．在Rt△PDE中，∠DPE=60°，DE⊥PA，∴aPEDP322．在Rt△DPH中，DH⊥HP，PH=2a，aDP32，∴．33322cosaaDPPHDPH图答9-22